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Theorem bitsf1 12913
Description: The bits function is an injection from  ZZ to  ~P NN0. It is obviously not a bijection (by Cantor's theorem canth2 7219), and in fact its range is the set of finite and cofinite subsets of  NN0. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0

Proof of Theorem bitsf1
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bitsf 12894 . 2  |- bits : ZZ --> ~P NN0
2 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  ZZ )
32zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  x  e.  CC )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  CC )
5 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  ZZ )
65zcnd 10332 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  y  e.  CC )
76adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  CC )
84negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  e.  CC )
97negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  CC )
10 ax-1cn 9004 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
1110a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  1  e.  CC )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
1312difeq2d 3425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  ( NN0  \  (bits `  y ) ) )
14 bitscmp 12905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  x
) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
1514ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
16 bitscmp 12905 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( NN0  \  (bits `  y
) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
1716ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
1813, 15, 173eqtr3d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
19 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u x  e.  NN  ->  (
-u x  -  1 )  e.  NN0 )
2019ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  e. 
NN0 )
21 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u x  - 
1 ) ) )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u x  -  1 ) ) )
23 ominf 7280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  om  e.  Fin
24 nn0ennn 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN0  ~~  NN
25 nnenom 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  NN  ~~  om
2624, 25entr2i 7121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  om  ~~  NN0
27 enfii 7285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( NN0  e.  Fin  /\  om 
~~  NN0 )  ->  om  e.  Fin )
2826, 27mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( NN0 
e.  Fin  ->  om  e.  Fin )
2923, 28mto 169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -.  NN0  e.  Fin
30 difinf 7336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  x )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3129, 30mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (bits `  x )  e.  Fin  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
32 bitsfi 12904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
-u x  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u x  - 
1 ) )  e. 
Fin )
3320, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  ( -u x  -  1 ) )  e.  Fin )
3415, 33eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  x ) )  e. 
Fin )
3531, 34nsyl3 113 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  x
)  e.  Fin )
3612, 35eqneltrrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  y
)  e.  Fin )
37 bitsfi 12904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN0  ->  (bits `  y )  e.  Fin )
3836, 37nsyl 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  y  e.  NN0 )
395znegcld 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u y  e.  ZZ )
40 elznn 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -u y  e.  ZZ  <->  ( -u y  e.  RR  /\  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) ) )
4140simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  (
-u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 ) )
436negnegd 9358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u y  =  y )
4443eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u y  e.  NN0  <->  y  e.  NN0 ) )
4544orbi2d 683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( ( -u y  e.  NN  \/  -u -u y  e.  NN0 )  <->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) ) )
4642, 45mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4746adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
4847ord 367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
4938, 48mt3d 119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u y  e.  NN )
50 nnm1nn0 10217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u y  e.  NN  ->  (
-u y  -  1 )  e.  NN0 )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
52 fvres 5704 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  =  (bits `  ( -u y  - 
1 ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
5418, 22, 533eqtr4d 2446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  - 
1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  - 
1 ) ) )
55 bitsf1o 12912 . . . . . . . . . . 11  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0
-1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )
56 f1of1 5632 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-onto-> ( ~P NN0  i^i  Fin )  ->  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin ) )
5755, 56ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )
58 f1fveq 5967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
( -u x  -  1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  -  1 )  e.  NN0 )
)  ->  ( (
(bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
5957, 58mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u x  - 
1 )  e.  NN0  /\  ( -u y  - 
1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6020, 51, 59syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u x  -  1 ) )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  ( -u y  -  1 ) )  <->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) ) )
6154, 60mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u x  -  1 )  =  ( -u y  - 
1 ) )
628, 9, 11, 61subcan2d 9409 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  -u x  =  -u y )
634, 7, 62neg11d 9379 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( -u x  e.  NN  /\  (bits `  x )  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
6463expr 599 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u x  e.  NN )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
653negnegd 9358 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u -u x  =  x )
6665eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u -u x  e.  NN0  <->  x  e.  NN0 ) )
6766biimpa 471 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  x  e.  NN0 )
68 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) )
69 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  (bits `  x ) )
7069ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  (bits `  x ) )
7116ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( NN0  \  (bits `  y ) )  =  (bits `  ( -u y  -  1 ) ) )
72 bitsfi 12904 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  NN0  ->  (bits `  x )  e.  Fin )
7372ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  x
)  e.  Fin )
7468, 73eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  (bits `  y
)  e.  Fin )
75 difinf 7336 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( -.  NN0  e.  Fin  /\  (bits `  y )  e.  Fin )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y ) )  e. 
Fin )
7629, 74, 75sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( NN0  \  (bits `  y )
)  e.  Fin )
7771, 76eqneltrrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  (bits `  ( -u y  -  1 ) )  e.  Fin )
78 bitsfi 12904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
-u y  -  1 )  e.  NN0  ->  (bits `  ( -u y  - 
1 ) )  e. 
Fin )
7977, 78nsyl 115 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  ( -u y  -  1 )  e. 
NN0 )
8079, 50nsyl 115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  -.  -u y  e.  NN )
8146adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -u y  e.  NN  \/  y  e. 
NN0 ) )
8281ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( -.  -u y  e.  NN  ->  y  e.  NN0 ) )
8380, 82mpd 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  y  e.  NN0 )
84 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  =  (bits `  y ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  =  (bits `  y ) )
8668, 70, 853eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y ) )
87 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  e.  NN0 )
88 f1fveq 5967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (bits  |`  NN0 ) : NN0 -1-1-> ( ~P NN0  i^i 
Fin )  /\  (
x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
8957, 88mpan 652 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  NN0  /\  y  e.  NN0 )  -> 
( ( (bits  |`  NN0 ) `  x )  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y )  <->  x  =  y ) )
9087, 83, 89syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  ( ( (bits  |`  NN0 ) `  x
)  =  ( (bits  |`  NN0 ) `  y
)  <->  x  =  y
) )
9186, 90mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  ( x  e. 
NN0  /\  (bits `  x
)  =  (bits `  y ) ) )  ->  x  =  y )
9291expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9367, 92syldan 457 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  /\  -u -u x  e.  NN0 )  ->  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
942znegcld 10333 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  -> 
-u x  e.  ZZ )
95 elznn 10253 . . . . . 6  |-  ( -u x  e.  ZZ  <->  ( -u x  e.  RR  /\  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) ) )
9695simprbi 451 . . . . 5  |-  ( -u x  e.  ZZ  ->  (
-u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9794, 96syl 16 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( -u x  e.  NN  \/  -u -u x  e.  NN0 ) )
9864, 93, 97mpjaodan 762 . . 3  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  ( (bits `  x
)  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) )
9998rgen2a 2732 . 2  |-  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y )
100 dff13 5963 . 2  |-  (bits : ZZ
-1-1-> ~P NN0  <->  (bits : ZZ
--> ~P NN0  /\  A. x  e.  ZZ  A. y  e.  ZZ  ( (bits `  x )  =  (bits `  y )  ->  x  =  y ) ) )
1011, 99, 100mpbir2an 887 1  |- bits : ZZ -1-1-> ~P
NN0
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666    \ cdif 3277    i^i cin 3279   ~Pcpw 3759   class class class wbr 4172   omcom 4804    |` cres 4839   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    ~~ cen 7065   Fincfn 7068   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947    - cmin 9247   -ucneg 9248   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238  bitscbits 12886
This theorem is referenced by:  bitsuz  12941
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-bits 12889
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