Theorem bl2in 9120

Description: Two balls are disjoint if they don't overlap.

Hypothesis

Ref	Expression
blval.1	|- X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
bl2in	|- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((P( ball ` D)R) i^i (Q( ball ` D)R)) = (/))

Proof of Theorem bl2in

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval.1	. . . . . 6 |- X = dom dom D
2	1	elbl 9115	. . . . 5 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (x e. (P( ball ` D)R) <-> (x e. X /\ (PDx) < R)))
3		3simpa 872	. . . . 5 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) -> (D e. Met /\ P e. X))
4		3simpa 872	. . . . 5 |- ((R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (R e. RR /\ 0 < R))
5	2, 3, 4	syl2an 503	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (x e. (P( ball ` D)R) <-> (x e. X /\ (PDx) < R)))
6	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
7	6	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((D e. Met /\ P e. X) /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
8	7	3adantl3 1034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (PDx) e. RR)
9	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((D e. Met /\ Q e. X /\ x e. X) -> (QDx) e. RR)
10	9	3expa 1067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((D e. Met /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (QDx) e. RR)
11	10	3adantl2 1033	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (QDx) e. RR)
12		readdcl 6455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((PDx) e. RR /\ (QDx) e. RR) -> ((PDx) + (QDx)) e. RR)
13	8, 11, 12	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> ((PDx) + (QDx)) e. RR)
14	13	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((PDx) + (QDx)) e. RR)
15	14	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) e. RR)
16		2re 7163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR
17		remulcl 6457	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. RR /\ R e. RR) -> (2 x. R) e. RR)
18	16, 17	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (R e. RR -> (2 x. R) e. RR)
19	18	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (2 x. R) e. RR)
20	19	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) e. RR)
21	20	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> (2 x. R) e. RR)
22	1	metcl 9088	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) -> (PDQ) e. RR)
23	22	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (PDQ) e. RR)
24	23	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> (PDQ) e. RR)
25		lt2add 6827	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((PDx) e. RR /\ (QDx) e. RR) /\ (R e. RR /\ R e. RR)) -> (((PDx) < R /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) < (R + R)))
26	8, 11	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> ((PDx) e. RR /\ (QDx) e. RR))
27		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> R e. RR)
28	27, 27	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (R e. RR /\ R e. RR))
29	25, 26, 28	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (((PDx) < R /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) < (R + R)))
30	29	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((PDx) < R -> ((QDx) < R -> ((PDx) + (QDx)) < (R + R))))
31	30	imp31 389	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) < (R + R))
32		recn 6466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (R e. RR -> R e. CC)
33		2times 7188	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (R e. CC -> (2 x. R) = (R + R))
34	32, 33	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (R e. RR -> (2 x. R) = (R + R))
35	34	3ad2ant1 897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (2 x. R) = (R + R))
36	35	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) = (R + R))
37	36	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> (2 x. R) = (R + R))
38	31, 37	breqtrrd 3363	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) < (2 x. R))
39		2pos 7173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 0 < 2
40		lemuldiv2OLD 7060	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((2 e. RR /\ R e. RR /\ (PDQ) e. RR) /\ 0 < 2) -> ((2 x. R) <_ (PDQ) <-> R <_ ((PDQ) / 2)))
41	39, 40	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((2 e. RR /\ R e. RR /\ (PDQ) e. RR) -> ((2 x. R) <_ (PDQ) <-> R <_ ((PDQ) / 2)))
42	16, 41	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((R e. RR /\ (PDQ) e. RR) -> ((2 x. R) <_ (PDQ) <-> R <_ ((PDQ) / 2)))
43	42	biimpar 461	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((R e. RR /\ (PDQ) e. RR) /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
44	43	ancom1s 548	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((PDQ) e. RR /\ R e. RR) /\ R <_ ((PDQ) / 2)) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
45	44	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((PDQ) e. RR /\ (R e. RR /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
46	45, 22	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
47	46	3adantr2 1036	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
48	47	adantlr 429	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
49	48	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . 11 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> (2 x. R) <_ (PDQ))
50	15, 21, 24, 38, 49	ltletrd 6698	. . . . . . . . . 10 |- ((((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) /\ (QDx) < R) -> ((PDx) + (QDx)) < (PDQ))
51	50	ex 402	. . . . . . . . 9 |- (((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) -> ((QDx) < R -> ((PDx) + (QDx)) < (PDQ)))
52	1	mettri3 9095	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((D e. Met /\ (P e. X /\ Q e. X /\ x e. X)) -> (PDQ) <_ ((PDx) + (QDx)))
53	52	3exp2 1086	. . . . . . . . . . . . 13 |- (D e. Met -> (P e. X -> (Q e. X -> (x e. X -> (PDQ) <_ ((PDx) + (QDx))))))
54	53	3imp1 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (PDQ) <_ ((PDx) + (QDx)))
55	22	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (PDQ) e. RR)
56		lenlt 6679	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((PDQ) e. RR /\ ((PDx) + (QDx)) e. RR) -> ((PDQ) <_ ((PDx) + (QDx)) <-> -. ((PDx) + (QDx)) < (PDQ)))
57	55, 13, 56	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> ((PDQ) <_ ((PDx) + (QDx)) <-> -. ((PDx) + (QDx)) < (PDQ)))
58	54, 57	mpbid 212	. . . . . . . . . . 11 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> -. ((PDx) + (QDx)) < (PDQ))
59	58	a1d 15	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> ((QDx) < R -> -. ((PDx) + (QDx)) < (PDQ)))
60	59	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- (((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) -> ((QDx) < R -> -. ((PDx) + (QDx)) < (PDQ)))
61	51, 60	pm2.65d 151	. . . . . . . 8 |- (((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ (PDx) < R) -> -. (QDx) < R)
62	61	ex 402	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((PDx) < R -> -. (QDx) < R))
63	1	elbl2 9116	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ Q e. X /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R)) -> (x e. (Q( ball ` D)R) <-> (QDx) < R))
64		df-3an 860	. . . . . . . . . . 11 |- ((D e. Met /\ Q e. X /\ x e. X) <-> ((D e. Met /\ Q e. X) /\ x e. X))
65	64	biimpri 169	. . . . . . . . . 10 |- (((D e. Met /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (D e. Met /\ Q e. X /\ x e. X))
66	65	3adantl2 1033	. . . . . . . . 9 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) -> (D e. Met /\ Q e. X /\ x e. X))
67	63, 66, 4	syl2an 503	. . . . . . . 8 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (x e. (Q( ball ` D)R) <-> (QDx) < R))
68	67	notbid 673	. . . . . . 7 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (-. x e. (Q( ball ` D)R) <-> -. (QDx) < R))
69	62, 68	sylibrd 221	. . . . . 6 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ x e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((PDx) < R -> -. x e. (Q( ball ` D)R)))
70	69	an1rs 547	. . . . 5 |- ((((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) /\ x e. X) -> ((PDx) < R -> -. x e. (Q( ball ` D)R)))
71	70	expimpd 404	. . . 4 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((x e. X /\ (PDx) < R) -> -. x e. (Q( ball ` D)R)))
72	5, 71	sylbid 220	. . 3 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> (x e. (P( ball ` D)R) -> -. x e. (Q( ball ` D)R)))
73	72	r19.21aiv 2175	. 2 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> A.x e. (P( ball ` D)R) -. x e. (Q( ball ` D)R))
74		disj 2914	. 2 |- (((P( ball ` D)R) i^i (Q( ball ` D)R)) = (/) <-> A.x e. (P( ball ` D)R) -. x e. (Q( ball ` D)R))
75	73, 74	sylibr 217	1 |- (((D e. Met /\ P e. X /\ Q e. X) /\ (R e. RR /\ 0 < R /\ R <_ ((PDQ) / 2))) -> ((P( ball ` D)R) i^i (Q( ball ` D)R)) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   i^i cin 2592  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448   < clt 6653  2c2 7145  Metcme 9066   ball cbl 9068

This theorem is referenced by:  methausi 9159

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-met 9070  df-bl 9072

Copyright terms: Public domain