Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-xpimasn Structured version   Unicode version

Theorem bj-xpimasn 31077
Description: The image of a singleton, general case. [Change and relabel xpimasn 5270 accordingly, maybe to xpima2sn.] (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-xpimasn  |-  ( ( A  X.  B )
" { X }
)  =  if ( X  e.  A ,  B ,  (/) )

Proof of Theorem bj-xpimasn
StepHypRef Expression
1 xpima 5267 . 2  |-  ( ( A  X.  B )
" { X }
)  =  if ( ( A  i^i  { X } )  =  (/) ,  (/) ,  B )
2 disjsn 4032 . . 3  |-  ( ( A  i^i  { X } )  =  (/)  <->  -.  X  e.  A )
3 eqid 2402 . . 3  |-  B  =  B
42, 3ifbieq2i 3909 . 2  |-  if ( ( A  i^i  { X } )  =  (/) ,  (/) ,  B )  =  if ( -.  X  e.  A ,  (/) ,  B
)
5 ifnot 3930 . 2  |-  if ( -.  X  e.  A ,  (/) ,  B )  =  if ( X  e.  A ,  B ,  (/) )
61, 4, 53eqtri 2435 1  |-  ( ( A  X.  B )
" { X }
)  =  if ( X  e.  A ,  B ,  (/) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1405    e. wcel 1842    i^i cin 3413   (/)c0 3738   ifcif 3885   {csn 3972    X. cxp 4821   "cima 4826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-br 4396  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836
This theorem is referenced by:  bj-xpima1sn  31078  bj-xpima2sn  31080
  Copyright terms: Public domain W3C validator