Theorem bj-snsetex 31627

Description: The class of sets "whose singletons" belong to a set is a set. Nice application of ax-rep 4508. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-snsetex	|- ( A e. V -> { x | { x } e. A } e. _V )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   V( x)

Proof of Theorem bj-snsetex

Dummy variables y z t u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elisset 3043	. . . 4 |- ( A e. V -> E. y y = A )
2		eleq2 2538	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( { x } e. y <-> { x } e. A ) )
3	2	abbidv 2589	. . . . . 6 |- ( y = A -> { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } )
4		eleq1 2537	. . . . . . 7 |- ( { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } -> ( { x | { x } e. y } e. _V <-> { x | { x } e. A } e. _V ) )
5	4	biimpd 212	. . . . . 6 |- ( { x | { x } e. y } = { x | { x } e. A } -> ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
6	3, 5	syl 17	. . . . 5 |- ( y = A -> ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
7	6	eximi 1715	. . . 4 |- ( E. y y = A -> E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
8	1, 7	syl 17	. . 3 |- ( A e. V -> E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) )
9		19.35 1748	. . . . . 6 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) <-> ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
10	9	biimpi 199	. . . . 5 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
11	10	com12 31	. . . 4 |- ( A. y { x | { x } e. y } e. _V -> ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> E. y { x | { x } e. A } e. _V ) )
12		ax-rep 4508	. . . . . . . 8 |- ( A. u E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z ) -> E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) )
13		19.3v 1821	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z u = { t } <-> u = { t } )
14	13	sbbii 1812	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ z / t ] A. z u = { t } <-> [ z / t ] u = { t } )
15		sbsbc 3259	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> [. z / t ]. u = { t } )
16		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- z e. _V
17		sbceq2g 3783	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. _V -> ( [. z / t ]. u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } ) )
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( [. z / t ]. u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } )
19	15, 18	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> u = [_ z / t ]_ { t } )
20		bj-csbsn 31574	. . . . . . . . . . . . . 14 |- [_ z / t ]_ { t } = { z }
21	20	eqeq2i 2483	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = [_ z / t ]_ { t } <-> u = { z } )
22	19, 21	bitri 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ z / t ] u = { t } <-> u = { z } )
23		eqtr2 2491	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u = { t } /\ u = { z } ) -> { t } = { z } )
24		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- t e. _V
25	24	sneqr 4131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( { t } = { z } -> t = z )
26	23, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u = { t } /\ u = { z } ) -> t = z )
27	22, 26	sylan2b 483	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u = { t } /\ [ z / t ] u = { t } ) -> t = z )
28	13, 14, 27	syl2anb 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z )
29	28	gen2 1678	. . . . . . . . 9 |- A. t A. z ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z )
30		nfa1 1999	. . . . . . . . . 10 |- F/ z A. z u = { t }
31	30	mo 2357	. . . . . . . . 9 |- ( E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z ) <-> A. t A. z ( ( A. z u = { t } /\ [ z / t ] A. z u = { t } ) -> t = z ) )
32	29, 31	mpbir 214	. . . . . . . 8 |- E. z A. t ( A. z u = { t } -> t = z )
33	12, 32	mpg 1679	. . . . . . 7 |- E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) )
34		bj-sbel1 31575	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ t / x ] { x } e. y <-> [_ t / x ]_ { x } e. y )
35		bj-csbsn 31574	. . . . . . . . . . . . 13 |- [_ t / x ]_ { x } = { t }
36	35	eleq1i 2540	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [_ t / x ]_ { x } e. y <-> { t } e. y )
37	34, 36	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( [ t / x ] { x } e. y <-> { t } e. y )
38		df-clab 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. { x | { x } e. y } <-> [ t / x ] { x } e. y )
39	13	anbi2i 708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> ( u e. y /\ u = { t } ) )
40		eleq1a 2544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u e. y -> ( { t } = u -> { t } e. y ) )
41	40	com12 31	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( { t } = u -> ( u e. y -> { t } e. y ) )
42	41	eqcoms 2479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = { t } -> ( u e. y -> { t } e. y ) )
43	42	imdistanri 705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( u e. y /\ u = { t } ) -> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
44		eleq1a 2544	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { t } e. y -> ( u = { t } -> u e. y ) )
45	44	impac 633	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { t } e. y /\ u = { t } ) -> ( u e. y /\ u = { t } ) )
46	43, 45	impbii 192	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( u e. y /\ u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
47	39, 46	bitri 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
48	47	exbii 1726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) )
49		snex 4641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- { t } e. _V
50	49	isseti 3037	. . . . . . . . . . . . 13 |- E. u u = { t }
51		19.42v 1842	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) <-> ( { t } e. y /\ E. u u = { t } ) )
52	50, 51	mpbiran2 933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. u ( { t } e. y /\ u = { t } ) <-> { t } e. y )
53	48, 52	bitri 257	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> { t } e. y )
54	37, 38, 53	3bitr4ri 286	. . . . . . . . . 10 |- ( E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) <-> t e. { x | { x } e. y } )
55	54	bibi2i 320	. . . . . . . . 9 |- ( ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
56	55	albii 1699	. . . . . . . 8 |- ( A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
57	56	exbii 1726	. . . . . . 7 |- ( E. z A. t ( t e. z <-> E. u ( u e. y /\ A. z u = { t } ) ) <-> E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
58	33, 57	mpbi 213	. . . . . 6 |- E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } )
59		dfcleq 2465	. . . . . . 7 |- ( z = { x | { x } e. y } <-> A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
60	59	exbii 1726	. . . . . 6 |- ( E. z z = { x | { x } e. y } <-> E. z A. t ( t e. z <-> t e. { x | { x } e. y } ) )
61	58, 60	mpbir 214	. . . . 5 |- E. z z = { x | { x } e. y }
62	61	issetri 3038	. . . 4 |- { x | { x } e. y } e. _V
63	11, 62	mpg 1679	. . 3 |- ( E. y ( { x | { x } e. y } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V ) -> E. y { x | { x } e. A } e. _V )
64	8, 63	syl 17	. 2 |- ( A e. V -> E. y { x | { x } e. A } e. _V )
65		ax5e 1768	. 2 |- ( E. y { x | { x } e. A } e. _V -> { x | { x } e. A } e. _V )
66	64, 65	syl 17	1 |- ( A e. V -> { x | { x } e. A } e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   A.wal 1450   = wceq 1452   E.wex 1671   [wsb 1805   e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   [_csb 3349   {csn 3959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-sn 3960  df-pr 3962

This theorem is referenced by:  bj-clex  31628  bj-snglex  31637