MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsp1o Structured version   Unicode version

Theorem bitsp1o 13945
Description: The  M  +  1-th bit of  2 N  +  1 is the  M-th bit of  N. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsp1o  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )

Proof of Theorem bitsp1o
StepHypRef Expression
1 2z 10897 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  ZZ )
3 id 22 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ZZ )
42, 3zmulcld 10973 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  ZZ )
54peano2zd 10970 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  +  1 )  e.  ZZ )
6 bitsp1 13943 . . 3  |-  ( ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
75, 6sylan 471 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) ) ) )
8 2re 10606 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  RR )
10 zre 10869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
119, 10remulcld 9625 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  RR )
1211recnd 9623 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
2  x.  N )  e.  CC )
13 ax-1cn 9551 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  CC )
15 2cnd 10609 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  e.  CC )
16 2ne0 10629 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
1716a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  2  =/=  0 )
1812, 14, 15, 17divdird 10359 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  N )  /  2 )  +  ( 1  /  2
) ) )
19 zcn 10870 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2019, 15, 17divcan3d 10326 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( 2  x.  N
)  /  2 )  =  N )
2120oveq1d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  /  2
)  +  ( 1  /  2 ) )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2218, 21eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 )  =  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )
2322fveq2d 5870 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) ) )
24 0re 9597 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
25 halfre 10755 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
26 halfgt0 10757 . . . . . . . . 9  |-  0  <  ( 1  /  2
)
2724, 25, 26ltleii 9708 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
28 halflt1 10758 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
2927, 28pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 )
30 flbi2 11922 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( |_
`  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N  <->  ( 0  <_ 
( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <  1 ) ) )
3125, 30mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2 ) ) )  =  N  <->  ( 0  <_  ( 1  / 
2 )  /\  (
1  /  2 )  <  1 ) ) )
3229, 31mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( N  +  ( 1  /  2
) ) )  =  N )
3323, 32eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  / 
2 ) )  =  N )
3433adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) )  =  N )
3534fveq2d 5870 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( |_ `  ( ( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2
) ) )  =  (bits `  N )
)
3635eleq2d 2537 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  ( |_ `  (
( ( 2  x.  N )  +  1 )  /  2 ) ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
377, 36bitrd 253 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( M  + 
1 )  e.  (bits `  ( ( 2  x.  N )  +  1 ) )  <->  M  e.  (bits `  N ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    / cdiv 10207   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   |_cfl 11896  bitscbits 13931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-bits 13934
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator