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Theorem birthdaylem2 23010
Description: For general  N and  K, count the fraction of injective functions from  1 ... K to  1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
Assertion
Ref Expression
birthdaylem2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, K    f, N, k
Allowed substitution hints:    S( f, k)    T( f, k)

Proof of Theorem birthdaylem2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
21fveq2i 5867 . . . . . 6  |-  ( # `  T )  =  (
# `  { f  |  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) } )
3 fzfi 12046 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... K )  e. 
Fin
4 fzfi 12046 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
5 hashf1 12468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
1 ... K ) ) )  x.  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( # `  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ( ! `  ( # `  ( 1 ... K
) ) )  x.  ( ( # `  (
1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
72, 6eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( # `  T )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  x.  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  _C  ( # `
 ( 1 ... K ) ) ) )
8 elfznn0 11766 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
10 hashfz1 12383 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  K )
1211fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( # `  ( 1 ... K ) ) )  =  ( ! `
 K ) )
13 nnnn0 10798 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
14 hashfz1 12383 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
1716, 11oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  _C  ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  =  ( N  _C  K ) )
1812, 17oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 ( # `  (
1 ... K ) ) )  x.  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) )  =  ( ( ! `  K
)  x.  ( N  _C  K ) ) )
197, 18syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  T
)  =  ( ( ! `  K )  x.  ( N  _C  K ) ) )
2013adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
21 faccl 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2322nncnd 10548 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
24 fznn0sub 11712 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
2524adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
26 faccl 12327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
2827nncnd 10548 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
2927nnne0d 10576 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
3023, 28, 29divcld 10316 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  e.  CC )
31 faccl 12327 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
329, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
3332nncnd 10548 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
3432nnne0d 10576 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
3530, 33, 34divcan2d 10318 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  /  ( ! `  K )
) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ! `
 ( N  -  K ) ) ) )
36 bcval2 12347 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3823, 28, 33, 29, 34divdiv1d 10347 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  / 
( ! `  K
) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3937, 38eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  /  ( ! `  K ) ) )
4039oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( N  _C  K
) )  =  ( ( ! `  K
)  x.  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ! `
 ( N  -  K ) ) )  /  ( ! `  K ) ) ) )
41 fzfid 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... N )  e.  Fin )
42 elfznn 11710 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
4342adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
44 nnrp 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4544relogcld 22736 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4645recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  n )  e.  CC )
4743, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
4841, 47fsumcl 13514 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n
)  e.  CC )
49 fzfid 12047 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( N  -  K
) )  e.  Fin )
50 elfznn 11710 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) )  ->  n  e.  NN )
5150adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) )  ->  n  e.  NN )
5251, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
5349, 52fsumcl 13514 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
)  e.  CC )
54 efsub 13692 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( log `  n )  e.  CC  /\  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
5548, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
5625nn0red 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
5756ltp1d 10472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  (
( N  -  K
)  +  1 ) )
58 fzdisj 11708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  <  ( ( N  -  K )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( N  -  K )
)  i^i  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ... ( N  -  K ) )  i^i  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  (/) )
60 fznn0sub2 11775 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
62 elfzle2 11686 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  <_  N )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <_  N
)
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  <_  N
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
66 nnuz 11113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6765, 66syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
68 nnz 10882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
70 elfz5 11676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
7167, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
7264, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N ) )
73 fzsplit 11707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K
) )  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K )
)  u.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( N  -  K )  =  0 )
7675oveq2d 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... ( N  -  K ) )  =  ( 1 ... 0
) )
77 fz10 11702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
7876, 77syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... ( N  -  K ) )  =  (/) )
7978uneq1d 3657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (
1 ... ( N  -  K ) )  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  (
(/)  u.  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
80 uncom 3648 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
)  u.  (/) )
81 un0 3810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  u.  (/) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )
8280, 81eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )
8375oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
84 1e0p1 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8583, 84syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  =  1 )
