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Theorem bj-nuliota 34987
Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 34988. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nuliota  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nuliota
StepHypRef Expression
1 0ex 4569 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
21eueq1 3269 . . . . 5  |-  E! x  x  =  (/)
3 eq0 3799 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  <->  A. y  -.  y  e.  x )
43eubii 2308 . . . . 5  |-  ( E! x  x  =  (/)  <->  E! x A. y  -.  y  e.  x )
52, 4mpbi 208 . . . 4  |-  E! x A. y  -.  y  e.  x
6 eleq2 2527 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( y  e.  x  <->  y  e.  (/) ) )
76notbid 292 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  y  e.  x  <->  -.  y  e.  (/) ) )
87albidv 1718 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. y  -.  y  e.  x  <->  A. y  -.  y  e.  (/) ) )
98iota2 5560 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  E! x A. y  -.  y  e.  x )  ->  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) ) )
101, 5, 9mp2an 670 . . 3  |-  ( A. y  -.  y  e.  (/)  <->  ( iota x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/) )
11 noel 3787 . . 3  |-  -.  y  e.  (/)
1210, 11mpgbi 1626 . 2  |-  ( iota
x A. y  -.  y  e.  x )  =  (/)
1312eqcomi 2467 1  |-  (/)  =  ( iota x A. y  -.  y  e.  x
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184   A.wal 1396    = wceq 1398    e. wcel 1823   E!weu 2284   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   iotacio 5532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-nul 4568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-nul 3784  df-sn 4017  df-pr 4019  df-uni 4236  df-iota 5534
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