MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bl2in Structured version   Unicode version

Theorem bl2in 20108
Description: Two balls are disjoint if they don't overlap. (Contributed by NM, 11-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
bl2in  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) R ) )  =  (/) )

Proof of Theorem bl2in
StepHypRef Expression
1 simpl1 991 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2 metxmet 20042 . . 3  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
4 simpl2 992 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  P  e.  X )
5 simpl3 993 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  Q  e.  X )
6 rexr 9541 . . 3  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR* )
76ad2antrl 727 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  R  e.  RR* )
8 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  R  e.  RR )
9 rexadd 11314 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( R +e
R )  =  ( R  +  R ) )
108, 8, 9syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( R +e
R )  =  ( R  +  R ) )
118recnd 9524 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  ->  R  e.  CC )
12112timesd 10679 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( 2  x.  R
)  =  ( R  +  R ) )
1310, 12eqtr4d 2498 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( R +e
R )  =  ( 2  x.  R ) )
14 id 22 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  R  e.  RR )
15 metcl 20040 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X )  ->  ( P D Q )  e.  RR )
16 2re 10503 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
17 2pos 10525 . . . . . . . 8  |-  0  <  2
1816, 17pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
19 lemuldiv2 10324 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( P D Q )  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  R )  <_ 
( P D Q )  <->  R  <_  ( ( P D Q )  /  2 ) ) )
2018, 19mp3an3 1304 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  RR  /\  ( P D Q )  e.  RR )  -> 
( ( 2  x.  R )  <_  ( P D Q )  <->  R  <_  ( ( P D Q )  /  2 ) ) )
2114, 15, 20syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  R )  <_  ( P D Q )  <->  R  <_  ( ( P D Q )  /  2 ) ) )
2221biimprd 223 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  R  e.  RR )  ->  ( R  <_  ( ( P D Q )  / 
2 )  ->  (
2  x.  R )  <_  ( P D Q ) ) )
2322impr 619 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( 2  x.  R
)  <_  ( P D Q ) )
2413, 23eqbrtrd 4421 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( R +e
R )  <_  ( P D Q ) )
25 bldisj 20106 . 2  |-  ( ( ( D  e.  ( *Met `  X
)  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR*  /\  R  e. 
RR*  /\  ( R +e R )  <_  ( P D Q ) ) )  ->  ( ( P ( ball `  D
) R )  i^i  ( Q ( ball `  D ) R ) )  =  (/) )
263, 4, 5, 7, 7, 24, 25syl33anc 1234 1  |-  ( ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  P  e.  X  /\  Q  e.  X
)  /\  ( R  e.  RR  /\  R  <_ 
( ( P D Q )  /  2
) ) )  -> 
( ( P (
ball `  D ) R )  i^i  ( Q ( ball `  D
) R ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    i^i cin 3436   (/)c0 3746   class class class wbr 4401   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394    + caddc 9397    x. cmul 9399   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531    / cdiv 10105   2c2 10483   +ecxad 11199   *Metcxmt 17927   Metcme 17928   ballcbl 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-2 10492  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator