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Theorem bj-axrep4 34759
Description: Remove dependency on ax-13 2016 from axrep4 4495. (Contributed by BJ, 31-May-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
bj-axrep4.1  |-  F/ z
ph
Assertion
Ref Expression
bj-axrep4  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Distinct variable group:    x, y, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem bj-axrep4
StepHypRef Expression
1 bj-axrep3 34758 . . 3  |-  E. x
( E. z A. y ( ph  ->  y  =  z )  ->  A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
2119.35i 1704 . 2  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) ) )
3 nfv 1722 . . . . 5  |-  F/ z  y  e.  x
4 nfv 1722 . . . . . . 7  |-  F/ z  x  e.  w
5 nfa1 1915 . . . . . . 7  |-  F/ z A. z ph
64, 5nfan 1946 . . . . . 6  |-  F/ z ( x  e.  w  /\  A. z ph )
76nfex 1966 . . . . 5  |-  F/ z E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )
83, 7nfbi 1952 . . . 4  |-  F/ z ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )
98nfal 1965 . . 3  |-  F/ z A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)
10 nfv 1722 . . . . 5  |-  F/ x  y  e.  z
11 nfe1 1858 . . . . 5  |-  F/ x E. x ( x  e.  w  /\  ph )
1210, 11nfbi 1952 . . . 4  |-  F/ x
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
)
1312nfal 1965 . . 3  |-  F/ x A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
14 elequ2 1841 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  z ) )
15 bj-axrep4.1 . . . . . . . . 9  |-  F/ z
ph
161519.3 1906 . . . . . . . 8  |-  ( A. z ph  <->  ph )
1716anbi2i 692 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  ( x  e.  w  /\  ph )
)
1817exbii 1682 . . . . . 6  |-  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) )
1918a1i 11 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
2014, 19bibi12d 319 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) ) )
2120albidv 1728 . . 3  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y ( y  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. z ph ) )  <->  A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) ) )
229, 13, 21bj-cbvexv 34679 . 2  |-  ( E. x A. y ( y  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. z ph )
)  <->  E. z A. y
( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph )
) )
232, 22sylib 196 1  |-  ( A. x E. z A. y
( ph  ->  y  =  z )  ->  E. z A. y ( y  e.  z  <->  E. x ( x  e.  w  /\  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397   E.wex 1627   F/wnf 1631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-rep 4491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632
This theorem is referenced by:  bj-axrep5  34760
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