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Theorem birthdaylem2 22361
Description: For general  N and  K, count the fraction of injective functions from  1 ... K to  1 ... N. (Contributed by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
Assertion
Ref Expression
birthdaylem2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    f, k, K    f, N, k
Allowed substitution hints:    S( f, k)    T( f, k)

Proof of Theorem birthdaylem2
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 birthday.t . . . . . . 7  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
21fveq2i 5709 . . . . . 6  |-  ( # `  T )  =  (
# `  { f  |  f : ( 1 ... K )
-1-1-> ( 1 ... N
) } )
3 fzfi 11809 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... K )  e. 
Fin
4 fzfi 11809 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... N )  e. 
Fin
5 hashf1 12225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... N
)  e.  Fin )  ->  ( # `  {
f  |  f : ( 1 ... K
) -1-1-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ( ! `
 ( # `  (
1 ... K ) ) )  x.  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) ) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( # `  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) } )  =  ( ( ! `  ( # `  ( 1 ... K
) ) )  x.  ( ( # `  (
1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) )
72, 6eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( # `  T )  =  ( ( ! `  ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  x.  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  _C  ( # `
 ( 1 ... K ) ) ) )
8 elfznn0 11496 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
98adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  NN0 )
10 hashfz1 12132 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... K
) )  =  K )
119, 10syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  K )
1211fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( # `  ( 1 ... K ) ) )  =  ( ! `
 K ) )
13 nnnn0 10601 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
14 hashfz1 12132 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... N
) )  =  N )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... N ) )  =  N )
1615adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... N ) )  =  N )
1716, 11oveq12d 6124 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... N
) )  _C  ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  =  ( N  _C  K ) )
1812, 17oveq12d 6124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 ( # `  (
1 ... K ) ) )  x.  ( (
# `  ( 1 ... N ) )  _C  ( # `  (
1 ... K ) ) ) )  =  ( ( ! `  K
)  x.  ( N  _C  K ) ) )
197, 18syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  T
)  =  ( ( ! `  K )  x.  ( N  _C  K ) ) )
2013adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
21 faccl 12076 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
2220, 21syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  NN )
2322nncnd 10353 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  e.  CC )
24 fznn0sub 11502 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
2524adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
26 faccl 12076 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  NN )
2827nncnd 10353 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  e.  CC )
2927nnne0d 10381 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =/=  0
)
3023, 28, 29divcld 10122 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  e.  CC )
31 faccl 12076 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
329, 31syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  NN )
3332nncnd 10353 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  e.  CC )
3432nnne0d 10381 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  K )  =/=  0
)
3530, 33, 34divcan2d 10124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  /  ( ! `  K )
) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ! `
 ( N  -  K ) ) ) )
36 bcval2 12096 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3823, 28, 33, 29, 34divdiv1d 10153 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  / 
( ! `  K
) )  =  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )
3937, 38eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  /  ( ! `  K ) ) )
4039oveq2d 6122 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( N  _C  K
) )  =  ( ( ! `  K
)  x.  ( ( ( ! `  N
)  /  ( ! `
 ( N  -  K ) ) )  /  ( ! `  K ) ) ) )
41 fzfid 11810 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... N )  e.  Fin )
42 elfznn 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... N )  ->  n  e.  NN )
4342adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  n  e.  NN )
44 nnrp 11015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  RR+ )
4544relogcld 22087 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  n )  e.  RR )
4645recnd 9427 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( log `  n )  e.  CC )
4743, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
4841, 47fsumcl 13225 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n
)  e.  CC )
49 fzfid 11810 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... ( N  -  K
) )  e.  Fin )
50 elfznn 11493 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) )  ->  n  e.  NN )
5150adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) )  ->  n  e.  NN )
5251, 46syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
5349, 52fsumcl 13225 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
)  e.  CC )
54 efsub 13399 . . . . . . 7  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... N ) ( log `  n )  e.  CC  /\  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  e.  CC )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
5548, 53, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
5625nn0red 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
5756ltp1d 10278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <  (
( N  -  K
)  +  1 ) )
58 fzdisj 11491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  -  K )  <  ( ( N  -  K )  +  1 )  ->  (
( 1 ... ( N  -  K )
)  i^i  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) )  =  (/) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( 1 ... ( N  -  K ) )  i^i  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  (/) )
60 fznn0sub2 11503 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N
) )
6160adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N ) )
62 elfzle2 11470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  <_  N )
6361, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  <_  N
)
