Theorem bj-nuliota 34987

Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 34988. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nuliota	|- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nuliota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4569	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	eueq1 3269	. . . . 5 |- E! x x = (/)
3		eq0 3799	. . . . . 6 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
4	3	eubii 2308	. . . . 5 |- ( E! x x = (/) <-> E! x A. y -. y e. x )
5	2, 4	mpbi 208	. . . 4 |- E! x A. y -. y e. x
6		eleq2 2527	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( y e. x <-> y e. (/) ) )
7	6	notbid 292	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( -. y e. x <-> -. y e. (/) ) )
8	7	albidv 1718	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. y -. y e. x <-> A. y -. y e. (/) ) )
9	8	iota2 5560	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ E! x A. y -. y e. x ) -> ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) ) )
10	1, 5, 9	mp2an 670	. . 3 |- ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) )
11		noel 3787	. . 3 |- -. y e. (/)
12	10, 11	mpgbi 1626	. 2 |- ( iota x A. y -. y e. x ) = (/)
13	12	eqcomi 2467	1 |- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 1823   E!weu 2284   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   iotacio 5532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019  df-uni 4236  df-iota 5534

This theorem is referenced by: (None)