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Theorem blcld 20092
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcld  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnuni 20028 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
323ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  X  =  U. J
)
43difeq1d 3485 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  =  ( U. J  \  S ) )
5 difssd 3496 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  C_  X )
6 simpl3 993 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  e.  RR* )
7 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  P  e.  X )
9 eldifi 3490 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  y  e.  X )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  y  e.  X )
11 xmetcl 19918 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
127, 8, 10, 11syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
13 eldif 3350 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  <->  ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S ) )
14 oveq2 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( P D z )  =  ( P D y ) )
1514breq1d 4314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D y )  <_  R ) )
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
1715, 16elrab2 3131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  X  /\  ( P D y )  <_  R ) )
1817simplbi2 625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  (
( P D y )  <_  R  ->  y  e.  S ) )
1918con3dimp 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S
)  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2013, 19sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2120adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
22 xrltnle 9455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
236, 12, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
2421, 23mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  <  ( P D y ) )
25 qbtwnxr 11182 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR*  /\  R  <  ( P D y ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
266, 12, 24, 25syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
27 qre 10970 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
287adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2910adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  X )
3012adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
31 rexr 9441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3332xnegcld 11275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  -e x  e.  RR* )
3430, 33xaddcld 11276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR* )
35 blelrn 20004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D )
)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
37 simprrr 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  <  ( P D y ) )
38 xposdif 11237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( P D y )  <->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )
3932, 30, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x  <  ( P D y )  <->  0  <  (
( P D y ) +e  -e x ) ) )
4037, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) )
41 xblcntr 19998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR*  /\  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
43 incom 3555 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
448adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  P  e.  X )
45 xaddcom 11220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
x +e ( ( P D y ) +e  -e x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e
x ) +e
x ) )
4632, 34, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e x ) +e x ) )
47 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
48 xnpcan 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
4930, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
5046, 49eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( P D y ) )
51 xrleid 11139 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5230, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5350, 52eqbrtrd 4324 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  <_ 
( P D y ) )
54 bldisj 19985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( ( P D y ) +e  -e
x )  e.  RR*  /\  ( x +e
( ( P D y ) +e  -e x ) )  <_  ( P D y ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5528, 44, 29, 32, 34, 53, 54syl33anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5643, 55syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/) )
57 blssm 20005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X
)
5828, 29, 34, 57syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  X )
59 reldisj 3734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  i^i  ( P ( ball `  D ) x ) )  =  (/)  <->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6156, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) )
626adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  e.  RR* )
63 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  <  x )
641, 16blsscls2 20091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  R  < 
x ) )  ->  S  C_  ( P (
ball `  D )
x ) )
6528, 44, 62, 32, 63, 64syl23anc 1225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  S  C_  ( P ( ball `  D
) x ) )
6665sscond 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( X  \  ( P ( ball `  D ) x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6761, 66sstrd 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \  S ) )
68 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) ) ) )
69 sseq1 3389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( w  C_  ( X  \  S )  <-> 
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )
7068, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S
) )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7170rspcev 3085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7236, 42, 67, 71syl12anc 1216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7372expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7427, 73sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  QQ )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7574rexlimdva 2853 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. x  e.  QQ  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7626, 75mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7776ralrimiva 2811 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. y  e.  ( X  \  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
781elmopn 20029 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  ( ( X  \  S )  C_  X  /\  A. y  e.  ( X  \  S
) E. w  e. 
ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
79783ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  ( ( X  \  S
)  C_  X  /\  A. y  e.  ( X 
\  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D ) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
805, 77, 79mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
814, 80eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J
)
821mopntop 20027 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
83823ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  J  e.  Top )
84 ssrab2 3449 . . . . 5  |-  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  X
8516, 84eqsstri 3398 . . . 4  |-  S  C_  X
8685, 3syl5sseq 3416 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  C_  U. J )
87 eqid 2443 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
8887iscld2 18644 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  S )  e.  J
) )
8983, 86, 88syl2anc 661 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  S
)  e.  J ) )
9081, 89mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728   {crab 2731    \ cdif 3337    i^i cin 3339    C_ wss 3340   (/)c0 3649   U.cuni 4103   class class class wbr 4304   ran crn 4853   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   RR*cxr 9429    < clt 9430    <_ cle 9431   QQcq 10965    -ecxne 11098   +ecxad 11099   *Metcxmt 17813   ballcbl 17815   MetOpencmopn 17818   Topctop 18510   Clsdccld 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cld 18635
This theorem is referenced by:  blcls  20093  lmle  20824  minveclem4  20931  lhop1lem  21497  ftalem3  22424  ubthlem1  24283
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