Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-1uplex Structured version   Unicode version

Theorem bj-1uplex 34048
Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-1uplex  |-  ((| A|)  e.  _V  <->  A  e.  _V )

Proof of Theorem bj-1uplex
StepHypRef Expression
1 bj-pr11val 34045 . . 3  |- pr1 (| A|)  =  A
2 bj-pr1ex 34046 . . 3  |-  ((| A|)  e.  _V  -> pr1 (| A|)  e.  _V )
31, 2syl5eqelr 2560 . 2  |-  ((| A|)  e.  _V  ->  A  e.  _V )
4 df-bj-1upl 34038 . . 3  |- (| A|)  =  ( { (/) }  X. tag  A
)
5 p0ex 4640 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 bj-xtagex 34029 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( { (/) }  X. tag  A )  e.  _V )
)
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( { (/) }  X. tag  A
)  e.  _V )
84, 7syl5eqel 2559 . 2  |-  ( A  e.  _V  -> (| A|)  e.  _V )
93, 8impbii 188 1  |-  ((| A|)  e.  _V  <->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033    X. cxp 5003  tag bj-ctag 34014  (|bj-c1upl 34037  pr1 bj-cpr1 34040
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-bj-sngl 34006  df-bj-tag 34015  df-bj-proj 34031  df-bj-1upl 34038  df-bj-pr1 34041
This theorem is referenced by:  bj-2uplex  34062
  Copyright terms: Public domain W3C validator