Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-sngltag Structured version   Unicode version

Theorem bj-sngltag 31367
Description: The singletonization and the tagging of a set contain the same singletons. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
bj-sngltag  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e. sngl  B  <->  { A }  e. tag  B
) )

Proof of Theorem bj-sngltag
StepHypRef Expression
1 bj-sngltagi 31366 . 2  |-  ( { A }  e. sngl  B  ->  { A }  e. tag  B )
2 df-bj-tag 31359 . . . 4  |- tag  B  =  (sngl  B  u.  { (/)
} )
32eleq2i 2498 . . 3  |-  ( { A }  e. tag  B  <->  { A }  e.  (sngl 
B  u.  { (/) } ) )
4 elun 3603 . . . 4  |-  ( { A }  e.  (sngl 
B  u.  { (/) } )  <->  ( { A }  e. sngl  B  \/  { A }  e.  { (/) } ) )
5 idd 25 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e. sngl  B  ->  { A }  e. sngl  B ) )
6 elsni 4018 . . . . . 6  |-  ( { A }  e.  { (/)
}  ->  { A }  =  (/) )
7 snprc 4057 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  <->  { A }  =  (/) )
8 elex 3087 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  _V )
98pm2.24d 137 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( -.  A  e.  _V  ->  { A }  e. sngl  B ) )
107, 9syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  =  (/)  ->  { A }  e. sngl  B ) )
116, 10syl5 33 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e.  { (/)
}  ->  { A }  e. sngl  B )
)
125, 11jaod 381 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( { A }  e. sngl  B  \/  { A }  e.  { (/) } )  ->  { A }  e. sngl  B ) )
134, 12syl5bi 220 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e.  (sngl 
B  u.  { (/) } )  ->  { A }  e. sngl  B )
)
143, 13syl5bi 220 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e. tag  B  ->  { A }  e. sngl  B ) )
151, 14impbid2 207 1  |-  ( A  e.  V  ->  ( { A }  e. sngl  B  <->  { A }  e. tag  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    = wceq 1437    e. wcel 1867   _Vcvv 3078    u. cun 3431   (/)c0 3758   {csn 3993  sngl bj-csngl 31349  tag bj-ctag 31358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-v 3080  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-sn 3994  df-bj-tag 31359
This theorem is referenced by:  bj-tagcg  31369  bj-taginv  31370
  Copyright terms: Public domain W3C validator