Theorem bj-xpima1sn 34861

Description: The image of a singleton by a direct product, empty case. [Change and relabel xpimasn 5362 accordingly, maybe to xpima2sn.] (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-xpima1sn	|- ( X e/ A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = (/) )

Proof of Theorem bj-xpima1sn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-xpimasn 34860	. 2 |- ( ( A X. B ) " { X } ) = if ( X e. A , B , (/) )
2		df-nel 2580	. . 3 |- ( X e/ A <-> -. X e. A )
3		iffalse 3866	. . 3 |- ( -. X e. A -> if ( X e. A , B , (/) ) = (/) )
4	2, 3	sylbi 195	. 2 |- ( X e/ A -> if ( X e. A , B , (/) ) = (/) )
5	1, 4	syl5eq 2435	1 |- ( X e/ A -> ( ( A X. B ) " { X } ) = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   = wceq 1399   e. wcel 1826   e/ wnel 2578   (/)c0 3711   ifcif 3857   {csn 3944   X. cxp 4911   "cima 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926

This theorem is referenced by:  bj-projval  34902