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Theorem blcld 21520
Description: A "closed ball" in a metric space is actually closed. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mopni.1  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
blcld.3  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
Assertion
Ref Expression
blcld  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Distinct variable groups:    z, D    z, R    z, P    z, X
Allowed substitution hints:    S( z)    J( z)

Proof of Theorem blcld
Dummy variables  x  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mopni.1 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
21mopnuni 21456 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  X  =  U. J )
323ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  X  =  U. J
)
43difeq1d 3550 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  =  ( U. J  \  S ) )
5 difssd 3561 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  C_  X )
6 simpl3 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  e.  RR* )
7 simpl1 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
8 simpl2 1012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  P  e.  X )
9 eldifi 3555 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  y  e.  X )
109adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  y  e.  X )
11 xmetcl 21346 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
127, 8, 10, 11syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
13 eldif 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  <->  ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S ) )
14 oveq2 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  ( P D z )  =  ( P D y ) )
1514breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  (
( P D z )  <_  R  <->  ( P D y )  <_  R ) )
16 blcld.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }
1715, 16elrab2 3198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  X  /\  ( P D y )  <_  R ) )
1817simplbi2 631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  X  ->  (
( P D y )  <_  R  ->  y  e.  S ) )
1918con3dimp 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  X  /\  -.  y  e.  S
)  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2013, 19sylbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( X  \  S )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
2120adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  -.  ( P D y )  <_  R )
22 xrltnle 9701 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
236, 12, 22syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( R  <  ( P D y )  <->  -.  ( P D y )  <_  R ) )
2421, 23mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  R  <  ( P D y ) )
25 qbtwnxr 11493 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR*  /\  R  <  ( P D y ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
266, 12, 24, 25syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. x  e.  QQ  ( R  < 
x  /\  x  <  ( P D y ) ) )
27 qre 11269 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  QQ  ->  x  e.  RR )
287adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
2910adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  X )
3012adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  e. 
RR* )
31 rexr 9686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
3231ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3332xnegcld 11586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  -e x  e.  RR* )
3430, 33xaddcld 11587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR* )
35 blelrn 21432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D )
)
3628, 29, 34, 35syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  e.  ran  ( ball `  D ) )
37 simprrr 775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  <  ( P D y ) )
38 xposdif 11548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( P D y )  e. 
RR* )  ->  (
x  <  ( P D y )  <->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )
3932, 30, 38syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x  <  ( P D y )  <->  0  <  (
( P D y ) +e  -e x ) ) )
4037, 39mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) )
41 xblcntr 21426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( ( P D y ) +e  -e x )  e.  RR*  /\  0  <  ( ( P D y ) +e  -e x ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
4228, 29, 34, 40, 41syl112anc 1272 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
43 incom 3625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )
448adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  P  e.  X )
45 xaddcom 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  (
( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
x +e ( ( P D y ) +e  -e x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e
x ) +e
x ) )
4632, 34, 45syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( ( ( P D y ) +e  -e x ) +e x ) )
47 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  x  e.  RR )
48 xnpcan 11538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P D y )  e.  RR*  /\  x  e.  RR )  ->  (
( ( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
4930, 47, 48syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( P D y ) +e  -e x ) +e x )  =  ( P D y ) )
5046, 49eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  =  ( P D y ) )
51 xrleid 11449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P D y )  e.  RR*  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5230, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( P D y )  <_ 
( P D y ) )
5350, 52eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( x +e ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  <_ 
( P D y ) )
54 bldisj 21413 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  y  e.  X
)  /\  ( x  e.  RR*  /\  ( ( P D y ) +e  -e
x )  e.  RR*  /\  ( x +e
( ( P D y ) +e  -e x ) )  <_  ( P D y ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5528, 44, 29, 32, 34, 53, 54syl33anc 1283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) x )  i^i  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) ) )  =  (/) )
5643, 55syl5eq 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/) )
57 blssm 21433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  y  e.  X  /\  ( ( P D y ) +e  -e x )  e. 
RR* )  ->  (
y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X
)
5828, 29, 34, 57syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  X )
59 reldisj 3808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  C_  X  ->  ( ( ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) )  i^i  ( P ( ball `  D
) x ) )  =  (/)  <->  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( (
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  i^i  ( P ( ball `  D ) x ) )  =  (/)  <->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) ) )
6156, 60mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \ 
( P ( ball `  D ) x ) ) )
626adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  e.  RR* )
63 simprrl 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  R  <  x )
641, 16blsscls2 21519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X )  /\  ( R  e.  RR*  /\  x  e.  RR*  /\  R  < 
x ) )  ->  S  C_  ( P (
ball `  D )
x ) )
6528, 44, 62, 32, 63, 64syl23anc 1275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  S  C_  ( P ( ball `  D
) x ) )
6665sscond 3570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( X  \  ( P ( ball `  D ) x ) )  C_  ( X  \  S ) )
6761, 66sstrd 3442 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  ( y
( ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) ) 
C_  ( X  \  S ) )
68 eleq2 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( y  e.  w  <->  y  e.  ( y ( ball `  D
) ( ( P D y ) +e  -e x ) ) ) )
69 sseq1 3453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( w  C_  ( X  \  S )  <-> 
( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )
7068, 69anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y (
ball `  D )
( ( P D y ) +e  -e x ) )  ->  ( ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S
) )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7170rspcev 3150 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  e. 
ran  ( ball `  D
)  /\  ( y  e.  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  /\  ( y ( ball `  D ) ( ( P D y ) +e  -e
x ) )  C_  ( X  \  S ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7236, 42, 67, 71syl12anc 1266 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  (
x  e.  RR  /\  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7372expr 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7427, 73sylan2 477 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e. 
RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S
) )  /\  x  e.  QQ )  ->  (
( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) ) )
7574rexlimdva 2879 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  ( E. x  e.  QQ  ( R  <  x  /\  x  <  ( P D y ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) )
7626, 75mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  /\  y  e.  ( X  \  S ) )  ->  E. w  e.  ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) )
7776ralrimiva 2802 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  A. y  e.  ( X  \  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D )
( y  e.  w  /\  w  C_  ( X 
\  S ) ) )
781elmopn 21457 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  (
( X  \  S
)  e.  J  <->  ( ( X  \  S )  C_  X  /\  A. y  e.  ( X  \  S
) E. w  e. 
ran  ( ball `  D
) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
79783ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( ( X  \  S )  e.  J  <->  ( ( X  \  S
)  C_  X  /\  A. y  e.  ( X 
\  S ) E. w  e.  ran  ( ball `  D ) ( y  e.  w  /\  w  C_  ( X  \  S ) ) ) ) )
805, 77, 79mpbir2and 933 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( X  \  S
)  e.  J )
814, 80eqeltrrd 2530 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( U. J  \  S )  e.  J
)
821mopntop 21455 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Top )
83823ad2ant1 1029 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  J  e.  Top )
84 ssrab2 3514 . . . . 5  |-  { z  e.  X  |  ( P D z )  <_  R }  C_  X
8516, 84eqsstri 3462 . . . 4  |-  S  C_  X
8685, 3syl5sseq 3480 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  C_  U. J )
87 eqid 2451 . . . 4  |-  U. J  =  U. J
8887iscld2 20043 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  S  C_  U. J )  ->  ( S  e.  ( Clsd `  J
)  <->  ( U. J  \  S )  e.  J
) )
8983, 86, 88syl2anc 667 . 2  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  ( S  e.  (
Clsd `  J )  <->  ( U. J  \  S
)  e.  J ) )
9081, 89mpbird 236 1  |-  ( ( D  e.  ( *Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  R  e.  RR* )  ->  S  e.  ( Clsd `  J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   {crab 2741    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   U.cuni 4198   class class class wbr 4402   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   RRcr 9538   0cc0 9539   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   QQcq 11264    -ecxne 11406   +ecxad 11407   *Metcxmt 18955   ballcbl 18957   MetOpencmopn 18960   Topctop 19917   Clsdccld 20031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cld 20034
This theorem is referenced by:  blcls  21521  lmle  22271  minveclem4  22374  minveclem4OLD  22386  lhop1lem  22965  ftalem3  23999  ubthlem1  26512
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