Theorem bj-elsngl 32794

Description: Characterization of the elements of the singletonization of a class. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-elsngl	|- ( A e. sngl B <-> E. x e. B A = { x } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem bj-elsngl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clel 2449	. 2 |- ( A e. sngl B <-> E. y ( y = A /\ y e. sngl B ) )
2		df-bj-sngl 32792	. . . . 5 |- sngl B = { y | E. x e. B y = { x } }
3	2	abeq2i 2581	. . . 4 |- ( y e. sngl B <-> E. x e. B y = { x } )
4	3	anbi2i 694	. . 3 |- ( ( y = A /\ y e. sngl B ) <-> ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
5	4	exbii 1635	. 2 |- ( E. y ( y = A /\ y e. sngl B ) <-> E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
6		r19.42v 2981	. . . . 5 |- ( E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) <-> ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
7	6	bicomi 202	. . . 4 |- ( ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
8	7	exbii 1635	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
9		rexcom4 3098	. . . 4 |- ( E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
10	9	bicomi 202	. . 3 |- ( E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
11		eqcom 2463	. . . . . 6 |- ( A = { x } <-> { x } = A )
12		snex 4642	. . . . . . 7 |- { x } e. _V
13	12	eqvinc 3193	. . . . . 6 |- ( { x } = A <-> E. y ( y = { x } /\ y = A ) )
14		exancom 1639	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = { x } /\ y = A ) <-> E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
15	11, 13, 14	3bitri 271	. . . . 5 |- ( A = { x } <-> E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
16	15	bicomi 202	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> A = { x } )
17	16	rexbii 2862	. . 3 |- ( E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. x e. B A = { x } )
18	8, 10, 17	3bitri 271	. 2 |- ( E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. x e. B A = { x } )
19	1, 5, 18	3bitri 271	1 |- ( A e. sngl B <-> E. x e. B A = { x } )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   E.wex 1587   e. wcel 1758   E.wrex 2800   {csn 3986  sngl bj-csngl 32791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pr 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-rex 2805  df-v 3080  df-dif 3440  df-un 3442  df-nul 3747  df-sn 3987  df-pr 3989  df-bj-sngl 32792

This theorem is referenced by:  bj-snglc  32795  bj-snglss  32796  bj-0nelsngl  32797  bj-eltag  32803