Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-flbi3 Structured version   Unicode version

Theorem bj-flbi3 32550
Description: The floor of a real number in  [ 0 ,  1 ) is 0. Remark: may shorten the proof of modid 11751 or a version of it where the antecedent is membership in an interval. (Contributed by BJ, 29-Jun-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-flbi3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )

Proof of Theorem bj-flbi3
StepHypRef Expression
1 0re 9405 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 1re 9404 . . . . 5  |-  1  e.  RR
32rexri 9455 . . . 4  |-  1  e.  RR*
4 icossre 11395 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  1  e.  RR* )  -> 
( 0 [,) 1
)  C_  RR )
51, 3, 4mp2an 672 . . 3  |-  ( 0 [,) 1 )  C_  RR
65sseli 3371 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  A  e.  RR )
7 0xr 9449 . . . 4  |-  0  e.  RR*
8 elico1 11362 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  1
) ) )
97, 3, 8mp2an 672 . . 3  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  <->  ( A  e.  RR*  /\  0  <_  A  /\  A  <  1
) )
109simp2bi 1004 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  0  <_  A )
119simp3bi 1005 . 2  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  A  <  1 )
12 recn 9391 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
1312addid2d 9589 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  +  A )  =  A )
1413fveq2d 5714 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  ( 0  +  A ) )  =  ( |_ `  A
) )
1514eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
0  +  A ) )  =  0  <->  ( |_ `  A )  =  0 ) )
16 0z 10676 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
17 flbi2 11684 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  ( 0  +  A
) )  =  0  <-> 
( 0  <_  A  /\  A  <  1
) ) )
1816, 17mpan 670 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  (
0  +  A ) )  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  1 ) ) )
1915, 18bitr3d 255 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  =  0  <->  (
0  <_  A  /\  A  <  1 ) ) )
2019biimpar 485 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  1
) )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
216, 10, 11, 20syl12anc 1216 1  |-  ( A  e.  ( 0 [,) 1 )  ->  ( |_ `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    C_ wss 3347   class class class wbr 4311   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301   1c1 9302    + caddc 9304   RR*cxr 9436    < clt 9437    <_ cle 9438   ZZcz 10665   [,)cico 11321   |_cfl 11659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-ico 11325  df-fl 11661
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator