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Theorem bj-nuliota 31625
Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 31626. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nuliota  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nuliota
StepHypRef Expression
1 0ex 4507 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
21eueq1 3179 . . . . 5  |-  E! x  x  =  (/)
3 eq0 3715 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
43eubii 2322 . . . . 5  |-  ( E! x  x  =  (/)  <->  E! x A. y  -.  y  e.  x )
52, 4mpbi 213 . . . 4  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
6 eleq2 2519 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  (/) ) )
76notbid 300 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  x  <->  -.  y  e.  (/) ) )
87albidv 1771 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  y  e.  (/) ) )
98iota2 5551 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  E! x A. y  -.  y  e.  x )  ->  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) ) )
101, 5, 9mp2an 683 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) )
11 noel 3703 . . 3  |-  -.  y  e.  (/)
1210, 11mpgbi 1676 . 2  |-  ( iota
x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/)
1312eqcomi 2461 1  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189   A.wal 1446    = wceq 1448    e. wcel 1891   E!weu 2300   _Vcvv 3013   (/)c0 3699   iotacio 5523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-nul 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-v 3015  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-nul 3700  df-sn 3937  df-pr 3939  df-uni 4169  df-iota 5525
This theorem is referenced by: (None)
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