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Theorem bj-axrep3 32168
Description: Remove dependency on ax-13 1943 from axrep3 4401. (Contributed by BJ, 31-May-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-axrep3  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
Distinct variable group:    x, w, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w)

Proof of Theorem bj-axrep3
StepHypRef Expression
1 nfe1 1778 . . . 4  |-  F/ y E. y A. z
( ph  ->  z  =  y )
2 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ y  z  e.  x
3 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x  e.  w
4 nfa1 1830 . . . . . . . 8  |-  F/ y A. y ph
53, 4nfan 1860 . . . . . . 7  |-  F/ y ( x  e.  w  /\  A. y ph )
65nfex 1873 . . . . . 6  |-  F/ y E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph )
72, 6nfbi 1866 . . . . 5  |-  F/ y ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) )
87nfal 1872 . . . 4  |-  F/ y A. z ( z  e.  x  <->  E. x
( x  e.  w  /\  A. y ph )
)
91, 8nfim 1852 . . 3  |-  F/ y ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
109nfex 1873 . 2  |-  F/ y E. x ( E. y A. z (
ph  ->  z  =  y )  ->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
11 elequ2 1761 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  w  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  w ) )
1211anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( y  =  w  ->  (
( x  e.  y  /\  A. y ph ) 
<->  ( x  e.  w  /\  A. y ph )
) )
1312exbidv 1680 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph )  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
1413bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  w  ->  (
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) )
1514albidv 1679 . . . 4  |-  ( y  =  w  ->  ( A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) )  <->  A. z
( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) )
1615imbi2d 316 . . 3  |-  ( y  =  w  ->  (
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <-> 
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) ) )
1716exbidv 1680 . 2  |-  ( y  =  w  ->  ( E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )  <->  E. x ( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) ) ) )
18 bj-axrep2 32167 . 2  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  y  /\  A. y ph ) ) )
1910, 17, 18bj-chvarv 32079 1  |-  E. x
( E. y A. z ( ph  ->  z  =  y )  ->  A. z ( z  e.  x  <->  E. x ( x  e.  w  /\  A. y ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367   E.wex 1586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-rep 4398
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590
This theorem is referenced by:  bj-axrep4  32169
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