Theorem bj-ceqsalt1 31527

Description: The FOL content of ceqsalt 3081. Lemma for bj-ceqsalt 31528 and bj-ceqsaltv 31529. (TODO: consider removing if it does not add anything to bj-ceqsalt0 31526.) (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
bj-ceqsalt1.1	|- ( th -> E. x ch )

Assertion

Ref	Expression
bj-ceqsalt1	|- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) <-> ps ) )

Proof of Theorem bj-ceqsalt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-ceqsalt1.1	. . . 4 |- ( th -> E. x ch )
2	1	3ad2ant3 1037	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> E. x ch )
3		biimp 198	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ph -> ps ) )
4	3	imim3i 61	. . . . . 6 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ( ch -> ph ) -> ( ch -> ps ) ) )
5	4	al2imi 1697	. . . . 5 |- ( A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> A. x ( ch -> ps ) ) )
6	5	3ad2ant2 1036	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> A. x ( ch -> ps ) ) )
7		19.23t 2001	. . . . 5 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( ch -> ps ) <-> ( E. x ch -> ps ) ) )
8	7	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ps ) <-> ( E. x ch -> ps ) ) )
9	6, 8	sylibd 222	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> ( E. x ch -> ps ) ) )
10	2, 9	mpid 42	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) -> ps ) )
11		biimpr 203	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ps -> ph ) )
12	11	imim2i 16	. . . . . 6 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ch -> ( ps -> ph ) ) )
13	12	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
14	13	alimi 1694	. . . 4 |- ( A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) -> A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
15	14	3ad2ant2 1036	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) )
16		19.21t 1996	. . . 4 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) ) )
17	16	3ad2ant1 1035	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ps -> ( ch -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) ) )
18	15, 17	mpbid 215	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( ps -> A. x ( ch -> ph ) ) )
19	10, 18	impbid 195	1 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( ch -> ( ph <-> ps ) ) /\ th ) -> ( A. x ( ch -> ph ) <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ w3a 991   A.wal 1452   E.wex 1673   F/wnf 1677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-10 1925  ax-12 1943

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-an 377  df-3an 993  df-ex 1674  df-nf 1678

This theorem is referenced by: (None)