Theorem bj-snsetex 33611

Description: The class of sets "whose singletons" belong to a set is a set. Nice application of ax-rep 4558. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-snsetex	|- ( A e. V -> { x | { x } e. A } e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem bj-snsetex

Dummy variables y z t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 3124	. . . 4 |- ( A e. V -> E. y y = A )
2		eleq2 2540	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( { x } e. y <-> { x } e. A ) )
3	2	abbidv 2603	. . . . . 6 |- ( y = A -> { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } )
4		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } -> ( { x | { x } e. y } e. _V <-> { x | { x } e. A } e. _V ) )
5	4	biimpd 207	. . . . . 6 |- ( { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } -> ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
6	3, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( y = A -> ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
7	6	eximi 1635	. . . 4 |- ( E. y y = A -> E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
8	1, 7	syl 16	. . 3 |- ( A e. V -> E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
9		19.35 1664	. . . . . 6 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) <-> ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
10	9	biimpi 194	. . . . 5 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
11	10	com12 31	. . . 4 |- ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
12		ax-rep 4558	. . . . . . . 8 |- ( A. u E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z ) -> E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) )
13		19.3v 1729	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z u = { t } <-> u = { t } )
14	13	sbbii 1718	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / t ] A. z u = { t } <-> [ z / t ] u = { t } )
15		sbsbc 3335	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> [. z / t ]. u = { t } )
16		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
17		sbceq2g 3833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( [. z / t ]. u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / t ]. u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } )
19	15, 18	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } )
20		bj-csbsn 33561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ z / t ]_ { t } = { z }
21	20	eqeq2i 2485	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = [_ z / t ]_ { t } <-> u = { z } )
22	19, 21	bitri 249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> u = { z } )
23		eqtr2 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = { t } /\ u = { z } ) -> { t } = { z } )
24		vex 3116	. . . . . . . . . . . . . 14 |- t e. _V
25	24	sneqr 4194	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { t } = { z } -> t = z )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = { t } /\ u = { z } ) -> t = z )
27	22, 26	sylan2b 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = { t } /\ [ z / t ] u = { t } ) -> t = z )
28	13, 14, 27	syl2anb 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z )
29	28	gen2 1602	. . . . . . . . 9 |- A. t A. z ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z )
30		nfa1 1845	. . . . . . . . . 10 |- F/ z A. z u = { t }
31	30	mo 2322	. . . . . . . . 9 |- ( E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z ) <-> A. t A. z ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z ) )
32	29, 31	mpbir 209	. . . . . . . 8 |- E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z )
33	12, 32	mpg 1603	. . . . . . 7 |- E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) )
34		bj-sbel1 33562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ t / x ] { x } e. y <-> [_ t / x ]_ { x } e. y )
35		bj-csbsn 33561	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ t / x ]_ { x } = { t }
36	35	eleq1i 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ t / x ]_ { x } e. y <-> { t } e. y )
37	34, 36	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ t / x ] { x } e. y <-> { t } e. y )
38		df-clab 2453	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. { x | { x } e. y } <-> [ t / x ] { x } e. y )
39	13	anbi2i 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> ( u e. y /\ u = { t } ) )
40		eleq1a 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. y -> ( { t } = u -> { t } e. y ) )
41	40	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { t } = u -> ( u e. y -> { t } e. y ) )
42	41	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = { t } -> ( u e. y -> { t } e. y ) )
43	42	imdistanri 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. y /\ u = { t } ) -> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
44		eleq1a 2550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { t } e. y -> ( u = { t } -> u e. y ) )
45	44	impac 621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { t } e. y /\ u = { t } ) -> ( u e. y /\ u = { t } ) )
46	43, 45	impbii 188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. y /\ u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
47	39, 46	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
48	47	exbii 1644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
49		snex 4688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { t } e. _V
50	49	isseti 3119	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. u u = { t }
51		19.42v 1949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ E. u u = { t } ) )
52	50, 51	mpbiran2 917	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) <-> { t } e. y )
53	48, 52	bitri 249	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> { t } e. y )
54	37, 38, 53	3bitr4ri 278	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> t e. { x | { x } e. y } )
55	54	bibi2i 313	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
56	55	albii 1620	. . . . . . . 8 |- ( A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
57	56	exbii 1644	. . . . . . 7 |- ( E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
58	33, 57	mpbi 208	. . . . . 6 |- E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } )
59		dfcleq 2460	. . . . . . 7 |- ( z = { x | { x } e. y } <-> A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
60	59	exbii 1644	. . . . . 6 |- ( E. z z = { x | { x } e. y } <-> E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
61	58, 60	mpbir 209	. . . . 5 |- E. z z = { x | { x } e. y }
62	61	issetri 3120	. . . 4 |- { x | { x } e. y } e. _V
63	11, 62	mpg 1603	. . 3 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> E. y { x | { x } e. A } e. _V )
64	8, 63	syl 16	. 2 |- ( A e. V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V )
65		ax5e 1682	. 2 |- ( E. y { x | { x } e. A } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V )
66	64, 65	syl 16	1 |- ( A e. V -> { x | { x } e. A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   E.wex 1596   [wsb 1711   e. wcel 1767   {cab 2452   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331   [_csb 3435   {csn 4027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030

This theorem is referenced by:  bj-clex  33612  bj-snglex  33621