Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-2uplex Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bj-2uplex 31662
Description: A couple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
bj-2uplex  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )

Proof of Theorem bj-2uplex
StepHypRef Expression
1 bj-pr21val 31653 . . . 4  |- pr1 (| A,  B|)  =  A
2 bj-pr1ex 31646 . . . 4  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  -> pr1 (| A,  B|)  e.  _V )
31, 2syl5eqelr 2545 . . 3  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  ->  A  e.  _V )
4 bj-pr22val 31659 . . . 4  |- pr2 (| A,  B|)  =  B
5 bj-pr2ex 31660 . . . 4  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  -> pr2 (| A,  B|)  e.  _V )
64, 5syl5eqelr 2545 . . 3  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  ->  B  e.  _V )
73, 6jca 539 . 2  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
)
8 df-bj-2upl 31651 . . 3  |- (| A,  B|)  =  ((| A|)  u.  ( { 1o }  X. tag  B
) )
9 bj-1uplex 31648 . . . . 5  |-  ((| A|)  e.  _V  <->  A  e.  _V )
109biimpri 211 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  -> (| A|)  e.  _V )
11 snex 4658 . . . . 5  |-  { 1o }  e.  _V
12 bj-xtagex 31629 . . . . 5  |-  ( { 1o }  e.  _V  ->  ( B  e.  _V  ->  ( { 1o }  X. tag  B )  e.  _V ) )
1311, 12ax-mp 5 . . . 4  |-  ( B  e.  _V  ->  ( { 1o }  X. tag  B
)  e.  _V )
14 unexg 6624 . . . 4  |-  ( ((| A|)  e.  _V  /\  ( { 1o }  X. tag  B )  e.  _V )  ->  ((| A|)  u.  ( { 1o }  X. tag  B
) )  e.  _V )
1510, 13, 14syl2an 484 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ((| A|)  u.  ( { 1o }  X. tag  B
) )  e.  _V )
168, 15syl5eqel 2544 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> (| A,  B|)  e.  _V )
177, 16impbii 192 1  |-  ((| A,  B|)  e.  _V  <->  ( A  e.  _V  /\  B  e. 
_V ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    e. wcel 1898   _Vcvv 3057    u. cun 3414   {csn 3980    X. cxp 4854   1oc1o 7206  tag bj-ctag 31614  (|bj-c1upl 31637  pr1 bj-cpr1 31640  (|bj-c2uple 31650  pr2 bj-cpr2 31654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-suc 5452  df-1o 7213  df-bj-sngl 31606  df-bj-tag 31615  df-bj-proj 31631  df-bj-1upl 31638  df-bj-pr1 31641  df-bj-2upl 31651  df-bj-pr2 31655
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator