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Theorem bj-snsetex 31468
Description: The class of sets "whose singletons" belong to a set is a set. Nice application of ax-rep 4479. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
bj-snsetex  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem bj-snsetex
Dummy variables  y 
z  t  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elisset 3033 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  E. y 
y  =  A )
2 eleq2 2495 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  ( { x }  e.  y 
<->  { x }  e.  A ) )
32abbidv 2546 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  { x  |  { x }  e.  y }  =  {
x  |  { x }  e.  A }
)
4 eleq1 2494 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  { x }  e.  y }  =  { x  |  {
x }  e.  A }  ->  ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  <->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V ) )
54biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( { x  |  { x }  e.  y }  =  { x  |  {
x }  e.  A }  ->  ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )
)
63, 5syl 17 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( { x  |  {
x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V ) )
76eximi 1701 . . . 4  |-  ( E. y  y  =  A  ->  E. y ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V ) )
81, 7syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  E. y
( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )
)
9 19.35 1734 . . . . . 6  |-  ( E. y ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )  <->  ( A. y { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  E. y { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V ) )
109biimpi 197 . . . . 5  |-  ( E. y ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )  ->  ( A. y { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  E. y { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )
)
1110com12 32 . . . 4  |-  ( A. y { x  |  {
x }  e.  y }  e.  _V  ->  ( E. y ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V )  ->  E. y { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V ) )
12 ax-rep 4479 . . . . . . . 8  |-  ( A. u E. z A. t
( A. z  u  =  { t }  ->  t  =  z )  ->  E. z A. t ( t  e.  z  <->  E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  {
t } ) ) )
13 19.3v 1806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. z  u  =  {
t }  <->  u  =  { t } )
1413sbbii 1797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ z  /  t ] A. z  u  =  { t }  <->  [ z  /  t ] u  =  { t } )
15 sbsbc 3246 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [ z  /  t ] u  =  { t }  <->  [. z  /  t ]. u  =  {
t } )
16 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  z  e. 
_V
17 sbceq2g 3752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  _V  ->  ( [. z  /  t ]. u  =  {
t }  <->  u  =  [_ z  /  t ]_ { t } ) )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. z  /  t ]. u  =  { t }  <->  u  =  [_ z  /  t ]_ { t } )
1915, 18bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [ z  /  t ] u  =  { t }  <->  u  =  [_ z  /  t ]_ {
t } )
20 bj-csbsn 31417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ z  /  t ]_ {
t }  =  {
z }
2120eqeq2i 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  [_ z  / 
t ]_ { t }  <-> 
u  =  { z } )
2219, 21bitri 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z  /  t ] u  =  { t }  <->  u  =  {
z } )
23 eqtr2 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  =  { t }  /\  u  =  { z } )  ->  { t }  =  { z } )
24 vex 3025 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
2524sneqr 4110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( { t }  =  {
z }  ->  t  =  z )
2623, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  { t }  /\  u  =  { z } )  ->  t  =  z )
2722, 26sylan2b 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  { t }  /\  [ z  /  t ] u  =  { t } )  ->  t  =  z )
2813, 14, 27syl2anb 481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  u  =  { t }  /\  [ z  /  t ] A. z  u  =  { t } )  ->  t  =  z )
2928gen2 1664 . . . . . . . . 9  |-  A. t A. z ( ( A. z  u  =  {
t }  /\  [
z  /  t ] A. z  u  =  { t } )  ->  t  =  z )
30 nfa1 1956 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z A. z  u  =  { t }
3130mo 2314 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z A. t ( A. z  u  =  { t }  ->  t  =  z )  <->  A. t A. z ( ( A. z  u  =  {
t }  /\  [
z  /  t ] A. z  u  =  { t } )  ->  t  =  z ) )
3229, 31mpbir 212 . . . . . . . 8  |-  E. z A. t ( A. z  u  =  { t }  ->  t  =  z )
3312, 32mpg 1665 . . . . . . 7  |-  E. z A. t ( t  e.  z  <->  E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  {
t } ) )
34 bj-sbel1 31418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ t  /  x ] { x }  e.  y 
<-> 
[_ t  /  x ]_ { x }  e.  y )
35 bj-csbsn 31417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ t  /  x ]_ { x }  =  { t }
3635eleq1i 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [_ t  /  x ]_ {
x }  e.  y  <->  { t }  e.  y )
3734, 36bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [ t  /  x ] { x }  e.  y 
<->  { t }  e.  y )
38 df-clab 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  { x  |  { x }  e.  y }  <->  [ t  /  x ] { x }  e.  y )
3913anbi2i 698 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  {
t } )  <->  ( u  e.  y  /\  u  =  { t } ) )
40 eleq1a 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  y  ->  ( { t }  =  u  ->  { t }  e.  y ) )
4140com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { t }  =  u  ->  ( u  e.  y  ->  { t }  e.  y )
)
4241eqcoms 2436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  { t }  ->  ( u  e.  y  ->  { t }  e.  y )
)
4342imdistanri 695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  e.  y  /\  u  =  { t } )  ->  ( { t }  e.  y  /\  u  =  {
t } ) )
44 eleq1a 2501 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( { t }  e.  y  ->  ( u  =  { t }  ->  u  e.  y ) )
4544impac 625 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { t }  e.  y  /\  u  =  {
t } )  -> 
( u  e.  y  /\  u  =  {
t } ) )
4643, 45impbii 190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  e.  y  /\  u  =  { t } )  <->  ( {
t }  e.  y  /\  u  =  {
t } ) )
4739, 46bitri 252 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  {
t } )  <->  ( {
t }  e.  y  /\  u  =  {
t } ) )
4847exbii 1712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  { t } )  <->  E. u
( { t }  e.  y  /\  u  =  { t } ) )
49 snex 4605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { t }  e.  _V
5049isseti 3028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  E. u  u  =  { t }
51 19.42v 1827 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. u ( { t }  e.  y  /\  u  =  { t } )  <->  ( {
t }  e.  y  /\  E. u  u  =  { t } ) )
5250, 51mpbiran2 927 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u ( { t }  e.  y  /\  u  =  { t } )  <->  { t }  e.  y )
5348, 52bitri 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  { t } )  <->  { t }  e.  y )
5437, 38, 533bitr4ri 281 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  { t } )  <->  t  e.  { x  |  { x }  e.  y }
)
5554bibi2i 314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  z  <->  E. u
( u  e.  y  /\  A. z  u  =  { t } ) )  <->  ( t  e.  z  <->  t  e.  {
x  |  { x }  e.  y }
) )
5655albii 1685 . . . . . . . 8  |-  ( A. t ( t  e.  z  <->  E. u ( u  e.  y  /\  A. z  u  =  {
t } ) )  <->  A. t ( t  e.  z  <->  t  e.  {
x  |  { x }  e.  y }
) )
5756exbii 1712 . . . . . . 7  |-  ( E. z A. t ( t  e.  z  <->  E. u
( u  e.  y  /\  A. z  u  =  { t } ) )  <->  E. z A. t ( t  e.  z  <->  t  e.  {
x  |  { x }  e.  y }
) )
5833, 57mpbi 211 . . . . . 6  |-  E. z A. t ( t  e.  z  <->  t  e.  {
x  |  { x }  e.  y }
)
59 dfcleq 2422 . . . . . . 7  |-  ( z  =  { x  |  { x }  e.  y }  <->  A. t ( t  e.  z  <->  t  e.  { x  |  { x }  e.  y }
) )
6059exbii 1712 . . . . . 6  |-  ( E. z  z  =  {
x  |  { x }  e.  y }  <->  E. z A. t ( t  e.  z  <->  t  e.  { x  |  { x }  e.  y }
) )
6158, 60mpbir 212 . . . . 5  |-  E. z 
z  =  { x  |  { x }  e.  y }
6261issetri 3029 . . . 4  |-  { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V
6311, 62mpg 1665 . . 3  |-  ( E. y ( { x  |  { x }  e.  y }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )  ->  E. y { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V )
648, 63syl 17 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  E. y { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )
65 ax5e 1754 . 2  |-  ( E. y { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V  ->  { x  |  {
x }  e.  A }  e.  _V )
6664, 65syl 17 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  |  { x }  e.  A }  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370   A.wal 1435    = wceq 1437   E.wex 1657   [wsb 1790    e. wcel 1872   {cab 2414   _Vcvv 3022   [.wsbc 3242   [_csb 3338   {csn 3941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pr 4603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-sn 3942  df-pr 3944
This theorem is referenced by:  bj-clex  31469  bj-snglex  31478
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