MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bitsval 14397
Description: Expand the definition of the bits of an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsval  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )

Proof of Theorem bitsval
Dummy variables  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 14395 . . . . 5  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
21dmmptss 5331 . . . 4  |-  dom bits  C_  ZZ
3 elfvdm 5891 . . . 4  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  ->  N  e.  dom bits )
42, 3sseldi 3430 . . 3  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  ->  N  e.  ZZ )
5 bitsfval 14396 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (bits `  N )  =  {
m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) ) } )
65eleq2d 2514 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  M  e.  { m  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) } ) )
7 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  M  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ M ) )
87oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  M  ->  ( N  /  ( 2 ^ m ) )  =  ( N  /  (
2 ^ M ) ) )
98fveq2d 5869 . . . . . . 7  |-  ( m  =  M  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  =  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
109breq2d 4414 . . . . . 6  |-  ( m  =  M  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ m ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
1110notbid 296 . . . . 5  |-  ( m  =  M  ->  ( -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ m
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
1211elrab 3196 . . . 4  |-  ( M  e.  { m  e. 
NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ m ) ) ) }  <->  ( M  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
136, 12syl6bb 265 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( M  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
144, 13biadan2 648 . 2  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
15 3anass 989 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( M  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) ) )
1614, 15bitr4i 256 1  |-  ( M  e.  (bits `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   class class class wbr 4402   dom cdm 4834   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    / cdiv 10269   2c2 10659   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   |_cfl 12026   ^cexp 12272    || cdvds 14305  bitscbits 14392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-nn 10610  df-n0 10870  df-bits 14395
This theorem is referenced by:  bitsval2  14398  bitsss  14399  bitsfzo  14409  bitsmod  14410  bitscmp  14412
  Copyright terms: Public domain W3C validator