Theorem bj-1uplex 32348

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	|- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 32345	. . 3 |- pr1 (| A|) = A
2		bj-pr1ex 32346	. . 3 |- ((| A|) e. _V -> pr1 (| A|) e. _V )
3	1, 2	syl5eqelr 2523	. 2 |- ((| A|) e. _V -> A e. _V )
4		df-bj-1upl 32338	. . 3 |- (| A|) = ( { (/) } X. tag A )
5		p0ex 4474	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		bj-xtagex 32329	. . . 4 |- ( { (/) } e. _V -> ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V )
8	4, 7	syl5eqel 2522	. 2 |- ( A e. _V -> (| A|) e. _V )
9	3, 8	impbii 188	1 |- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   {csn 3872   X. cxp 4833  tag bj-ctag 32314  (|bj-c1upl 32337  pr₁ bj-cpr1 32340

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-bj-sngl 32306  df-bj-tag 32315  df-bj-proj 32331  df-bj-1upl 32338  df-bj-pr1 32341

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  32362