Theorem bitsfi 14490

Description: Every number is associated with a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	|- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 10902	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		2re 10701	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
4		1lt2 10799	. . . 4 |- 1 < 2
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
6		expnbnd 12439	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1292	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
8		fzofi 12225	. . 3 |- ( 0..^ m ) e. Fin
9		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. NN0 )
10		nn0uz 11217	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	syl6eleq 2559	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		2nn 10790	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 2 e. NN )
14		simprl 772	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN )
15	14	nnnn0d 10949	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN0 )
16	13, 15	nnexpcld 12475	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
17	16	nnzd 11062	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
18		simprr 774	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N < ( 2 ^ m ) )
19		elfzo2 11950	. . . . 5 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ m ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ m ) ) )
20	11, 17, 18, 19	syl3anbrc 1214	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
21	9	nn0zd 11061	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ZZ )
22		bitsfzo 14488	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
24	20, 23	mpbid 215	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) )
25		ssfi 7810	. . 3 |- ( ( ( 0..^ m ) e. Fin /\ (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
26	8, 24, 25	sylancr 676	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
27	7, 26	rexlimddv 2875	1 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   e. wcel 1904   E.wrex 2757   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   < clt 9693   NNcn 10631   2c2 10681   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182  ..^cfzo 11942   ^cexp 12310  bitscbits 14471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-dvds 14383  df-bits 14474

This theorem is referenced by:  bitsinv2  14496  bitsf1ocnv  14497  bitsf1  14499  eulerpartlemgc  29268  eulerpartlemgs2  29286