Theorem bj-1uplex 34048

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	|- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 34045	. . 3 |- pr1 (| A|) = A
2		bj-pr1ex 34046	. . 3 |- ((| A|) e. _V -> pr1 (| A|) e. _V )
3	1, 2	syl5eqelr 2560	. 2 |- ((| A|) e. _V -> A e. _V )
4		df-bj-1upl 34038	. . 3 |- (| A|) = ( { (/) } X. tag A )
5		p0ex 4640	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		bj-xtagex 34029	. . . 4 |- ( { (/) } e. _V -> ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V )
8	4, 7	syl5eqel 2559	. 2 |- ( A e. _V -> (| A|) e. _V )
9	3, 8	impbii 188	1 |- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   e. wcel 1767   _Vcvv 3118   (/)c0 3790   {csn 4033   X. cxp 5003  tag bj-ctag 34014  (|bj-c1upl 34037  pr₁ bj-cpr1 34040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-bj-sngl 34006  df-bj-tag 34015  df-bj-proj 34031  df-bj-1upl 34038  df-bj-pr1 34041

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  34062