MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bitsf Structured version   Unicode version

Theorem bitsf 14161
Description: The bits function is a function from integers to subsets of nonnegative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
bitsf  |- bits : ZZ --> ~P NN0

Proof of Theorem bitsf
Dummy variables  k  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-bits 14156 . 2  |- bits  =  ( n  e.  ZZ  |->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) } )
2 ssrab2 3571 . . . 4  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0
3 nn0ex 10797 . . . . 5  |-  NN0  e.  _V
43elpw2 4601 . . . 4  |-  ( { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_
`  ( n  / 
( 2 ^ k
) ) ) }  e.  ~P NN0  <->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  (
n  /  ( 2 ^ k ) ) ) }  C_  NN0 )
52, 4mpbir 209 . . 3  |-  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0
65a1i 11 . 2  |-  ( n  e.  ZZ  ->  { k  e.  NN0  |  -.  2  ||  ( |_ `  ( n  /  (
2 ^ k ) ) ) }  e.  ~P NN0 )
71, 6fmpti 6030 1  |- bits : ZZ --> ~P NN0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1823   {crab 2808    C_ wss 3461   ~Pcpw 3999   class class class wbr 4439   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    / cdiv 10202   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   |_cfl 11908   ^cexp 12148    || cdvds 14070  bitscbits 14153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-nn 10532  df-n0 10792  df-bits 14156
This theorem is referenced by:  bitsf1ocnv  14178  bitsf1  14180  eulerpartgbij  28575  eulerpartlemmf  28578
  Copyright terms: Public domain W3C validator