MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Unicode version

Theorem birthday 23262
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for  K  =  2 3 and  N  =  3 6 5, fewer than half of the set of all functions from  1 ... K to  1 ... N are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
birthday.k  |-  K  = ; 2
3
birthday.n  |-  N  = ;; 3 6 5
Assertion
Ref Expression
birthday  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4  |-  K  = ; 2
3
2 2nn0 10819 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
3 3nn0 10820 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
42, 3deccl 11000 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
51, 4eqeltri 2527 . . 3  |-  K  e. 
NN0
6 birthday.n . . . 4  |-  N  = ;; 3 6 5
7 6nn0 10823 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
83, 7deccl 11000 . . . . 5  |- ; 3 6  e.  NN0
9 5nn 10703 . . . . 5  |-  5  e.  NN
108, 9decnncl 10999 . . . 4  |- ;; 3 6 5  e.  NN
116, 10eqeltri 2527 . . 3  |-  N  e.  NN
12 birthday.s . . . 4  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
13 birthday.t . . . 4  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
1412, 13birthdaylem3 23261 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
155, 11, 14mp2an 672 . 2  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
16 log2ub 23258 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  < 
(;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
175nn0cni 10814 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
1817sqvali 12229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K
)
1917mulid1i 9601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  x.  1 )  =  K
2019eqcomi 2456 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( K  x.  1 )
2118, 20oveq12i 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
22 ax-1cn 9553 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2317, 17, 22subdii 10012 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
2421, 23eqtr4i 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( K  x.  ( K  -  1 ) )
2524oveq1i 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  =  ( ( K  x.  ( K  -  1
) )  /  2
)
2617, 22subcli 9900 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  1 )  e.  CC
27 2cn 10613 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10635 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2917, 26, 27, 28divassi 10307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  =  ( K  x.  (
( K  -  1 )  /  2 ) )
30 1nn0 10818 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 2p1e3 10666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 2 2  = ; 2 2
332, 2, 31, 32decsuc 11009 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 2 2  +  1 )  = ; 2 3
341, 33eqtr4i 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  (; 2 2  +  1 )
3534oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  -  1 )  =  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )
362, 2deccl 11000 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 2  e.  NN0
3736nn0cni 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 2  e.  CC
3837, 22pncan3oi 9841 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (; 2
2  +  1 )  -  1 )  = ; 2
2
3935, 38eqtri 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  -  1 )  = ; 2
2
4039oveq1i 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  =  (; 2 2  /  2
)
41 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  = ; 1 1
42 0nn0 10817 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
4327mulid1i 9601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4443oveq1i 6291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
4527addid1i 9770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  0 )  =  2
4644, 45eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  2
472dec0h 11002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  = ; 0 2
4843, 47eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  = ; 0
2
492, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48decmul2c 11034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2
5030, 30deccl 11000 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 1  e.  NN0
5150nn0cni 10814 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  e.  CC
5237, 27, 51, 28divmuli 10305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (; 2
2  /  2 )  = ; 1 1  <->  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2 )
5349, 52mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 2  /  2
)  = ; 1 1
5440, 53eqtri 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  = ; 1
1
5519, 1eqtri 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  1 )  = ; 2
3
56 3p2e5 10675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
572, 3, 2, 55, 56decaddi 11030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  x.  1 )  +  2 )  = ; 2
5
585, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55decmul2c 11034 . . . . . . . . 9  |-  ( K  x.  ( ( K  -  1 )  / 
2 ) )  = ;; 2 5 3
5929, 58eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6025, 59eqtri 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6160, 6oveq12i 6293 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  =  (;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
6216, 61breqtrri 4462 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  < 
( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)
63 2rp 11236 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
64 relogcl 22941 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR
66 5nn0 10822 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN0
672, 66deccl 11000 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 5  e.  NN0
6867, 3deccl 11000 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 3  e.  NN0
6960, 68eqeltri 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e. 
NN0
7069nn0rei 10813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e.  RR
71 nndivre 10578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
7270, 11, 71mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR
7365, 72ltnegi 10104 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  <  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <  -u ( log `  2
) )
7462, 73mpbi 208 . . . 4  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)
7572renegcli 9885 . . . . 5  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  e.  RR
7665renegcli 9885 . . . . 5  |-  -u ( log `  2 )  e.  RR
77 eflt 13834 . . . . 5  |-  ( (
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR  /\  -u ( log `  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)  <->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 672 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  <  -u ( log `  2 )  <->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) )
7974, 78mpbi 208 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( exp `  -u ( log `  2 ) )
8065recni 9611 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
81 efneg 13815 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . 4  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) )
83 reeflog 22943 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
8463, 83ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
8584oveq2i 6292 . . . 4  |-  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( 1  /  2 )
8682, 85eqtri 2472 . . 3  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  2 )
8779, 86breqtri 4460 . 2  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
)
8812, 13birthdaylem1 23259 . . . . . . . 8  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
8988simp2i 1007 . . . . . . 7  |-  S  e. 
Fin
9088simp1i 1006 . . . . . . 7  |-  T  C_  S
91 ssfi 7742 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  T  C_  S )  ->  T  e.  Fin )
9289, 90, 91mp2an 672 . . . . . 6  |-  T  e. 
Fin
93 hashcl 12410 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
9492, 93ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  T )  e.  NN0
9594nn0rei 10813 . . . 4  |-  ( # `  T )  e.  RR
9688simp3i 1008 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
9711, 96ax-mp 5 . . . . 5  |-  S  =/=  (/)
98 hashnncl 12418 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
9989, 98ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
10097, 99mpbir 209 . . . 4  |-  ( # `  S )  e.  NN
101 nndivre 10578 . . . 4  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  RR  /\  ( # `  S )  e.  NN )  -> 
( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  e.  RR )
10295, 100, 101mp2an 672 . . 3  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  e.  RR
103 reefcl 13804 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR  ->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  e.  RR )
10475, 103ax-mp 5 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  e.  RR
105 halfre 10761 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
106102, 104, 105lelttri 9714 . 2  |-  ( ( ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  /\  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( # `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 ) )
10715, 87, 106mp2an 672 1  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cab 2428    =/= wne 2638    C_ wss 3461   (/)c0 3770   class class class wbr 4437   -->wf 5574   -1-1->wf1 5575   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   Fincfn 7518   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810   -ucneg 9811    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   3c3 10593   5c5 10595   6c6 10596   NN0cn0 10802  ;cdc 10986   RR+crp 11231   ...cfz 11683   ^cexp 12148   #chash 12387   expce 13779   logclog 22920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12882  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-limsup 13276  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-ef 13785  df-sin 13787  df-cos 13788  df-tan 13789  df-pi 13790  df-dvds 13969  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-rest 14802  df-topn 14803  df-0g 14821  df-gsum 14822  df-topgen 14823  df-pt 14824  df-prds 14827  df-xrs 14881  df-qtop 14886  df-imas 14887  df-xps 14889  df-mre 14965  df-mrc 14966  df-acs 14968  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-submnd 15946  df-mulg 16039  df-cntz 16334  df-cmn 16779  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-fbas 18395  df-fg 18396  df-cnfld 18400  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-topsp 19381  df-cld 19498  df-ntr 19499  df-cls 19500  df-nei 19577  df-lp 19615  df-perf 19616  df-cn 19706  df-cnp 19707  df-haus 19794  df-cmp 19865  df-tx 20041  df-hmeo 20234  df-fil 20325  df-fm 20417  df-flim 20418  df-flf 20419  df-xms 20801  df-ms 20802  df-tms 20803  df-cncf 21360  df-limc 22248  df-dv 22249  df-ulm 22750  df-log 22922  df-atan 23176
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator