MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  birthday Structured version   Unicode version

Theorem birthday 23401
Description: The Birthday Problem. There is a more than even chance that out of 23 people in a room, at least two of them have the same birthday. Mathematically, this is asserting that for  K  =  2 3 and  N  =  3 6 5, fewer than half of the set of all functions from  1 ... K to  1 ... N are injective. This is Metamath 100 proof #93. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
birthday.s  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
birthday.t  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
birthday.k  |-  K  = ; 2
3
birthday.n  |-  N  = ;; 3 6 5
Assertion
Ref Expression
birthday  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Distinct variable groups:    f, K    f, N
Allowed substitution hints:    S( f)    T( f)

Proof of Theorem birthday
StepHypRef Expression
1 birthday.k . . . 4  |-  K  = ; 2
3
2 2nn0 10729 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
3 3nn0 10730 . . . . 5  |-  3  e.  NN0
42, 3deccl 10909 . . . 4  |- ; 2 3  e.  NN0
51, 4eqeltri 2466 . . 3  |-  K  e. 
NN0
6 birthday.n . . . 4  |-  N  = ;; 3 6 5
7 6nn0 10733 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
83, 7deccl 10909 . . . . 5  |- ; 3 6  e.  NN0
9 5nn 10613 . . . . 5  |-  5  e.  NN
108, 9decnncl 10908 . . . 4  |- ;; 3 6 5  e.  NN
116, 10eqeltri 2466 . . 3  |-  N  e.  NN
12 birthday.s . . . 4  |-  S  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) --> ( 1 ... N ) }
13 birthday.t . . . 4  |-  T  =  { f  |  f : ( 1 ... K ) -1-1-> ( 1 ... N ) }
1412, 13birthdaylem3 23400 . . 3  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) ) )
155, 11, 14mp2an 670 . 2  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <_  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )
16 log2ub 23396 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  < 
(;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
175nn0cni 10724 . . . . . . . . . . . 12  |-  K  e.  CC
1817sqvali 12150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K ^ 2 )  =  ( K  x.  K
)
1917mulid1i 9509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  x.  1 )  =  K
2019eqcomi 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  K  =  ( K  x.  1 )
2118, 20oveq12i 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
22 ax-1cn 9461 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
2317, 17, 22subdii 9923 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  x.  ( K  - 
1 ) )  =  ( ( K  x.  K )  -  ( K  x.  1 ) )
2421, 23eqtr4i 2414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K ^ 2 )  -  K )  =  ( K  x.  ( K  -  1 ) )
2524oveq1i 6206 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  =  ( ( K  x.  ( K  -  1
) )  /  2
)
2617, 22subcli 9808 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  -  1 )  e.  CC
27 2cn 10523 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
28 2ne0 10545 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
2917, 26, 27, 28divassi 10217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  =  ( K  x.  (
( K  -  1 )  /  2 ) )
30 1nn0 10728 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN0
31 2p1e3 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  +  1 )  =  3
32 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |- ; 2 2  = ; 2 2
332, 2, 31, 32decsuc 10918 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (; 2 2  +  1 )  = ; 2 3
341, 33eqtr4i 2414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  K  =  (; 2 2  +  1 )
3534oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  -  1 )  =  ( (; 2 2  +  1 )  -  1 )
362, 2deccl 10909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |- ; 2 2  e.  NN0
3736nn0cni 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 2 2  e.  CC
3837, 22pncan3oi 9749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (; 2
2  +  1 )  -  1 )  = ; 2
2
3935, 38eqtri 2411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  -  1 )  = ; 2
2
4039oveq1i 6206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  =  (; 2 2  /  2
)
41 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  = ; 1 1
42 0nn0 10727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
4327mulid1i 9509 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
4443oveq1i 6206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  ( 2  +  0 )
4527addid1i 9678 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  +  0 )  =  2
4644, 45eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  1 )  +  0 )  =  2
472dec0h 10911 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  = ; 0 2
4843, 47eqtri 2411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  1 )  = ; 0
2
492, 30, 30, 41, 2, 42, 46, 48decmul2c 10943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2
5030, 30deccl 10909 . . . . . . . . . . . . . 14  |- ; 1 1  e.  NN0
5150nn0cni 10724 . . . . . . . . . . . . 13  |- ; 1 1  e.  CC
5237, 27, 51, 28divmuli 10215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (; 2
2  /  2 )  = ; 1 1  <->  ( 2  x. ; 1 1 )  = ; 2
2 )
5349, 52mpbir 209 . . . . . . . . . . 11  |-  (; 2 2  /  2
)  = ; 1 1
5440, 53eqtri 2411 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  -  1 )  /  2 )  = ; 1
1
5519, 1eqtri 2411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  x.  1 )  = ; 2
3
56 3p2e5 10585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  +  2 )  =  5
572, 3, 2, 55, 56decaddi 10939 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  x.  1 )  +  2 )  = ; 2
5
585, 30, 30, 54, 3, 2, 57, 55decmul2c 10943 . . . . . . . . 9  |-  ( K  x.  ( ( K  -  1 )  / 
2 ) )  = ;; 2 5 3
5929, 58eqtri 2411 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  x.  ( K  -  1 ) )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6025, 59eqtri 2411 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  = ;; 2 5 3
6160, 6oveq12i 6208 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  =  (;; 2 5 3  / ;; 3 6 5 )
6216, 61breqtrri 4392 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  < 
( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)
63 2rp 11144 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
64 relogcl 23048 . . . . . . 7  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( log `  2 )  e.  RR
66 5nn0 10732 . . . . . . . . . . 11  |-  5  e.  NN0
672, 66deccl 10909 . . . . . . . . . 10  |- ; 2 5  e.  NN0
6867, 3deccl 10909 . . . . . . . . 9  |- ;; 2 5 3  e.  NN0
6960, 68eqeltri 2466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e. 
