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Theorem bj-nalset 31453
Description: Remove dependency on ax-13 2101 from nalset 4553. (Contributed by BJ, 31-May-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nalset  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Distinct variable group:    x, y

Proof of Theorem bj-nalset
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alexn 1724 . 2  |-  ( A. x E. y  -.  y  e.  x  <->  -.  E. x A. y  y  e.  x )
2 ax-sep 4538 . . 3  |-  E. y A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )
3 elequ1 1904 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  y  <->  y  e.  y ) )
4 elequ1 1904 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  x  <->  y  e.  x ) )
5 elequ1 1904 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  z ) )
6 elequ2 1911 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  y  ->  (
y  e.  z  <->  y  e.  y ) )
75, 6bitrd 261 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  y  ->  (
z  e.  z  <->  y  e.  y ) )
87notbid 300 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( -.  z  e.  z  <->  -.  y  e.  y ) )
94, 8anbi12d 722 . . . . . 6  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z )  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
103, 9bibi12d 327 . . . . 5  |-  ( z  =  y  ->  (
( z  e.  y  <-> 
( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  <->  ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) ) )
1110bj-spvv 31368 . . . 4  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  -> 
( y  e.  y  <-> 
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) ) )
12 pclem6 946 . . . 4  |-  ( ( y  e.  y  <->  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  y ) )  ->  -.  y  e.  x
)
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( A. z ( z  e.  y  <->  ( z  e.  x  /\  -.  z  e.  z ) )  ->  -.  y  e.  x
)
142, 13eximii 1719 . 2  |-  E. y  -.  y  e.  x
151, 14mpgbi 1682 1  |-  -.  E. x A. y  y  e.  x
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1452   E.wex 1673
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-sep 4538
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-ex 1674
This theorem is referenced by: (None)
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