8685oveq1d 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
) )
8782, 86syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (/)  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  =  ( 1 ... N ) )
8879, 87eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K
) )  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
89 elnn0 10793 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
9025, 89sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
9174, 88, 90mpjaodan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K )
)  u.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
9259, 91, 41, 47fsumsplit 13521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) ) )
9392oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K )
) ( log `  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
94 fzfid 12047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  e.  Fin )
95 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
9625, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
97 elfzuz 11680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
98 eluznn 11148 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
9996, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  NN )
10099, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
10194, 100fsumcl 13514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  e.  CC )
10253, 101pncan2d 9928 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) )
10393, 102eqtr2d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
104103fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  =  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) ) )
10522nnne0d 10576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =/=  0
)
106 eflog 22692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( ! `  N ) )
10723, 105, 106syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( ! `  N ) )
108 logfac 22713 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )
10920, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
) )
110109fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) ) )
111107, 110eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
) ) )
112 eflog 22692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( ! `  ( N  -  K
) ) )
11328, 29, 112syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( ! `  ( N  -  K
) ) )
114 logfac 22713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( N  -  K )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) )
11525, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) )
116115fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
117113, 116eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K )
) ( log `  n
) ) )
118111, 117oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
11955, 104, 1183eqtr4d 2518 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K ) ) ) )
12035, 40, 1193eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( N  _C  K
) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) ) )
12119, 120eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  T
)  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
) ) )
122 birthday.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
123 mapvalg 7427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
1244, 3, 123mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  ^m  ( 1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
125122, 124eqtr4i 2499 . . . . . . 7  |-  S  =  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )
126125fveq2i 5867 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  (
# `  ( (
1 ... N )  ^m  ( 1 ... K
) ) )
127 hashmap 12455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 1 ... N
)  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) ) ^
( # `  ( 1 ... K ) ) ) )
1284, 3, 127mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) ) ^
( # `  ( 1 ... K ) ) )
129126, 128eqtri 2496 . . . . 5  |-  ( # `  S )  =  ( ( # `  (
1 ... N ) ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) )
13016, 11oveq12d 6300 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... N
) ) ^ ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  =  ( N ^ K ) )
131129, 130syl5eq 2520 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( N ^ K ) )
132 nncn 10540 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
133132adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  CC )
134 nnne0 10564 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
135134adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  =/=  0
)
136 elfzelz 11684 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
137136adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
138 explog 22706 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N ^ K )  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N ^ K )  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
140131, 139eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )
141121, 140oveq12d 6300 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
) )  /  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
1429nn0cnd 10850 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  CC )
143 nnrp 11225 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
144143adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR+ )
145144relogcld 22736 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
146145recnd 9618 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
147142, 146mulcld 9612 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
148 efsub 13692 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  e.  CC  /\  ( K  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
149101, 147, 148syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
150 relogdiv 22705 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( n  /  N ) )  =  ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) ) )
15144, 144, 150syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  (
n  /  N ) )  =  ( ( log `  n )  -  ( log `  N
) ) )
15299, 151syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  =  ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) ) )
153152sumeq2dv 13484 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( ( log `  n )  -  ( log `  N ) ) )
15468adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
15525nn0zd 10960 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
156155peano2zd 10965 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
15799, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
158144adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  RR+ )
159157, 158rpdivcld 11269 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR+ )
160159relogcld 22736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  e.  RR )
161160recnd 9618 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  e.  CC )
162 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  -  k )  ->  (
n  /  N )  =  ( ( N  -  k )  /  N ) )
163162fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  -  k )  ->  ( log `  ( n  /  N ) )  =  ( log `  (
( N  -  k
)  /  N ) ) )
164154, 156, 154, 161, 163fsumrev 13553 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  N ) ... ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) ) ( log `  (
