Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-1uplex Structured version   Unicode version

Theorem bj-1uplex 32348
Description: A monuple is a set if and only if its coordinates are sets. (Contributed by BJ, 6-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
bj-1uplex  |-  ((| A|)  e.  _V  <->  A  e.  _V )

Proof of Theorem bj-1uplex
StepHypRef Expression
1 bj-pr11val 32345 . . 3  |- pr1 (| A|)  =  A
2 bj-pr1ex 32346 . . 3  |-  ((| A|)  e.  _V  -> pr1 (| A|)  e.  _V )
31, 2syl5eqelr 2523 . 2  |-  ((| A|)  e.  _V  ->  A  e.  _V )
4 df-bj-1upl 32338 . . 3  |- (| A|)  =  ( { (/) }  X. tag  A
)
5 p0ex 4474 . . . 4  |-  { (/) }  e.  _V
6 bj-xtagex 32329 . . . 4  |-  ( {
(/) }  e.  _V  ->  ( A  e.  _V  ->  ( { (/) }  X. tag  A )  e.  _V )
)
75, 6ax-mp 5 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( { (/) }  X. tag  A
)  e.  _V )
84, 7syl5eqel 2522 . 2  |-  ( A  e.  _V  -> (| A|)  e.  _V )
93, 8impbii 188 1  |-  ((| A|)  e.  _V  <->  A  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   (/)c0 3632   {csn 3872    X. cxp 4833  tag bj-ctag 32314  (|bj-c1upl 32337  pr1 bj-cpr1 32340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-bj-sngl 32306  df-bj-tag 32315  df-bj-proj 32331  df-bj-1upl 32338  df-bj-pr1 32341
This theorem is referenced by:  bj-2uplex  32362
  Copyright terms: Public domain W3C validator