Theorem bj-ceqsalt0 31482

Description: The FOL content of ceqsalt 3070. Lemma for bj-ceqsalt 31484 and bj-ceqsaltv 31485. (Contributed by BJ, 26-Sep-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-ceqsalt0	|- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ph ) <-> ps ) )

Proof of Theorem bj-ceqsalt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3 1010	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> E. x th )
2		biimp 197	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ph -> ps ) )
3	2	imim3i 61	. . . . . 6 |- ( ( th -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ( th -> ph ) -> ( th -> ps ) ) )
4	3	al2imi 1687	. . . . 5 |- ( A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) -> ( A. x ( th -> ph ) -> A. x ( th -> ps ) ) )
5	4	3ad2ant2 1030	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ph ) -> A. x ( th -> ps ) ) )
6		19.23t 1991	. . . . 5 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( th -> ps ) <-> ( E. x th -> ps ) ) )
7	6	3ad2ant1 1029	. . . 4 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ps ) <-> ( E. x th -> ps ) ) )
8	5, 7	sylibd 218	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ph ) -> ( E. x th -> ps ) ) )
9	1, 8	mpid 42	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ph ) -> ps ) )
10		biimpr 202	. . . . . . 7 |- ( ( ph <-> ps ) -> ( ps -> ph ) )
11	10	imim2i 16	. . . . . 6 |- ( ( th -> ( ph <-> ps ) ) -> ( th -> ( ps -> ph ) ) )
12	11	com23 81	. . . . 5 |- ( ( th -> ( ph <-> ps ) ) -> ( ps -> ( th -> ph ) ) )
13	12	alimi 1684	. . . 4 |- ( A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) -> A. x ( ps -> ( th -> ph ) ) )
14	13	3ad2ant2 1030	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> A. x ( ps -> ( th -> ph ) ) )
15		19.21t 1986	. . . 4 |- ( F/ x ps -> ( A. x ( ps -> ( th -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( th -> ph ) ) ) )
16	15	3ad2ant1 1029	. . 3 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( ps -> ( th -> ph ) ) <-> ( ps -> A. x ( th -> ph ) ) ) )
17	14, 16	mpbid 214	. 2 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( ps -> A. x ( th -> ph ) ) )
18	9, 17	impbid 194	1 |- ( ( F/ x ps /\ A. x ( th -> ( ph <-> ps ) ) /\ E. x th ) -> ( A. x ( th -> ph ) <-> ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ w3a 985   A.wal 1442   E.wex 1663   F/wnf 1667

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-10 1915  ax-12 1933

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-3an 987  df-ex 1664  df-nf 1668

This theorem is referenced by:  bj-ceqsalt  31484  bj-ceqsaltv  31485  bj-ceqsalg0  31486