Theorem bitsfi 12904

Description: Every number is associated to a finite set of bits. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsfi	|- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Proof of Theorem bitsfi

Dummy variable m is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0re 10186	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2		2re 10025	. . . 4 |- 2 e. RR
3	2	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 2 e. RR )
4		1lt2 10098	. . . 4 |- 1 < 2
5	4	a1i 11	. . 3 |- ( N e. NN0 -> 1 < 2 )
6		expnbnd 11463	. . 3 |- ( ( N e. RR /\ 2 e. RR /\ 1 < 2 ) -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1184	. 2 |- ( N e. NN0 -> E. m e. NN N < ( 2 ^ m ) )
8		fzofi 11268	. . 3 |- ( 0..^ m ) e. Fin
9		simpl 444	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. NN0 )
10		nn0uz 10476	. . . . . 6 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
11	9, 10	syl6eleq 2494	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( ZZ>= ` 0 ) )
12		2nn 10089	. . . . . . . 8 |- 2 e. NN
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> 2 e. NN )
14		simprl 733	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN )
15	14	nnnn0d 10230	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> m e. NN0 )
16	13, 15	nnexpcld 11499	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN )
17	16	nnzd 10330	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( 2 ^ m ) e. ZZ )
18		simprr 734	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N < ( 2 ^ m ) )
19		elfzo2 11098	. . . . 5 |- ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> ( N e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( 2 ^ m ) e. ZZ /\ N < ( 2 ^ m ) ) )
20	11, 17, 18, 19	syl3anbrc 1138	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) )
21	9	nn0zd 10329	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> N e. ZZ )
22		bitsfzo 12902	. . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ m e. NN0 ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
23	21, 15, 22	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> ( N e. ( 0..^ ( 2 ^ m ) ) <-> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) )
24	20, 23	mpbid 202	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) )
25		ssfi 7288	. . 3 |- ( ( ( 0..^ m ) e. Fin /\ (bits ` N ) C_ ( 0..^ m ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
26	8, 24, 25	sylancr 645	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ ( m e. NN /\ N < ( 2 ^ m ) ) ) -> (bits ` N ) e. Fin )
27	7, 26	rexlimddv 2794	1 |- ( N e. NN0 -> (bits ` N ) e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   e. wcel 1721   E.wrex 2667   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   < clt 9076   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444  ..^cfzo 11090   ^cexp 11337  bitscbits 12886

This theorem is referenced by:  bitsinv2  12910  bitsf1ocnv  12911  bitsf1  12913

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-dvds 12808  df-bits 12889