NN0
7069nn0rei 10723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  e.  RR
71 nndivre 10488 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  e.  RR  /\  N  e.  NN )  ->  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR )
7270, 11, 71mp2an 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  e.  RR
7365, 72ltnegi 10014 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  <  ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  <->  -u ( ( ( ( K ^
2 )  -  K
)  /  2 )  /  N )  <  -u ( log `  2
) )
7462, 73mpbi 208 . . . 4  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)
7572renegcli 9793 . . . . 5  |-  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  e.  RR
7665renegcli 9793 . . . . 5  |-  -u ( log `  2 )  e.  RR
77 eflt 13854 . . . . 5  |-  ( (
-u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N )  e.  RR  /\  -u ( log `  2
)  e.  RR )  ->  ( -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N )  <  -u ( log `  2
)  <->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) ) )
7875, 76, 77mp2an 670 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  <  -u ( log `  2 )  <->  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
) )  <  ( exp `  -u ( log `  2
) ) )
7974, 78mpbi 208 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( exp `  -u ( log `  2 ) )
8065recni 9519 . . . . 5  |-  ( log `  2 )  e.  CC
81 efneg 13835 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  e.  CC  ->  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) ) )
8280, 81ax-mp 5 . . . 4  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2
) ) )
83 reeflog 23053 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2 )
8463, 83ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( exp `  ( log `  2
) )  =  2
8584oveq2i 6207 . . . 4  |-  ( 1  /  ( exp `  ( log `  2 ) ) )  =  ( 1  /  2 )
8682, 85eqtri 2411 . . 3  |-  ( exp `  -u ( log `  2
) )  =  ( 1  /  2 )
8779, 86breqtri 4390 . 2  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
)
8812, 13birthdaylem1 23398 . . . . . . . 8  |-  ( T 
C_  S  /\  S  e.  Fin  /\  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) ) )
8988simp2i 1004 . . . . . . 7  |-  S  e. 
Fin
9088simp1i 1003 . . . . . . 7  |-  T  C_  S
91 ssfi 7656 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  T  C_  S )  ->  T  e.  Fin )
9289, 90, 91mp2an 670 . . . . . 6  |-  T  e. 
Fin
93 hashcl 12330 . . . . . 6  |-  ( T  e.  Fin  ->  ( # `
 T )  e. 
NN0 )
9492, 93ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( # `  T )  e.  NN0
9594nn0rei 10723 . . . 4  |-  ( # `  T )  e.  RR
9688simp3i 1005 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  S  =/=  (/) )
9711, 96ax-mp 5 . . . . 5  |-  S  =/=  (/)
98 hashnncl 12339 . . . . . 6  |-  ( S  e.  Fin  ->  (
( # `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) ) )
9989, 98ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( (
# `  S )  e.  NN  <->  S  =/=  (/) )
10097, 99mpbir 209 . . . 4  |-  ( # `  S )  e.  NN
101 nndivre 10488 . . . 4  |-  ( ( ( # `  T
)  e.  RR  /\  ( # `  S )  e.  NN )  -> 
( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  e.  RR )
10295, 100, 101mp2an 670 . . 3  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  e.  RR
103 reefcl 13824 . . . 4  |-  ( -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  / 
2 )  /  N
)  e.  RR  ->  ( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  e.  RR )
10475, 103ax-mp 5 . . 3  |-  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  e.  RR
105 halfre 10671 . . 3  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
106102, 104, 105lelttri 9622 . 2  |-  ( ( ( ( # `  T
)  /  ( # `  S ) )  <_ 
( exp `  -u (
( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2
)  /  N ) )  /\  ( exp `  -u ( ( ( ( K ^ 2 )  -  K )  /  2 )  /  N ) )  < 
( 1  /  2
) )  ->  (
( # `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 ) )
10715, 87, 106mp2an 670 1  |-  ( (
# `  T )  /  ( # `  S
) )  <  (
1  /  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   {cab 2367    =/= wne 2577    C_ wss 3389   (/)c0 3711   class class class wbr 4367   -->wf 5492   -1-1->wf1 5493   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Fincfn 7435   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    < clt 9539    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719    / cdiv 10123   NNcn 10452   2c2 10502   3c3 10503   5c5 10505   6c6 10506   NN0cn0 10712  ;cdc 10895   RR+crp 11139   ...cfz 11593   ^cexp 12069   #chash 12307   expce 13799   logclog 23027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481  ax-addf 9482  ax-mulf 9483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-ixp 7389  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ioc 11455  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-mod 11897  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-shft 12902  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-limsup 13296  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-ef 13805  df-sin 13807  df-cos 13808  df-tan 13809  df-pi 13810  df-dvds 13989  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-sca 14718  df-vsca 14719  df-ip 14720  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-hom 14726  df-cco 14727  df-rest 14830  df-topn 14831  df-0g 14849  df-gsum 14850  df-topgen 14851  df-pt 14852  df-prds 14855  df-xrs 14909  df-qtop 14914  df-imas 14915  df-xps 14917  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-mulg 16177  df-cntz 16472  df-cmn 16917  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-fbas 18529  df-fg 18530  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cld 19605  df-ntr 19606  df-cls 19607  df-nei 19685  df-lp 19723  df-perf 19724  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-haus 19902  df-cmp 19973  df-tx 20148  df-hmeo 20341  df-fil 20432  df-fm 20524  df-flim 20525  df-flf 20526  df-xms 20908  df-ms 20909  df-tms 20910  df-cncf 21467  df-limc 22355  df-dv 22356  df-ulm 22857  df-log 23029  df-atan 23314
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator