MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsfi Unicode version

Theorem bitsfi 12904
Description: Every number is associated to a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsfi  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )

Proof of Theorem bitsfi
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0re 10186 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
2 2re 10025 . . . 4  |-  2  e.  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  2  e.  RR )
4 1lt2 10098 . . . 4  |-  1  <  2
54a1i 11 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  <  2 )
6 expnbnd 11463 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  RR  /\  1  <  2 )  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
71, 3, 5, 6syl3anc 1184 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. m  e.  NN  N  <  (
2 ^ m ) )
8 fzofi 11268 . . 3  |-  ( 0..^ m )  e.  Fin
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
10 nn0uz 10476 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
119, 10syl6eleq 2494 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  0 )
)
12 2nn 10089 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN
1312a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  2  e.  NN )
14 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN )
1514nnnn0d 10230 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  m  e.  NN0 )
1613, 15nnexpcld 11499 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  NN )
1716nnzd 10330 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( 2 ^ m )  e.  ZZ )
18 simprr 734 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  <  ( 2 ^ m ) )
19 elfzo2 11098 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  0 )  /\  ( 2 ^ m
)  e.  ZZ  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )
2011, 17, 18, 19syl3anbrc 1138 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
219nn0zd 10329 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
22 bitsfzo 12902 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) ) )
2321, 15, 22syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  ( N  e.  ( 0..^ ( 2 ^ m ) )  <-> 
(bits `  N )  C_  ( 0..^ m ) ) )
2420, 23mpbid 202 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  C_  ( 0..^ m ) )
25 ssfi 7288 . . 3  |-  ( ( ( 0..^ m )  e.  Fin  /\  (bits `  N )  C_  (
0..^ m ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
268, 24, 25sylancr 645 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( m  e.  NN  /\  N  <  ( 2 ^ m ) ) )  ->  (bits `  N
)  e.  Fin )
277, 26rexlimddv 2794 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (bits `  N )  e.  Fin )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   E.wrex 2667    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    < clt 9076   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  bitsinv2  12910  bitsf1ocnv  12911  bitsf1  12913
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-dvds 12808  df-bits 12889
  Copyright terms: Public domain W3C validator