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  <_  N
)
65 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  NN )
66 nnuz 10911 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6765, 66syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
68 nnz 10683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  N  e.  ZZ )
70 elfz5 11460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( N  -  K
)  e.  ( 1 ... N )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
7167, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N
)  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
7264, 71mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N ) )
73 fzsplit 11490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  K )  e.  ( 1 ... N )  ->  (
1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K
) )  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
7472, 73syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  e.  NN )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K )
)  u.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
75 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( N  -  K )  =  0 )
7675oveq2d 6122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... ( N  -  K ) )  =  ( 1 ... 0
) )
77 fz10 11485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... 0 )  =  (/)
7876, 77syl6eq 2491 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... ( N  -  K ) )  =  (/) )
7978uneq1d 3524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (
1 ... ( N  -  K ) )  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  (
(/)  u.  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
80 uncom 3515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
)  u.  (/) )
81 un0 3677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  u.  (/) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )
8280, 81eqtri 2463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )
8375oveq1d 6121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
84 1e0p1 10798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  =  ( 0  +  1 )
8583, 84syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  =  1 )
8685oveq1d 6121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N )  =  ( 1 ... N
) )
8782, 86syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( (/)  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  =  ( 1 ... N ) )
8879, 87eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  ( N  -  K )  =  0 )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K
) )  u.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
89 elnn0 10596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
9025, 89sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  e.  NN  \/  ( N  -  K )  =  0 ) )
9174, 88, 90mpjaodan 784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... N )  =  ( ( 1 ... ( N  -  K )
)  u.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ) )
9259, 91, 41, 47fsumsplit 13231 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) ) )
9392oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K )
) ( log `  n
) )  =  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
)  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
94 fzfid 11810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  e.  Fin )
95 nn0p1nn 10634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
9625, 95syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN )
97 elfzuz 11464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
98 eluznn 10940 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  NN  /\  n  e.  ( ZZ>= `  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )  ->  n  e.  NN )
9996, 97, 98syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  NN )
10099, 46syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  n )  e.  CC )
10194, 100fsumcl 13225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  e.  CC )
10253, 101pncan2d 9736 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n )  +  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) )
10393, 102eqtr2d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  =  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
104103fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  =  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n )  -  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) ) ) )
10522nnne0d 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =/=  0
)
106 eflog 22043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ! `  N
)  e.  CC  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( ! `  N ) )
10723, 105, 106syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( ! `  N ) )
108 logfac 22064 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  N
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )
10920, 108syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  ( ! `  N )
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
) )
110109fveq2d 5710 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  N ) ) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) ) )
111107, 110eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  N )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N
) ( log `  n
) ) )
112 eflog 22043 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ! `  ( N  -  K )
)  e.  CC  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  -> 
( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( ! `  ( N  -  K
) ) )
11328, 29, 112syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( ! `  ( N  -  K
) ) )
114 logfac 22064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( log `  ( ! `  ( N  -  K )
) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) )
11525, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K ) ) ( log `  n
) )
116115fveq2d 5710 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( log `  ( ! `  ( N  -  K
) ) ) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) )
117113, 116eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ! `  ( N  -  K
) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K )
) ( log `  n
) ) )
118111, 117oveq12d 6124 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 N )  / 
( ! `  ( N  -  K )
) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  sum_ n  e.  ( 1 ... ( N  -  K
) ) ( log `  n ) ) ) )
11955, 104, 1183eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  =  ( ( ! `  N )  /  ( ! `  ( N  -  K ) ) ) )
12035, 40, 1193eqtr4d 2485 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( ! `
 K )  x.  ( N  _C  K
) )  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
) ) )
12119, 120eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  T
