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Theorem bitsinv1lem 12908
Description: Lemma for bitsinv1 12909. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsinv1lem  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )

Proof of Theorem bitsinv1lem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . 3  |-  ( ( 2 ^ M )  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
21eqeq2d 2415 . 2  |-  ( ( 2 ^ M )  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) ) )
3 oveq2 6048 . . 3  |-  ( 0  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  0 )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
43eqeq2d 2415 . 2  |-  ( 0  =  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 )  ->  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  0 )  <->  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  (
2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N ) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) ) )
5 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
6 2nn 10089 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
76a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  NN )
8 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
97, 8nnexpcld 11499 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
105, 9zmodcld 11222 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  NN0 )
1110nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
1211adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
13 1nn0 10193 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  NN0 )
158, 14nn0addcld 10234 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  NN0 )
167, 15nnexpcld 11499 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  NN )
175, 16zmodcld 11222 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
1817nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
1918adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
2012, 19pncan3d 9370 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  =  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
2118, 11subcld 9367 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
2221adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
236a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
2  e.  NN )
24 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  ->  M  e.  NN0 )
2523, 24nnexpcld 11499 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  NN )
2625nncnd 9972 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
27 2cn 10026 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  CC )
29 2ne0 10039 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  =/=  0 )
318nn0zd 10329 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
3228, 30, 31expne0d 11484 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
34 2z 10268 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  ZZ
35 dvds0 12820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  ||  0 )
3634, 35ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  2  ||  0
37 id 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 )
3836, 37syl5breqr 4208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
39 bitsval2 12892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
405zred 10331 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
419nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR+ )
42 moddiffl 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ M ) ) ) )
4443breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) ) ) )
4534a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  ZZ )
46 moddifz 11215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
4740, 41, 46syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
485zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
4948, 11, 18nnncan1d 9401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
5049oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
5148, 11subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
5248, 18subcld 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
539nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
5451, 52, 53, 32divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
5550, 54eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
5628, 52mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 ) )
5728, 53mulcomd 9065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ M ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
5828, 8expp1d 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
5957, 58eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  x.  (
2 ^ M ) )  =  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
6056, 59oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
6152, 53, 28, 32, 30divcan5d 9772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( 2  x.  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )  /  ( 2  x.  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
6216nncnd 9972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
6331peano2zd 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  +  1 )  e.  ZZ )
6428, 30, 63expne0d 11484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  =/=  0 )
6552, 28, 62, 64div23d 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  x.  2 )  /  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
6660, 61, 653eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
6716nnrpd 10603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )
68 moddifz 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
6940, 67, 68syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ )
7069, 45zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 )  e.  ZZ )
7166, 70eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
7247, 71zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )  e.  ZZ )
7355, 72eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )
74 dvdsmul2 12827 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  2  ||  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
7569, 45, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  ||  ( (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
7648, 18, 11nnncan2d 9402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )  =  ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
7776oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  / 
( 2 ^ M
) ) )
7851, 21, 53, 32divsubdird 9785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  -  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
7977, 78, 663eqtr3d 2444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )  /  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  x.  2 ) )
8075, 79breqtrrd 4198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  ||  ( (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  -  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
81 dvdssub2 12842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ  /\  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )  /\  2  ||  ( ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  -  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )  ->  ( 2 
||  ( ( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8245, 47, 73, 80, 81syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( N  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8344, 82bitr3d 247 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ M
) ) )  <->  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8483notbid 286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ M ) ) )  <->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8539, 84bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
8685con2bid 320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2  ||  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  -.  M  e.  (bits `  N )
) )
8738, 86syl5ib 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  0  ->  -.  M  e.  (bits `  N ) ) )
8887con2d 109 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  ->  -.  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 ) )
89 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
9053mulm1d 9441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -u 1  x.  (
2 ^ M ) )  =  -u (
2 ^ M ) )
919nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  RR )
9291renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  e.  RR )
9340, 41modcld 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
9493renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  RR )
9540, 67modcld 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  RR )
9695, 93resubcld 9421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  RR )
97 modlt 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
9840, 41, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  <  ( 2 ^ M ) )
9993, 91ltnegd 9560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  <  (
2 ^ M )  <->  -u ( 2 ^ M
)  <  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10098, 99mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  <  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
101 df-neg 9250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -u ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  =  ( 0  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
102 0re 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  RR
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  e.  RR )
104 modge0 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
10540, 67, 104syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
106103, 95, 93, 105lesub1dd 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
107101, 106syl5eqbr 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( N  mod  (
2 ^ M ) )  <_  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10892, 94, 96, 100, 107ltletrd 9186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u ( 2 ^ M
)  <  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )
10990, 108eqbrtrd 4192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -u 1  x.  (
2 ^ M ) )  <  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) ) )
110 1re 9046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1  e.  RR
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
1  e.  RR )
112111renegcld 9420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u 1  e.  RR )
113112, 96, 41ltmuldivd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( -u 1  x.  ( 2 ^ M
) )  <  (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <->  -u 1  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
114109, 113mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  ->  -u 1  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
11589, 114syl5eqbrr 4206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  -  1 )  <  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
116 0z 10249 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  e.  ZZ
117116a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  e.  ZZ )
118 zlem1lt 10283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ZZ )  -> 
( 0  <_  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  ( 0  -  1 )  < 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
119117, 73, 118syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <->  ( 0  -  1 )  < 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
120115, 119mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
121 elnn0z 10250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e. 
NN0 
<->  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  ZZ  /\  0  <_  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
12273, 120, 121sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  NN0 )
123 nn0uz 10476 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
124122, 123syl6eleq 2494 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
12516nnred 9971 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
126 modge0 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ M
)  e.  RR+ )  ->  0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
12740, 41, 126syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )
12895, 93subge02d 9574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( 0  <_  ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  <->  ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) ) )
129127, 128mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <_  ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) ) )
130 modlt 11213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR+ )  ->  ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
13140, 67, 130syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )
13296, 95, 125, 129, 131lelttrd 9184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )
133132, 58breqtrd 4196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) )
1347nnred 9971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
2  e.  RR )
13596, 134, 41ltdivmuld 10651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <  2  <->  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  <  ( ( 2 ^ M )  x.  2 ) ) )
136133, 135mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <  2 )
137 elfzo2 11098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( 0..^ 2 )  <-> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  e.  (
ZZ>= `  0 )  /\  2  e.  ZZ  /\  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  <  2 ) )
138124, 45, 136, 137syl3anbrc 1138 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  ( 0..^ 2 ) )
139 fzo0to2pr 11139 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0..^ 2 )  =  {
0 ,  1 }
140138, 139syl6eleq 2494 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e.  { 0 ,  1 } )
141 elpri 3794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  e. 
{ 0 ,  1 }  ->  ( (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  \/  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
142140, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  0  \/  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  =  1 ) )
143142ord 367 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  ( (
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
14488, 143syld 42 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( M  e.  (bits `  N )  ->  (
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 ) )
145144imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1 )
14622, 26, 33, 145diveq1d 9754 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  =  ( 2 ^ M ) )
147146oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) ) )
14820, 147eqtr3d 2438 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  ( 2 ^ M ) ) )
14918adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  e.  CC )
15011adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ M ) )  e.  CC )
15121adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  e.  CC )
15253adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  e.  CC )
15332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( 2 ^ M
)  =/=  0 )
154 1lt2 10098 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  <  2
155 2re 10025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  RR
156110, 155ltnlei 9150 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  <  2  <->  -.  2  <_  1 )
157154, 156mpbi 200 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  2  <_  1
158 1nn 9967 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  NN
159 dvdsle 12850 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  1  e.  NN )  ->  ( 2  ||  1  ->  2  <_  1 ) )
16034, 158, 159mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2 
||  1  ->  2  <_  1 )
161157, 160mto 169 . . . . . . . . . 10  |-  -.  2  ||  1
162 breq2 4176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1  ->  ( 2 
||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  + 
1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M
) ) )  / 
( 2 ^ M
) )  <->  2  ||  1 ) )
163161, 162mtbiri 295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  1  ->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) )
164143, 163syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  -.  2  ||  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) ) ) )
165164, 85sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  ( ( ( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0  ->  M  e.  (bits `  N ) ) )
166165con1d 118 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( -.  M  e.  (bits `  N )  ->  ( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 ) )
167166imp 419 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  /  ( 2 ^ M ) )  =  0 )
168151, 152, 153, 167diveq0d 9753 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ ( M  +  1 ) ) )  -  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )  =  0 )
169149, 150, 168subeq0d 9375 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
170150addid1d 9222 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( ( N  mod  ( 2 ^ M
) )  +  0 )  =  ( N  mod  ( 2 ^ M ) ) )
171169, 170eqtr4d 2439 . 2  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  /\  -.  M  e.  (bits `  N ) )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  0 ) )
1722, 4, 148, 171ifbothda 3729 1  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( N  mod  (
2 ^ ( M  +  1 ) ) )  =  ( ( N  mod  ( 2 ^ M ) )  +  if ( M  e.  (bits `  N
) ,  ( 2 ^ M ) ,  0 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   ifcif 3699   {cpr 3775   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248    / cdiv 9633   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568  ..^cfzo 11090   |_cfl 11156    mod cmo 11205   ^cexp 11337    || cdivides 12807  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  bitsinv1  12909  smumullem  12959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-dvds 12808  df-bits 12889
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