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Theorem bitsfzolemOLD 14487
Description: Lemma for bitsfzo 14488. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) Obsolete version of bitsfzolem 14486 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bitsfzoOLD.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
bitsfzoOLD.2  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
bitsfzoOLD.3  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
bitsfzoOLD.4  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
bitsfzolemOLD  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Distinct variable group:    n, N
Allowed substitution hints:    ph( n)    S( n)    M( n)

Proof of Theorem bitsfzolemOLD
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsfzoOLD.1 . . 3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 nn0uz 11217 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
31, 2syl6eleq 2559 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
4 2nn 10790 . . . . 5  |-  2  e.  NN
54a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
6 bitsfzoOLD.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
75, 6nnexpcld 12475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  NN )
87nnzd 11062 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ )
9 bitsfzoOLD.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (bits `  N )  C_  ( 0..^ M ) )
109adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (bits `  N )  C_  (
0..^ M ) )
11 n2dvds1 14431 . . . . . . . . 9  |-  -.  2  ||  1
124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  NN )
13 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  NN0
14 bitsfzoOLD.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  S  =  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )
1513, 2sseqtri 3450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  C_  ( ZZ>=
`  0 )
16 nnssnn0 10896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  NN  C_  NN0
171nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
18 2re 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  2  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
20 1lt2 10799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  1  <  2
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
22 expnbnd 12439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. n  e.  NN  N  <  (
2 ^ n ) )
2317, 19, 21, 22syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n ) )
24 ssrexv 3480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( NN  C_  NN0  ->  ( E. n  e.  NN  N  <  ( 2 ^ n
)  ->  E. n  e.  NN0  N  <  (
2 ^ n ) ) )
2516, 23, 24mpsyl 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n ) )
26 rabn0 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  NN0  N  <  ( 2 ^ n
) )
2725, 26sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  =/=  (/) )
28 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =/=  (/) )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
2915, 27, 28sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } ,  RR ,  `'  <  )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
3014, 29syl5eqel 2553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) } )
3113, 30sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  S  e.  NN0 )
3231nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
3332adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  ZZ )
34 0red 9662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  e.  RR )
356nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
3635adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  ZZ )
3736zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  RR )
3833zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  RR )
396adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  e.  NN0 )
4039nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <_  M )
4118a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR )
4241, 39reexpcld 12471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  e.  RR )
4317adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  RR )
445, 31nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ S
)  e.  NN )
4544adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  NN )
4645nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  e.  RR )
47 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <_  N )
4830adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )
49 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  =  S  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ S ) )
5049breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( m  =  S  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
51 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
5251breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  m  ->  ( N  <  ( 2 ^ n )  <->  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
5352cbvrabv 3030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  =  {
m  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ m ) }
5450, 53elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( S  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ S ) ) )
5554simprbi 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( S  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  N  <  ( 2 ^ S ) )
5648, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( 2 ^ S
) )
5742, 43, 46, 47, 56lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ M )  <  ( 2 ^ S ) )
5820a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <  2 )
5941, 36, 33, 58ltexp2d 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  ( 2 ^ M )  < 
( 2 ^ S
) ) )
6057, 59mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  M  <  S )
6134, 37, 38, 40, 60lelttrd 9810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  0  <  S )
62 elnnz 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( S  e.  NN  <->  ( S  e.  ZZ  /\  0  < 
S ) )
6333, 61, 62sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  e.  NN )
64 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( S  e.  NN  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  NN0 )
6612, 65nnexpcld 12475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  NN )
6766nncnd 10647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  CC )
6867mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
6938ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  S )
7065nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  RR )
7170, 38ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  <  S  <->  -.  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
7269, 71mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  ( S  - 
1 ) )
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  (
2 ^ m )  =  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
7473breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  ( S  - 
1 )  ->  ( N  <  ( 2 ^ m )  <->  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
7574, 53elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  <->  ( ( S  -  1 )  e. 
NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
76 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } 
C_  ( ZZ>= `  0
)  /\  ( S  -  1 )  e. 
