MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Structured version   Unicode version

Theorem bitsp1o 14370
Description: The  M  +  1-th bit of  2 N  +  1 is the  M-th bit of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 10958 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 23 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 11035 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 11032 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
6 bitsp1 14368 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
75, 6sylan 473 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
8 2re 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
10 zre 10930 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
119, 10remulcld 9660 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
1211recnd 9658 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
13 1cnd 9648 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
14 2cnd 10671 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
15 2ne0 10691 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1615a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
1712, 13, 14, 16divdird 10410 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
18 zcn 10931 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
1918, 14, 16divcan3d 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2019oveq1d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2117, 20eqtrd 2461 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2221fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
23 0re 9632 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
24 halfre 10817 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
25 halfgt0 10819 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2623, 24, 25ltleii 9746 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
27 halflt1 10820 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2826, 27pm3.2i 456 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
29 flbi2 12038 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 ) ) )
3024, 29mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  N  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 ) ) )
3128, 30mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N )
3222, 31eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  N )
3332adantr 466 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) )  =  N )
3433fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) )  =  (bits `  N )
)
3534eleq2d 2490 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  ( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
367, 35bitrd 256 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   class class class wbr 4417   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    / cdiv 10258   2c2 10648   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   |_cfl 12012  bitscbits 14356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-bits 14359
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator