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Theorem binomrisefac 14172
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 9951 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
213adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u ( A  +  B )  =  ( -u A  +  -u B ) )
32oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N ) )
4 negcl 9895 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 negcl 9895 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
6 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
7 binomfallfac 14171 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1334 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u A  +  -u B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
93, 8eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) )
109oveq2d 6324 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
11 fzfid 12224 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
12 neg1cn 10735 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
13 expcl 12328 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
1412, 13mpan 684 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
15143ad2ant3 1053 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
16 simp3 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
17 elfzelz 11826 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 12545 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10951 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
21 simpl1 1033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2221negcld 9992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
2316nn0zd 11061 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
24 zsubcl 11003 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2523, 17, 24syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11829 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  <_  N
)
28 simpl3 1035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0red 10950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
30 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0red 10950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
3329, 32subge0d 10224 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  k
)  <->  k  <_  N
) )
3427, 33mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  ( N  -  k )
)
35 elnn0z 10974 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3625, 34, 35sylanbrc 677 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
37 fallfaccl 14146 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k )
)  e.  CC )
3822, 36, 37syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
39 simp2 1031 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
4039negcld 9992 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u B  e.  CC )
41 fallfaccl 14146 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u B FallFac  k
)  e.  CC )
4240, 30, 41syl2an 485 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u B FallFac  k )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) )  e.  CC )
4420, 43mulcld 9681 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )  e.  CC )
4511, 15, 44fsummulc2 13922 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
4610, 45eqtrd 2505 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
47 addcl 9639 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
48 risefallfac 14154 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
4947, 48stoic3 1668 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
50 risefallfac 14154 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) ) )
5121, 36, 50syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) ) )
52 simpl2 1034 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  CC )
53 risefallfac 14154 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B RiseFac  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5452, 31, 53syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B RiseFac  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5551, 54oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) )  x.  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
56 expcl 12328 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  e.  CC )
5712, 36, 56sylancr 676 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
58 expcl 12328 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
5912, 30, 58sylancr 676 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6059adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6157, 38, 60, 42mul4d 9863 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
6212a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
6362, 31, 36expaddd 12456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
6416nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6530nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
66 npcan 9904 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6764, 65, 66syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6867oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
6963, 68eqtr3d 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7069oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7155, 61, 703eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7271oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7315adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
7420, 73, 43mul12d 9860 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7572, 74eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7675sumeq2dv 13846 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
7746, 49, 763eqtr4d 2515 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    <_ cle 9694    - cmin 9880   -ucneg 9881   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810   ^cexp 12310    _C cbc 12525   sum_csu 13829   FallFac cfallfac 14134   RiseFac crisefac 14135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-risefac 14136  df-fallfac 14137
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