Theorem bitsfzolemOLD 14407

Description: Lemma for bitsfzo 14408. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.) Obsolete version of bitsfzolem 14406 as of 1-Oct-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
bitsfzoOLD.1	|- ( ph -> N e. NN0 )
bitsfzoOLD.2	|- ( ph -> M e. NN0 )
bitsfzoOLD.3	|- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
bitsfzoOLD.4	|- S = sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < )

Assertion

Ref	Expression
bitsfzolemOLD	|- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Distinct variable group:   n, N

Allowed substitution hints:   ph( n)   S( n)   M( n)

Proof of Theorem bitsfzolemOLD

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsfzoOLD.1	. . 3 |- ( ph -> N e. NN0 )
2		nn0uz 11200	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
3	1, 2	syl6eleq 2517	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
4		2nn 10774	. . . . 5 |- 2 e. NN
5	4	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> 2 e. NN )
6		bitsfzoOLD.2	. . . 4 |- ( ph -> M e. NN0 )
7	5, 6	nnexpcld 12443	. . 3 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. NN )
8	7	nnzd 11046	. 2 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. ZZ )
9		bitsfzoOLD.3	. . . . . . . 8 |- ( ph -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
10	9	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ M ) )
11		n2dvds1 14353	. . . . . . . . 9 |- -. 2 || 1
12	4	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. NN )
13		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ NN0
14		bitsfzoOLD.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- S = sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < )
15	13, 2	sseqtri 3496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 )
16		nnssnn0 10879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- NN C_ NN0
17	1	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> N e. RR )
18		2re 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 2 e. RR
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 2 e. RR )
20		1lt2 10783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- 1 < 2
21	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 1 < 2 )
22		expnbnd 12407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) )
24		ssrexv 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( NN C_ NN0 -> ( E. n e. NN N < ( 2 ^ n ) -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) ) )
25	16, 23, 24	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
26		rabn0 3782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) <-> E. n e. NN0 N < ( 2 ^ n ) )
27	25, 26	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) )
28		infmssuzclOLD 11254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } =/= (/) ) -> sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
29	15, 27, 28	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
30	14, 29	syl5eqel 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
31	13, 30	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> S e. NN0 )
32	31	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> S e. ZZ )
33	32	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. ZZ )
34		0red 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 e. RR )
35	6	nn0zd 11045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> M e. ZZ )
36	35	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. ZZ )
37	36	zred 11047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. RR )
38	33	zred 11047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. RR )
39	6	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M e. NN0 )
40	39	nn0ge0d 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 <_ M )
41	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR )
42	41, 39	reexpcld 12439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) e. RR )
43	17	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. RR )
44	5, 31	nnexpcld 12443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( 2 ^ S ) e. NN )
45	44	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. NN )
46	45	nnred 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) e. RR )
47		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) <_ N )
48	30	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } )
49		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m = S -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ S ) )
50	49	breq2d 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( m = S -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ S ) ) )
51		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( n = m -> ( 2 ^ n ) = ( 2 ^ m ) )
52	51	breq2d 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( n = m -> ( N < ( 2 ^ n ) <-> N < ( 2 ^ m ) ) )
53	52	cbvrabv 3079	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } = { m e. NN0 | N < ( 2 ^ m ) }
54	50, 53	elrab2 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( S e. NN0 /\ N < ( 2 ^ S ) ) )
55	54	simprbi 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( S e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> N < ( 2 ^ S ) )
56	48, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( 2 ^ S ) )
57	42, 43, 46, 47, 56	lelttrd 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) )
58	20	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 < 2 )
59	41, 36, 33, 58	ltexp2d 12451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> ( 2 ^ M ) < ( 2 ^ S ) ) )
60	57, 59	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> M < S )
61	34, 37, 38, 40, 60	lelttrd 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 0 < S )
62		elnnz 10954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( S e. NN <-> ( S e. ZZ /\ 0 < S ) )
63	33, 61, 62	sylanbrc 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S e. NN )
64		nnm1nn0 10918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( S e. NN -> ( S - 1 ) e. NN0 )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. NN0 )
66	12, 65	nnexpcld 12443	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. NN )
67	66	nncnd 10632	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. CC )
68	67	mulid2d 9668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
69	38	ltm1d 10546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < S )
70	65	nn0red 10933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. RR )
71	70, 38	ltnled 9789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) < S <-> -. S <_ ( S - 1 ) ) )
72	69, 71	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ ( S - 1 ) )
73		oveq2 6313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( 2 ^ m ) = ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
74	73	breq2d 4435	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = ( S - 1 ) -> ( N < ( 2 ^ m ) <-> N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
75	74, 53	elrab2 3230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } <-> ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
76		infmssuzleOLD 11253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } ) -> sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < ) <_ ( S - 1 ) )
77	15, 76	mpan 674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> sup ( { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } , RR , `' < ) <_ ( S - 1 ) )
78	14, 77	syl5eqbr 4457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) )
79	78	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. { n e. NN0 | N < ( 2 ^ n ) } -> S <_ ( S - 1 ) ) )
80	75, 79	syl5bir 221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( ( S - 1 ) e. NN0 /\ N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
81	65, 80	mpand 679	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) -> S <_ ( S - 1 ) ) )
82	72, 81	mtod 180	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) )
83	66	nnred 10631	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR )
84	83, 43	lenltd 9788	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N <-> -. N < ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
85	82, 84	mpbird 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) <_ N )
86	68, 85	eqbrtrd 4444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N )
87		1red 9665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. RR )
88		2rp 11314	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. RR+
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 2 e. RR+ )
90		1z 10974	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. ZZ
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 e. ZZ )
92	33, 91	zsubcld 11052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ZZ )
93	89, 92	rpexpcld 12445	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ ( S - 1 ) ) e. RR+ )
94	87, 43, 93	lemuldivd 11394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( 1 x. ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) <_ N <-> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
95	86, 94	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) )
96		2cn 10687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 2 e. CC
97		expm1t 12306	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 2 e. CC /\ S e. NN ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
98	96, 63, 97	sylancr 667	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 ^ S ) = ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
99	56, 98	breqtrd 4448	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) )
100	43, 41, 93	ltdivmuld 11396	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 <-> N < ( ( 2 ^ ( S - 1 ) ) x. 2 ) ) )
101	99, 100	mpbird 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < 2 )
102		df-2 10675	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 = ( 1 + 1 )
103	101, 102	syl6breq 4463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) )
104	43, 93	rerpdivcld 11376	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. RR )
105		flbi 12057	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) e. RR /\ 1 e. ZZ ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
106	104, 90, 105	sylancl 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 <-> ( 1 <_ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) /\ ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) < ( 1 + 1 ) ) ) )
107	95, 103, 106	mpbir2and 930	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) = 1 )
108	107	breq2d 4435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) <-> 2 || 1 ) )
109	11, 108	mtbiri 304	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) )
110	1	nn0zd 11045	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> N e. ZZ )
111	110	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> N e. ZZ )
112		bitsval2 14397	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. ZZ /\ ( S - 1 ) e. NN0 ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
113	111, 65, 112	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( ( S - 1 ) e. (bits ` N ) <-> -. 2 || ( |_ ` ( N / ( 2 ^ ( S - 1 ) ) ) ) ) )
114	109, 113	mpbird 235	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. (bits ` N ) )
115	10, 114	sseldd 3465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) )
116		elfzolt2 11936	. . . . . 6 |- ( ( S - 1 ) e. ( 0..^ M ) -> ( S - 1 ) < M )
117	115, 116	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S - 1 ) < M )
118		zlem1lt 10995	. . . . . 6 |- ( ( S e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
119	33, 36, 118	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( S <_ M <-> ( S - 1 ) < M ) )
120	117, 119	mpbird 235	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> S <_ M )
121	37, 38	ltnled 9789	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> ( M < S <-> -. S <_ M ) )
122	60, 121	mpbid 213	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( 2 ^ M ) <_ N ) -> -. S <_ M )
123	120, 122	pm2.65da 578	. . 3 |- ( ph -> -. ( 2 ^ M ) <_ N )
124	7	nnred 10631	. . . 4 |- ( ph -> ( 2 ^ M ) e. RR )
125	17, 124	ltnled 9789	. . 3 |- ( ph -> ( N < ( 2 ^ M ) <-> -. ( 2 ^ M ) <_ N ) )
126	123, 125	mpbird 235	. 2 |- ( ph -> N < ( 2 ^ M ) )
127		elfzo2 11930	. 2 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ M ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ M ) ) )
128	3, 8, 126, 127	syl3anbrc 1189	1 |- ( ph -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ M ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   E.wrex 2772   {crab 2775   C_ wss 3436   (/)c0 3761   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547   + caddc 9549   x. cmul 9551   < clt 9682   <_ cle 9683   - cmin 9867   / cdiv 10276   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309  ..^cfzo 11922   |_cfl 12032   ^cexp 12278   || cdvds 14304  bitscbits 14391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-seq 12220  df-exp 12279  df-dvds 14305  df-bits 14394

This theorem is referenced by: (None)