)  =  ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
) ) )
122 birthday.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
123 mapvalg 7239 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) } )
1244, 3, 123mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... N )  ^m  ( 1 ... K ) )  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
125122, 124eqtr4i 2466 . . . . . . 7  |-  S  =  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) )
126125fveq2i 5709 . . . . . 6  |-  ( # `  S )  =  (
# `  ( (
1 ... N )  ^m  ( 1 ... K
) ) )
127 hashmap 12212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... N
)  e.  Fin  /\  ( 1 ... K
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( 1 ... N
)  ^m  ( 1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) ) ^
( # `  ( 1 ... K ) ) ) )
1284, 3, 127mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( # `  ( ( 1 ... N )  ^m  (
1 ... K ) ) )  =  ( (
# `  ( 1 ... N ) ) ^
( # `  ( 1 ... K ) ) )
129126, 128eqtri 2463 . . . . 5  |-  ( # `  S )  =  ( ( # `  (
1 ... N ) ) ^ ( # `  (
1 ... K ) ) )
13016, 11oveq12d 6124 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( 1 ... N
) ) ^ ( # `
 ( 1 ... K ) ) )  =  ( N ^ K ) )
131129, 130syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( N ^ K ) )
132 nncn 10345 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
133132adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  CC )
134 nnne0 10369 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
135134adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  =/=  0
)
136 elfzelz 11468 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  ZZ )
137136adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  ZZ )
138 explog 22057 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  N  =/=  0  /\  K  e.  ZZ )  ->  ( N ^ K )  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )
139133, 135, 137, 138syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N ^ K )  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
140131, 139eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  S
)  =  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )
141121, 140oveq12d 6124 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
) )  /  ( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
1429nn0cnd 10653 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  K  e.  CC )
143 nnrp 11015 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
144143adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR+ )
145144relogcld 22087 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  N
)  e.  RR )
146145recnd 9427 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( log `  N
)  e.  CC )
147142, 146mulcld 9421 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )
148 efsub 13399 . . 3  |-  ( (
sum_ n  e.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  e.  CC  /\  ( K  x.  ( log `  N ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
149101, 147, 148syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( ( exp `  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n ) )  / 
( exp `  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) ) )
150 relogdiv 22056 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  RR+  /\  N  e.  RR+ )  ->  ( log `  ( n  /  N ) )  =  ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) ) )
15144, 144, 150syl2anr 478 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( log `  (
n  /  N ) )  =  ( ( log `  n )  -  ( log `  N
) ) )
15299, 151syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  =  ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) ) )
153152sumeq2dv 13195 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( ( log `  n )  -  ( log `  N ) ) )
15468adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  ZZ )
15525nn0zd 10760 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  ZZ )
156155peano2zd 10765 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  +  1 )  e.  ZZ )
15799, 44syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  n  e.  RR+ )
158144adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  N  e.  RR+ )
159157, 158rpdivcld 11059 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( n  /  N )  e.  RR+ )
160159relogcld 22087 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  e.  RR )
161160recnd 9427 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  ( n  /  N
) )  e.  CC )
162 oveq1 6113 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( N  -  k )  ->  (
n  /  N )  =  ( ( N  -  k )  /  N ) )
163162fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( N  -  k )  ->  ( log `  ( n  /  N ) )  =  ( log `  (
( N  -  k
)  /  N ) ) )
164154, 156, 154, 161, 163fsumrev 13261 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( ( N  -  N ) ... ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) ) ( log `  (
( N  -  k
)  /  N ) ) )
165133subidd 9722 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
166 1cnd 9417 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  e.  CC )
167133, 142, 166subsubd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( K  -  1
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
168167oveq2d 6122 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  =  ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) )
169 ax-1cn 9355 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
170 subcl 9624 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( K  -  1 )  e.  CC )
171142, 169, 170sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  - 
1 )  e.  CC )
172133, 171nncand 9739 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( N  -  ( K  -  1 ) ) )  =  ( K  -  1 ) )
173168, 172eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) )  =  ( K  -  1 ) )
174165, 173oveq12d 6124 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  N ) ... ( N  -  (
( N  -  K
)  +  1 ) ) )  =  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )
175133adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
176 elfznn0 11496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
177176adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
178177nn0cnd 10653 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
179135adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  N  =/=  0 )
180175, 178, 175, 179divsubdird 10161 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  k )  /  N )  =  ( ( N  /  N
)  -  ( k  /  N ) ) )
181175, 179dividd 10120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( N  /  N )  =  1 )
182181oveq1d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  /  N )  -  ( k  /  N
