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Theorem bj-hbext 30828
Description: Closed form of hbex 1974. (Contributed by BJ, 10-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-hbext  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) )

Proof of Theorem bj-hbext
StepHypRef Expression
1 nfa2 1981 . . . 4  |-  F/ x A. y A. x (
ph  ->  A. x ph )
2 hbnt 1922 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ph  ->  A. x ph )  -> 
( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )
)
32alimi 1654 . . . . 5  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. y ( -. 
ph  ->  A. x  -.  ph ) )
4 bj-hbalt 30804 . . . . 5  |-  ( A. y ( -.  ph  ->  A. x  -.  ph )  ->  ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )
)
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  ( A. y  -. 
ph  ->  A. x A. y  -.  ph ) )
61, 5alrimi 1901 . . 3  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  A. x ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )
)
7 hbnt 1922 . . 3  |-  ( A. x ( A. y  -.  ph  ->  A. x A. y  -.  ph )  ->  ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) )
86, 7syl 17 . 2  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  ( -.  A. y  -.  ph  ->  A. x  -.  A. y  -.  ph ) )
9 df-ex 1634 . . 3  |-  ( E. y ph  <->  -.  A. y  -.  ph )
109bicomi 202 . 2  |-  ( -. 
A. y  -.  ph  <->  E. y ph )
1110albii 1661 . 2  |-  ( A. x  -.  A. y  -. 
ph 
<-> 
A. x E. y ph )
128, 10, 113imtr3g 269 1  |-  ( A. y A. x ( ph  ->  A. x ph )  ->  ( E. y ph  ->  A. x E. y ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1403   E.wex 1633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-ex 1634  df-nf 1638
This theorem is referenced by:  bj-nfext  30830
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