Theorem bj-nuliota 33667

Description: Definition of the empty set using the definite description binder. See also bj-nuliotaALT 33668. (Contributed by BJ, 30-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nuliota	|- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Distinct variable group:   x, y

Proof of Theorem bj-nuliota

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4577	. . . 4 |- (/) e. _V
2	1	eueq1 3276	. . . . 5 |- E! x x = (/)
3		eq0 3800	. . . . . 6 |- ( x = (/) <-> A. y -. y e. x )
4	3	eubii 2300	. . . . 5 |- ( E! x x = (/) <-> E! x A. y -. y e. x )
5	2, 4	mpbi 208	. . . 4 |- E! x A. y -. y e. x
6		eleq2 2540	. . . . . . 7 |- ( x = (/) -> ( y e. x <-> y e. (/) ) )
7	6	notbid 294	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( -. y e. x <-> -. y e. (/) ) )
8	7	albidv 1689	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( A. y -. y e. x <-> A. y -. y e. (/) ) )
9	8	iota2 5575	. . . 4 |- ( ( (/) e. _V /\ E! x A. y -. y e. x ) -> ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) ) )
10	1, 5, 9	mp2an 672	. . 3 |- ( A. y -. y e. (/) <-> ( iota x A. y -. y e. x ) = (/) )
11		noel 3789	. . 3 |- -. y e. (/)
12	10, 11	mpgbi 1604	. 2 |- ( iota x A. y -. y e. x ) = (/)
13	12	eqcomi 2480	1 |- (/) = ( iota x A. y -. y e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   E!weu 2275   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   iotacio 5547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030  df-uni 4246  df-iota 5549

This theorem is referenced by: (None)