Theorem bj-1uplex 31648

Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
bj-1uplex	|- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Proof of Theorem bj-1uplex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bj-pr11val 31645	. . 3 |- pr1 (| A|) = A
2		bj-pr1ex 31646	. . 3 |- ((| A|) e. _V -> pr1 (| A|) e. _V )
3	1, 2	syl5eqelr 2545	. 2 |- ((| A|) e. _V -> A e. _V )
4		df-bj-1upl 31638	. . 3 |- (| A|) = ( { (/) } X. tag A )
5		p0ex 4607	. . . 4 |- { (/) } e. _V
6		bj-xtagex 31629	. . . 4 |- ( { (/) } e. _V -> ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V ) )
7	5, 6	ax-mp 5	. . 3 |- ( A e. _V -> ( { (/) } X. tag A ) e. _V )
8	4, 7	syl5eqel 2544	. 2 |- ( A e. _V -> (| A|) e. _V )
9	3, 8	impbii 192	1 |- ((| A|) e. _V <-> A e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   e. wcel 1898   _Vcvv 3057   (/)c0 3743   {csn 3980   X. cxp 4854  tag bj-ctag 31614  (|bj-c1upl 31637  pr₁ bj-cpr1 31640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-bj-sngl 31606  df-bj-tag 31615  df-bj-proj 31631  df-bj-1upl 31638  df-bj-pr1 31641

This theorem is referenced by:  bj-2uplex  31662