{ n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } )  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
7715, 76mpan 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) } ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( S  -  1 ) )
7814, 77syl5eqbr 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  -  1 )  e.  { n  e. 
NN0  |  N  <  ( 2 ^ n ) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  { n  e.  NN0  |  N  < 
( 2 ^ n
) }  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8075, 79syl5bir 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( ( S  - 
1 )  e.  NN0  /\  N  <  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8165, 80mpand 689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  ->  S  <_  ( S  -  1 ) ) )
8272, 81mtod 182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )
8366nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR )
8483, 43lenltd 9798 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N  <->  -.  N  <  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
8582, 84mpbird 240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  <_  N )
8668, 85eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
1  x.  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) )  <_  N )
87 1red 9676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  RR )
88 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  2  e.  RR+ )
90 1z 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ZZ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  e.  ZZ )
9233, 91zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ZZ )
9389, 92rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ ( S  -  1 ) )  e.  RR+ )
9487, 43, 93lemuldivd 11410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( 1  x.  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <_  N  <->  1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  - 
1 ) ) ) ) )
9586, 94mpbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  1  <_  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )
96 2cn 10702 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
97 expm1t 12338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  S  e.  NN )  ->  ( 2 ^ S
)  =  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
9896, 63, 97sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2 ^ S )  =  ( ( 2 ^ ( S  - 
1 ) )  x.  2 ) )
9956, 98breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) )
10043, 41, 93ltdivmuld 11412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2  <->  N  <  ( ( 2 ^ ( S  -  1 ) )  x.  2 ) ) )
10199, 100mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  2 )
102 df-2 10690 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  =  ( 1  +  1 )
103101, 102syl6breq 4435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) )
10443, 93rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR )
105 flbi 12084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <-> 
( 1  <_  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) )  <  ( 1  +  1 ) ) ) )
106104, 90, 105sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1  <->  ( 1  <_  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  /\  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) )  < 
( 1  +  1 ) ) ) )
10795, 103, 106mpbir2and 936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( |_ `  ( N  / 
( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  =  1 )
108107breq2d 4407 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) )  <->  2  ||  1 ) )
10911, 108mtbiri 310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  (
2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) )
1101nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
111110adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  N  e.  ZZ )
112 bitsval2 14477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( S  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( ( S  - 
1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
113111, 65, 112syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  (
( S  -  1 )  e.  (bits `  N )  <->  -.  2  ||  ( |_ `  ( N  /  ( 2 ^ ( S  -  1 ) ) ) ) ) )
114109, 113mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  (bits `  N
) )
11510, 114sseldd 3419 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M ) )
116 elfzolt2 11956 . . . . . 6  |-  ( ( S  -  1 )  e.  ( 0..^ M )  ->  ( S  -  1 )  < 
M )
117115, 116syl 17 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  -  1 )  <  M )
118 zlem1lt 11012 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  <  M ) )
11933, 36, 118syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( S  <_  M  <->  ( S  -  1 )  < 
M ) )
120117, 119mpbird 240 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  S  <_  M )
12137, 38ltnled 9799 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  ( M  <  S  <->  -.  S  <_  M ) )
12260, 121mpbid 215 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( 2 ^ M )  <_  N )  ->  -.  S  <_  M )
123120, 122pm2.65da 586 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( 2 ^ M )  <_  N
)
1247nnred 10646 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ M
)  e.  RR )
12517, 124ltnled 9799 . . 3  |-  ( ph  ->  ( N  <  (
2 ^ M )  <->  -.  ( 2 ^ M
)  <_  N )
)
126123, 125mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  N  <  ( 2 ^ M ) )
127 elfzo2 11950 . 2  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ M
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ M ) ) )
1283, 8, 126, 127syl3anbrc 1214 1  |-  ( ph  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ M
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   supcsup 7972   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325  ..^cfzo 11942   |_cfl 12059   ^cexp 12310    || cdvds 14382  bitscbits 14471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-dvds 14383  df-bits 14474
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