( N  -  k
)  /  N ) ) )
165133subidd 9914 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
166 1cnd 9608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  e.  CC )
167133, 142, 166subsubd 9954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( K  -  1
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
168167oveq2d 6298 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  =  ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
169 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
170 subcl 9815 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( K  -  1 )  e.  CC )
171142, 169, 170sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  CC )
172133, 171nncand 9931 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  =  ( K  -  1 ) )
173168, 172eqtr3d 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( K  -  1 ) )
174165, 173oveq12d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  N ) ... ( N  -  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
175133adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
176 elfznn0 11766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
177176adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
179135adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  =/=  0 )
180175, 178, 175, 179divsubdird 10355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  k )  /  N )  =  ( ( N  /  N
)  -  ( k  /  N ) ) )
181175, 179dividd 10314 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
182181oveq1d 6297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  /  N )  -  ( k  /  N
) )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
183180, 182eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  k )  /  N )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
184183fveq2d 5868 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( ( N  -  k )  /  N
) )  =  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) )
185174, 184sumeq12rdv 13488 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  N
) ... ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) ) ( log `  ( ( N  -  k )  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
186164, 185eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
187146adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
18894, 100, 187fsumsub 13562 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) )  =  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  N
) ) )
189 fsumconst 13564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
)  e.  Fin  /\  ( log `  N )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  N )  =  ( ( # `  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  x.  ( log `  N ) ) )
19094, 146, 189syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  N
)  =  ( (
# `  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) )  x.  ( log `  N
) ) )
191 1zzd 10891 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  e.  ZZ )
192 fzen 11699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  K )  e.  ZZ )  ->  (
1 ... K )  ~~  ( ( 1  +  ( N  -  K
) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) ) )
193191, 137, 155, 192syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... K )  ~~  (
( 1  +  ( N  -  K ) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) ) )
19425nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  CC )
195 addcom 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( N  -  K
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( N  -  K
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
196169, 194, 195sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  +  ( N  -  K
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
197142, 133pncan3d 9929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  +  ( N  -  K
) )  =  N )
198196, 197oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( 1  +  ( N  -  K ) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )
199193, 198breqtrd 4471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... K )  ~~  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )
200 hasheni 12385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... K ) 
~~  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  ( # `
 ( 1 ... K ) )  =  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
201199, 200syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
202201, 11eqtr3d 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  =  K )
203202oveq1d 6297 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  x.  ( log `  N ) )  =  ( K  x.  ( log `  N ) ) )
204190, 203eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  N
)  =  ( K  x.  ( log `  N
) ) )
205204oveq2d 6298 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  N
) )  =  (
sum_ n  e.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
206188, 205eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) )  =  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
207153, 186, 2063eqtr3rd 2517 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
208207fveq2d 5868 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
209141, 149, 2083eqtr2d 2514 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452    =/= wne 2662    u. cun 3474    i^i cin 3475   (/)c0 3785   class class class wbr 4447   -->wf 5582   -1-1->wf1 5583   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    ^m cmap 7417    ~~ cen 7510   Fincfn 7513   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801    / cdiv 10202   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   RR+crp 11216   ...cfz 11668   ^cexp 12130   !cfa 12317    _C cbc 12344   #chash 12369   sum_csu 13467   expce 13655   logclog 22670
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6899  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-ixp 7467  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fsupp 7826  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-shft 12859  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-limsup 13253  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-ef 13661  df-sin 13663  df-cos 13664  df-pi 13666  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-ress 14493  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-starv 14566  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-unif 14574  df-hom 14575  df-cco 14576  df-rest 14674  df-topn 14675  df-0g 14693  df-gsum 14694  df-topgen 14695  df-pt 14696  df-prds 14699  df-xrs 14753  df-qtop 14758  df-imas 14759  df-xps 14761  df-mre 14837  df-mrc 14838  df-acs 14840  df-mnd 15728  df-submnd 15778  df-mulg 15861  df-cntz 16150  df-cmn 16596  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-fbas 18187  df-fg 18188  df-cnfld 18192  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-topsp 19170  df-cld 19286  df-ntr 19287  df-cls 19288  df-nei 19365  df-lp 19403  df-perf 19404  df-cn 19494  df-cnp 19495  df-haus 19582  df-tx 19798  df-hmeo 19991  df-fil 20082  df-fm 20174  df-flim 20175  df-flf 20176  df-xms 20558  df-ms 20559  df-tms 20560  df-cncf 21117  df-limc 22005  df-dv 22006  df-log 22672
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