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Theorem bitsmod 12903
Description: Truncating the bit sequence after some  M is equivalent to reducing the argument  mod  2 ^ M. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsmod  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( (bits `  N
)  i^i  ( 0..^ M ) ) )

Proof of Theorem bitsmod
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
2 2nn 10089 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
32a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
4 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
53, 4nnexpcld 11499 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
61, 5zmodcld 11222 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
76nn0zd 10329 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  ZZ )
87biantrurd 495 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) ) ) )
91ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  ZZ )
10 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  NN0 )
11 bitsval2 12892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
129, 10, 11syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
13 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  <  M )
1413biantrud 494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  e.  (bits `  N )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) ) )
15 2z 10268 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  ZZ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  ZZ )
179zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  RR )
182a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  NN )
1918, 10nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  NN )
2017, 19nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  /  ( 2 ^ x ) )  e.  RR )
2120flcld 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )
227ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
2322zred 10331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  RR )
2423, 19nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  RR )
2524flcld 11162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )
26 2cn 10026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  CC
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  e.  CC )
2827, 10expp1d 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ x )  x.  2 ) )
29 1nn0 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  NN0
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  1  e.  NN0 )
3110, 30nn0addcld 10234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  e.  NN0 )
3231nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  e.  ZZ )
33 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
3433adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  NN0 )
3534nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
36 nn0ltp1le 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  <  M  <->  ( x  +  1 )  <_  M ) )
3710, 34, 36syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  <  M  <->  ( x  +  1 )  <_  M ) )
3813, 37mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
x  +  1 )  <_  M )
39 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  (
x  +  1 ) )  <->  ( ( x  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  ( x  +  1 )  <_  M ) )
4032, 35, 38, 39syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1 ) ) )
41 dvdsexp 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( x  +  1
)  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  ( x  +  1
) ) )  -> 
( 2 ^ (
x  +  1 ) )  ||  ( 2 ^ M ) )
4216, 31, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ ( x  +  1 ) ) 
||  ( 2 ^ M ) )
4328, 42eqbrtrrd 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( 2 ^ M ) )
445ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  NN )
4544nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR+ )
46 moddifz 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4717, 45, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4844nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  e.  ZZ )
49 2ne0 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  =/=  0
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  =/=  0 )
5127, 50, 35expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M )  =/=  0 )
529, 22zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  e.  ZZ )
53 dvdsval2 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ ) )
5448, 51, 52, 53syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ M
)  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ ) )
5547, 54mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ M ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
5619nnzd 10330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  ZZ )
5756, 16zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 )  e.  ZZ )
58 dvdstr 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( 2 ^ M
)  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( (
2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
5957, 48, 52, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  (
2 ^ M )  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  ->  ( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) ) )
6043, 55, 59mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
6152zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  e.  CC )
6219nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  e.  CC )
6310nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  ZZ )
6427, 50, 63expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x )  =/=  0 )
6561, 62, 64divcan2d 9748 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  =  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
6660, 65breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
6710nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  e.  RR )
6834nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  RR )
6967, 68, 13ltled 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  x  <_  M )
70 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  x
)  <->  ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <_  M ) )
7163, 35, 69, 70syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  M  e.  ( ZZ>= `  x )
)
72 dvdsexp 12860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  M  e.  ( ZZ>= `  x )
)  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( 2 ^ M
) )
7316, 10, 71, 72syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x ) 
||  ( 2 ^ M ) )
74 dvdstr 12838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( 2 ^ x )  ||  ( 2 ^ M
)  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
7556, 48, 52, 74syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( 2 ^ x )  ||  (
2 ^ M )  /\  ( 2 ^ M )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  ->  ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) ) )
7673, 55, 75mp2and 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2 ^ x ) 
||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
77 dvdsval2 12810 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ x
)  =/=  0  /\  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2 ^ x )  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) )  e.  ZZ ) )
7856, 64, 52, 77syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( 2 ^ x
)  ||  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  <->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) )  e.  ZZ ) )
7976, 78mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ )
80 dvdscmulr 12833 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ  /\  (
( 2 ^ x
)  e.  ZZ  /\  ( 2 ^ x
)  =/=  0 ) )  ->  ( (
( 2 ^ x
)  x.  2 ) 
||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8116, 79, 56, 64, 80syl112anc 1188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( 2 ^ x )  x.  2 )  ||  ( ( 2 ^ x )  x.  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  2  ||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8266, 81mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  ||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
8322zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  CC )
849zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  N  e.  CC )
8583, 84pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  =  N )
8685oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )
8783, 61, 62, 64divdird 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8886, 87eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( N  /  ( 2 ^ x ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
8988fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  =  ( |_ `  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
90 fladdz 11182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  ZZ )  -> 
( |_ `  (
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) )
9124, 79, 90syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
9289, 91eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  =  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )
9392oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
9425zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  CC )
9579zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) )  e.  CC )
9694, 95pncan2d 9369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  +  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
9793, 96eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )
9882, 97breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  2  ||  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
99 dvdssub2 12842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ x ) ) )  e.  ZZ  /\  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  e.  ZZ )  /\  2  ||  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  -  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )  ->  ( 2 
||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
10016, 21, 25, 98, 99syl31anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ x ) ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
101100notbid 286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  ( -.  2  ||  ( |_
`  ( N  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
10212, 14, 1013bitr3d 275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  x  <  M )  ->  (
( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
103 dvds0 12820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
10415, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  ||  0
1051ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  N  e.  ZZ )
106105zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  N  e.  RR )
107 2rp 10573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  2  e.  RR+
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  e.  RR+ )
10933nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
110109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  e.  ZZ )
111108, 110rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR+ )
112106, 111modcld 11209 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
113 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  NN0 )
114113nn0zd 10329 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  ZZ )
115108, 114rpexpcld 11501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  RR+ )
1166ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
117116nn0ge0d 10233 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
118112, 115, 117divge0d 10640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
0  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )
119111rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR )
120115rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  RR )
121 modlt 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
122106, 111, 121syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
123108rpred 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  e.  RR )
124 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  e.  RR
125 2re 10025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  RR
126 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  1  <  2
127124, 125, 126ltleii 9152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  <_  2
128127a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
1  <_  2 )
129 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  -.  x  <  M )
130110zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  e.  RR )
131113nn0red 10231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  RR )
132130, 131lenltd 9175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( M  <_  x  <->  -.  x  <  M ) )
133129, 132mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  M  <_  x )
134 eluz2 10450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ  /\  M  <_  x ) )
135110, 114, 133, 134syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) )
136123, 128, 135leexp2ad 11510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ M
)  <_  ( 2 ^ x ) )
137112, 119, 120, 122, 136ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ x ) )
138115rpcnd 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2 ^ x
)  e.  CC )
139138mulid1d 9061 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( 2 ^ x )  x.  1 )  =  ( 2 ^ x ) )
140137, 139breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( ( 2 ^ x )  x.  1 ) )
141124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
1  e.  RR )
142112, 141, 115ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  1  <->  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  <  ( ( 2 ^ x )  x.  1 ) ) )
143140, 142mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  <  1 )
144 1e0p1 10366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  =  ( 0  +  1 )
145143, 144syl6breq 4211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  <  ( 0  +  1 ) )
146112, 115rerpdivcld 10631 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR )
147 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  ZZ
148 flbi 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) )  e.  RR  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  /\  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
149146, 147, 148sylancl 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) )  =  0  <-> 
( 0  <_  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) )  /\  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) )  <  (
0  +  1 ) ) ) )
150118, 145, 149mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  =  0 )
151104, 150syl5breqr 4208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )
152129intnand 883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  ->  -.  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) )
153151, 1522thd 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) )  <->  -.  (
x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) ) )
154153con2bid 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e. 
NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  /\  -.  x  <  M )  -> 
( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
155102, 154pm2.61dan 767 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )
156109biantrurd 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M ) ) ) )
157155, 156bitr3d 247 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  x  <  M ) ) ) )
158 an12 773 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  <  M ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )
159157, 158syl6bb 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
160159pm5.32da 623 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) ) )
1618, 160bitr3d 247 . . . 4  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) ) )
162 3anass 940 . . . 4  |-  ( ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  ( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  /  (
2 ^ x ) ) ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  ( x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) ) ) )
163 elfzo2 11098 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0..^ M )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) )
164 elnn0uz 10479 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN0  <->  x  e.  ( ZZ>=
`  0 ) )
1651643anbi1i 1144 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M )  <->  ( x  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) )
166 3anass 940 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  x  <  M )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )
167163, 165, 1663bitr2i 265 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0..^ M )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) )
168167anbi2i 676 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
169 an12 773 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  (
x  e.  NN0  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) )  <->  ( x  e.  NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N
)  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  < 
M ) ) ) )
170168, 169bitri 241 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) )  <->  ( x  e. 
NN0  /\  ( x  e.  (bits `  N )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  x  <  M ) ) ) )
171161, 162, 1703bitr4g 280 . . 3  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  x  e. 
NN0  /\  -.  2  ||  ( |_ `  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  /  ( 2 ^ x ) ) ) )  <->  ( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  (
0..^ M ) ) ) )
172 bitsval 12891 . . 3  |-  ( x  e.  (bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <-> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  e.  ZZ  /\  x  e.  NN0  /\  -.  2  ||  ( |_
`  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  / 
( 2 ^ x
) ) ) ) )
173 elin 3490 . . 3  |-  ( x  e.  ( (bits `  N )  i^i  (
0..^ M ) )  <-> 
( x  e.  (bits `  N )  /\  x  e.  ( 0..^ M ) ) )
174171, 172, 1733bitr4g 280 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( x  e.  (bits `  ( N  mod  (
2 ^ M ) ) )  <->  x  e.  ( (bits `  N )  i^i  ( 0..^ M ) ) ) )
175174eqrdv 2402 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
(bits `  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  =  ( (bits `  N
)  i^i  ( 0..^ M ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567    i^i cin 3279   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156    mod cmo 11205   ^cexp 11337    || cdivides 12807  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  sadaddlem  12933  sadadd  12934  bitsres  12940  smumul  12960
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-dvds 12808  df-bits 12889
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