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Theorem bitsfzolemOLD 14407
Description: Lemma for bitsfzo 14408. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) Obsolete version of bitsfzolem 14406 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzoOLD.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bitsfzoOLD.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
bitsfzoOLD.3  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
bitsfzoOLD.4  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolemOLD  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    M( n)

Proof of Theorem bitsfzolemOLD
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzoOLD.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 11200 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2517 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 2nn 10774 . . . . 5  |-  2  e.  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6 bitsfzoOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
75, 6nnexpcld 12443 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  NN )
87nnzd 11046 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ )
9 bitsfzoOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
109adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )
11 n2dvds1 14353 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  NN )
13 ssrab2 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  NN0
14 bitsfzoOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
1513, 2sseqtri 3496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  ( ZZ>=
`  0 )
16 nnssnn0 10879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  C_  NN0
171nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
18 2re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
20 1lt2 10783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  <  2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
22 expnbnd 12407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  N  <  (
2 ^ n ) )
2317, 19, 21, 22syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n ) )
24 ssrexv 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n
)  ->  E. n  e.  NN0  N  <  (
2 ^ n ) ) )
2516, 23, 24mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n ) )
26 rabn0 3782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n
) )
2725, 26sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/) )
28 infmssuzclOLD 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
2915, 27, 28sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3014, 29syl5eqel 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } )
3113, 30sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
3231nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
3332adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  ZZ )
34 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  RR )
356nn0zd 11045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3635adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3736zred 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  RR )
3833zred 11047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  RR )
396adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
4039nn0ge0d 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <_  M )
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR )
4241, 39reexpcld 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR )
4317adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  RR )
445, 31nnexpcld 12443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ S
)  e.  NN )
4544adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  NN )
4645nnred 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  RR )
47 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <_  N )
4830adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
49 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  S  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ S ) )
5049breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  S  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
51 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
5251breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  ( N  <  ( 2 ^ n )  <->  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
5352cbvrabv 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =  {
m  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ m ) }
5450, 53elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( S  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
5554simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  N  <  ( 2 ^ S ) )
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( 2 ^ S
) )
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <  ( 2 ^ S ) )
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <  2 )
5941, 36, 33, 58ltexp2d 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  ( 2 ^ M )  < 
( 2 ^ S
) ) )
6057, 59mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  <  S )
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 9800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <  S )
62 elnnz 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  NN  <->  ( S  e.  ZZ  /\  0  < 
S ) )
6333, 61, 62sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  NN )
64 nnm1nn0 10918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
6612, 65nnexpcld 12443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  CC )
6867mulid2d 9668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
6938ltm1d 10546 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  S )
7065nn0red 10933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  RR )
7170, 38ltnled 9789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
7269, 71mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  ( S  - 
1 ) )
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
7473breq2d 4435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
7574, 53elrab2 3230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( ( S  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
76 infmssuzleOLD 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( S  -  1 )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
7715, 76mpan 674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
7814, 77syl5eqbr 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8075, 79syl5bir 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( ( S  - 
1 )  e.  NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8165, 80mpand 679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8272, 81mtod 180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
8366nnred 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR )
8483, 43lenltd 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N  <->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
8582, 84mpbird 235 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N )
8668, 85eqbrtrd 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  <_  N )
87 1red 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  RR )
88 2rp 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR+ )
90 1z 10974 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
9233, 91zsubcld 11052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ZZ )
9389, 92rpexpcld 12445 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR+ )
9487, 43, 93lemuldivd 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 1  x.  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) ) ) )
9586, 94mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
96 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
97 expm1t 12306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  NN )  ->  ( 2 ^ S
)  =  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
9896, 63, 97sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  =  ( ( 2 ^ ( S  - 
1 ) )  x.  2 ) )
9956, 98breqtrd 4448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
10043, 41, 93ltdivmuld 11396 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2  <->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
10199, 100mpbird 235 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2 )
102 df-2 10675 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
103101, 102syl6breq 4463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) )
10443, 93rerpdivcld 11376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR )
105 flbi 12057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
106104, 90, 105sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) ) )
10795, 103, 106mpbir2and 930 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1 )
108107breq2d 4435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  <->  2  ||  1 ) )
10911, 108mtbiri 304 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) )
1101nn0zd 11045 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
111110adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
112 bitsval2 14397 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( S  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( S  - 
1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
113111, 65, 112syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
114109, 113mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  (bits `  N
) )
11510, 114sseldd 3465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
116 elfzolt2 11936 . . . . . 6  |-  ( ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( S  -  1 )  < 
M )
117115, 116syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  M )
118 zlem1lt 10995 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  <  M ) )
11933, 36, 118syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  < 
M ) )
120117, 119mpbird 235 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  <_  M )
12137, 38ltnled 9789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  -.  S  <_  M ) )
12260, 121mpbid 213 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  M )
123120, 122pm2.65da 578 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ M )  <_  N
)
1247nnred 10631 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  RR )
12517, 124ltnled 9789 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  (
2 ^ M )  <->  -.  ( 2 ^ M
)  <_  N )
)
126123, 125mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
127 elfzo2 11930 . 2  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ M ) ) )
1283, 8, 126, 127syl3anbrc 1189 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309  ..^cfzo 11922   |_cfl 12032   ^cexp 12278    || cdvds 14304  bitscbits 14391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-dvds 14305  df-bits 14394
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