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Theorem bj-nuliota 33667
Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 33668. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nuliota  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nuliota
StepHypRef Expression
1 0ex 4577 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
21eueq1 3276 . . . . 5  |-  E! x  x  =  (/)
3 eq0 3800 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
43eubii 2300 . . . . 5  |-  ( E! x  x  =  (/)  <->  E! x A. y  -.  y  e.  x )
52, 4mpbi 208 . . . 4  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
6 eleq2 2540 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  (/) ) )
76notbid 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  x  <->  -.  y  e.  (/) ) )
87albidv 1689 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  y  e.  (/) ) )
98iota2 5575 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  E! x A. y  -.  y  e.  x )  ->  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) ) )
101, 5, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) )
11 noel 3789 . . 3  |-  -.  y  e.  (/)
1210, 11mpgbi 1604 . 2  |-  ( iota
x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/)
1312eqcomi 2480 1  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!weu 2275   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   iotacio 5547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030  df-uni 4246  df-iota 5549
This theorem is referenced by: (None)
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