Theorem bj-elsngl 34669

Description: Characterization of the elements of the singletonization of a class. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
bj-elsngl	|- ( A e. sngl B <-> E. x e. B A = { x } )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem bj-elsngl

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-clel 2452	. 2 |- ( A e. sngl B <-> E. y ( y = A /\ y e. sngl B ) )
2		df-bj-sngl 34667	. . . . 5 |- sngl B = { y | E. x e. B y = { x } }
3	2	abeq2i 2584	. . . 4 |- ( y e. sngl B <-> E. x e. B y = { x } )
4	3	anbi2i 694	. . 3 |- ( ( y = A /\ y e. sngl B ) <-> ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
5	4	exbii 1668	. 2 |- ( E. y ( y = A /\ y e. sngl B ) <-> E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
6		r19.42v 3012	. . . . 5 |- ( E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) <-> ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) )
7	6	bicomi 202	. . . 4 |- ( ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
8	7	exbii 1668	. . 3 |- ( E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
9		rexcom4 3129	. . . 4 |- ( E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) )
10	9	bicomi 202	. . 3 |- ( E. y E. x e. B ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
11		eqcom 2466	. . . . . 6 |- ( A = { x } <-> { x } = A )
12		snex 4697	. . . . . . 7 |- { x } e. _V
13	12	eqvinc 3226	. . . . . 6 |- ( { x } = A <-> E. y ( y = { x } /\ y = A ) )
14		exancom 1672	. . . . . 6 |- ( E. y ( y = { x } /\ y = A ) <-> E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
15	11, 13, 14	3bitri 271	. . . . 5 |- ( A = { x } <-> E. y ( y = A /\ y = { x } ) )
16	15	bicomi 202	. . . 4 |- ( E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> A = { x } )
17	16	rexbii 2959	. . 3 |- ( E. x e. B E. y ( y = A /\ y = { x } ) <-> E. x e. B A = { x } )
18	8, 10, 17	3bitri 271	. 2 |- ( E. y ( y = A /\ E. x e. B y = { x } ) <-> E. x e. B A = { x } )
19	1, 5, 18	3bitri 271	1 |- ( A e. sngl B <-> E. x e. B A = { x } )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   E.wex 1613   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {csn 4032  sngl bj-csngl 34666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pr 4695

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-v 3111  df-dif 3474  df-un 3476  df-nul 3794  df-sn 4033  df-pr 4035  df-bj-sngl 34667

This theorem is referenced by:  bj-snglc  34670  bj-snglss  34671  bj-0nelsngl  34672  bj-eltag  34678