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Theorem blcld 21134
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcld  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnuni 21070 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
323ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  X  =  U. J
)
43difeq1d 3617 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  =  ( U. J  \  S ) )
5 difssd 3628 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  C_  X )
6 simpl3 1001 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  e.  RR* )
7 simpl1 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 simpl2 1000 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  P  e.  X )
9 eldifi 3622 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  y  e.  X )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  y  e.  X )
11 xmetcl 20960 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
127, 8, 10, 11syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
13 eldif 3481 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  <->  ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S ) )
14 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( P D z )  =  ( P D y ) )
1514breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D y )  <_  R ) )
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
1715, 16elrab2 3259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  X  /\  ( P D y )  <_  R ) )
1817simplbi2 625 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  (
( P D y )  <_  R  ->  y  e.  S ) )
1918con3dimp 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S
)  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2013, 19sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2120adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
22 xrltnle 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
236, 12, 22syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
2421, 23mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  <  ( P D y ) )
25 qbtwnxr 11424 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR*  /\  R  <  ( P D y ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
266, 12, 24, 25syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
27 qre 11212 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
287adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2910adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  X )
3012adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
31 rexr 9656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3332xnegcld 11517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  -e x  e.  RR* )
3430, 33xaddcld 11518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR* )
35 blelrn 21046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D )
)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
37 simprrr 766 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  <  ( P D y ) )
38 xposdif 11479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( P D y )  <->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )
3932, 30, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x  <  ( P D y )  <->  0  <  (
( P D y ) +e  -e x ) ) )
4037, 39mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) )
41 xblcntr 21040 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR*  /\  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
43 incom 3687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
448adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  P  e.  X )
45 xaddcom 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
x +e ( ( P D y ) +e  -e x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e
x ) +e
x ) )
4632, 34, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e x ) +e x ) )
47 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
48 xnpcan 11469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
4930, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
5046, 49eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( P D y ) )
51 xrleid 11381 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5230, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5350, 52eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  <_ 
( P D y ) )
54 bldisj 21027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( ( P D y ) +e  -e
x )  e.  RR*  /\  ( x +e
( ( P D y ) +e  -e x ) )  <_  ( P D y ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5528, 44, 29, 32, 34, 53, 54syl33anc 1243 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5643, 55syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/) )
57 blssm 21047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X
)
5828, 29, 34, 57syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  X )
59 reldisj 3873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  i^i  ( P ( ball `  D ) x ) )  =  (/)  <->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6156, 60mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) )
626adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  e.  RR* )
63 simprrl 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  <  x )
641, 16blsscls2 21133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  R  < 
x ) )  ->  S  C_  ( P (
ball `  D )
x ) )
6528, 44, 62, 32, 63, 64syl23anc 1235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  S  C_  ( P ( ball `  D
) x ) )
6665sscond 3637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( X  \  ( P ( ball `  D ) x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6761, 66sstrd 3509 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \  S ) )
68 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) ) ) )
69 sseq1 3520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( w  C_  ( X  \  S )  <-> 
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )
7068, 69anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S
) )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7170rspcev 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7236, 42, 67, 71syl12anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7372expr 615 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7427, 73sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  QQ )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7574rexlimdva 2949 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. x  e.  QQ  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7626, 75mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7776ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. y  e.  ( X  \  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
781elmopn 21071 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  ( ( X  \  S )  C_  X  /\  A. y  e.  ( X  \  S
) E. w  e. 
ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
79783ad2ant1 1017 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  ( ( X  \  S
)  C_  X  /\  A. y  e.  ( X 
\  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D ) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
805, 77, 79mpbir2and 922 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
814, 80eqeltrrd 2546 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J
)
821mopntop 21069 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
83823ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  J  e.  Top )
84 ssrab2 3581 . . . . 5  |-  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  X
8516, 84eqsstri 3529 . . . 4  |-  S  C_  X
8685, 3syl5sseq 3547 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  C_  U. J )
87 eqid 2457 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
8887iscld2 19656 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  S )  e.  J
) )
8983, 86, 88syl2anc 661 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  S
)  e.  J ) )
9081, 89mpbird 232 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   ran crn 5009   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   QQcq 11207    -ecxne 11340   +ecxad 11341   *Metcxmt 18530   ballcbl 18532   MetOpencmopn 18535   Topctop 19521   Clsdccld 19644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647
This theorem is referenced by:  blcls  21135  lmle  21866  minveclem4  21973  lhop1lem  22540  ftalem3  23474  ubthlem1  25913
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