) )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
183180, 182eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( ( N  -  k )  /  N )  =  ( 1  -  ( k  /  N ) ) )
184183fveq2d 5710 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) )  ->  ( log `  ( ( N  -  k )  /  N
) )  =  ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) )
185174, 184sumeq12rdv 13199 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ k  e.  ( ( N  -  N
) ... ( N  -  ( ( N  -  K )  +  1 ) ) ) ( log `  ( ( N  -  k )  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
186164, 185eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  (
n  /  N ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
187146adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  /\  n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  ->  ( log `  N )  e.  CC )
18894, 100, 187fsumsub 13270 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) )  =  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  N
) ) )
189 fsumconst 13272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
)  e.  Fin  /\  ( log `  N )  e.  CC )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  N )  =  ( ( # `  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  x.  ( log `  N ) ) )
19094, 146, 189syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  N
)  =  ( (
# `  ( (
( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) )  x.  ( log `  N
) ) )
191 1zzd 10692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  1  e.  ZZ )
192 fzen 11482 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  K  e.  ZZ  /\  ( N  -  K )  e.  ZZ )  ->  (
1 ... K )  ~~  ( ( 1  +  ( N  -  K
) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) ) )
193191, 137, 155, 192syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... K )  ~~  (
( 1  +  ( N  -  K ) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) ) )
19425nn0cnd 10653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  CC )
195 addcom 9570 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( N  -  K
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( N  -  K
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
196169, 194, 195sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1  +  ( N  -  K
) )  =  ( ( N  -  K
)  +  1 ) )
197142, 133pncan3d 9737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( K  +  ( N  -  K
) )  =  N )
198196, 197oveq12d 6124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( 1  +  ( N  -  K ) ) ... ( K  +  ( N  -  K ) ) )  =  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )
199193, 198breqtrd 4331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 1 ... K )  ~~  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )
200 hasheni 12134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... K ) 
~~  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N )  ->  ( # `
 ( 1 ... K ) )  =  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
201199, 200syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
1 ... K ) )  =  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ) )
202201, 11eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( # `  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) )  =  K )
203202oveq1d 6121 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) )  x.  ( log `  N ) )  =  ( K  x.  ( log `  N ) ) )
204190, 203eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  N
)  =  ( K  x.  ( log `  N
) ) )
205204oveq2d 6122 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
)  -  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  N
) )  =  (
sum_ n  e.  (
( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
206188, 205eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( ( log `  n
)  -  ( log `  N ) )  =  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N ) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) ) )
207153, 186, 2063eqtr3rd 2484 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K )  +  1 ) ... N
) ( log `  n
)  -  ( K  x.  ( log `  N
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  -  1 ) ) ( log `  (
1  -  ( k  /  N ) ) ) )
208207fveq2d 5710 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( exp `  ( sum_ n  e.  ( ( ( N  -  K
)  +  1 ) ... N ) ( log `  n )  -  ( K  x.  ( log `  N ) ) ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
209141, 149, 2083eqtr2d 2481 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( # `  T )  /  ( # `
 S ) )  =  ( exp `  sum_ k  e.  ( 0 ... ( K  - 
1 ) ) ( log `  ( 1  -  ( k  /  N ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cab 2429    =/= wne 2620    u. cun 3341    i^i cin 3342   (/)c0 3652   class class class wbr 4307   -->wf 5429   -1-1->wf1 5430   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    ^m cmap 7229    ~~ cen 7322   Fincfn 7325   CCcc 9295   0cc0 9297   1c1 9298    + caddc 9300    x. cmul 9302    < clt 9433    <_ cle 9434    - cmin 9610    / cdiv 10008   NNcn 10337   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   RR+crp 11006   ...cfz 11452   ^cexp 11880   !cfa 12066    _C cbc 12093   #chash 12118   sum_csu 13178   expce 13362   logclog 22021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-iin 4189  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-supp 6706  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-ixp 7279  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fsupp 7636  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ioc 11320  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-shft 12571  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-limsup 12964  df-clim 12981  df-rlim 12982  df-sum 13179  df-ef 13368  df-sin 13370  df-cos 13371  df-pi 13373  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-hom 14277  df-cco 14278  df-rest 14376  df-topn 14377  df-0g 14395  df-gsum 14396  df-topgen 14397  df-pt 14398  df-prds 14401  df-xrs 14455  df-qtop 14460  df-imas 14461  df-xps 14463  df-mre 14539  df-mrc 14540  df-acs 14542  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-mulg 15563  df-cntz 15850  df-cmn 16294  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-fbas 17829  df-fg 17830  df-cnfld 17834  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-topsp 18522  df-cld 18638  df-ntr 18639  df-cls 18640  df-nei 18717  df-lp 18755  df-perf 18756  df-cn 18846  df-cnp 18847  df-haus 18934  df-tx 19150  df-hmeo 19343  df-fil 19434  df-fm 19526  df-flim 19527  df-flf 19528  df-xms 19910  df-ms 19911  df-tms 19912  df-cncf 20469  df-limc 21356  df-dv 21357  df-log 22023
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