Theorem bj-nuliota 31625

Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 31626. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nuliota	|- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nuliota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4507	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	eueq1 3179	. . . . 5 |- E! x x = (/)
3		eq0 3715	. . . . . 6 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
4	3	eubii 2322	. . . . 5 |- ( E! x x = (/) <-> E! x A. y -. y e. x )
5	2, 4	mpbi 213	. . . 4 |- E! x A. y -. y e. x
6		eleq2 2519	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( y e. x <-> y e. (/) ) )
7	6	notbid 300	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( -. y e. x <-> -. y e. (/) ) )
8	7	albidv 1771	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. y -. y e. x <-> A. y -. y e. (/) ) )
9	8	iota2 5551	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ E! x A. y -. y e. x ) -> ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) ) )
10	1, 5, 9	mp2an 683	. . 3 |- ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) )
11		noel 3703	. . 3 |- -. y e. (/)
12	10, 11	mpgbi 1676	. 2 |- ( iota x A. y -. y e. x ) = (/)
13	12	eqcomi 2461	1 |- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   A.wal 1446   = wceq 1448   e. wcel 1891   E!weu 2300   _Vcvv 3013   (/)c0 3699   iotacio 5523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-nul 4506

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 988  df-tru 1451  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-v 3015  df-sbc 3236  df-dif 3375  df-un 3377  df-nul 3700  df-sn 3937  df-pr 3939  df-uni 4169  df-iota 5525

This theorem is referenced by: (None)