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Theorem binomrisefac 25309
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 9314 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
213adant3 977 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u ( A  +  B )  =  ( -u A  +  -u B ) )
32oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N ) )
4 negcl 9262 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 negcl 9262 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
6 id 20 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
7 binomfallfac 25308 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u A  +  -u B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
93, 8eqtrd 2436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) )
109oveq2d 6056 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
11 fzfid 11267 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
12 neg1cn 10023 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
13 expcl 11354 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
1412, 13mpan 652 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
15143ad2ant3 980 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
16 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
17 elfzelz 11015 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 11568 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10232 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
21 simpl1 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2221negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
2316nn0zd 10329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
24 zsubcl 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2523, 17, 24syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  <_  N
)
28 simpl3 962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0red 10231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
30 elfznn0 11039 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0red 10231 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
3329, 32subge0d 9572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  k
)  <->  k  <_  N
) )
3427, 33mpbird 224 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  ( N  -  k )
)
35 elnn0z 10250 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3625, 34, 35sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
37 fallfaccl 25284 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k )
)  e.  CC )
3822, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
39 simp2 958 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
4039negcld 9354 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u B  e.  CC )
41 fallfaccl 25284 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u B FallFac  k
)  e.  CC )
4240, 30, 41syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u B FallFac  k )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9064 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) )  e.  CC )
4420, 43mulcld 9064 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )  e.  CC )
4511, 15, 44fsummulc2 12522 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
4610, 45eqtrd 2436 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
47 addcl 9028 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
48473adant3 977 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
49 risefallfac 25292 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
5048, 16, 49syl2anc 643 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
51 risefallfac 25292 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) ) )
5221, 36, 51syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) ) )
53 simpl2 961 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  CC )
54 risefallfac 25292 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B RiseFac  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5553, 31, 54syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B RiseFac  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5652, 55oveq12d 6058 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) )  x.  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
57 expcl 11354 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  e.  CC )
5812, 36, 57sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
59 expcl 11354 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6012, 30, 59sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6160adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6258, 38, 61, 42mul4d 9234 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
6312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
6463, 31, 36expaddd 11480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
6516nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6630nn0cnd 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
67 npcan 9270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6865, 66, 67syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6968oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7064, 69eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7170oveq1d 6055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7262, 71eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7356, 72eqtrd 2436 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7473oveq2d 6056 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7515adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
7620, 75, 43mul12d 9231 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7877sumeq2dv 12452 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
7946, 50, 783eqtr4d 2446 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   CCcc 8944   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    <_ cle 9077    - cmin 9247   -ucneg 9248   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ...cfz 10999   ^cexp 11337    _C cbc 11548   sum_csu 12434   FallFac cfallfac 25273   RiseFac crisefac 25274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-prod 25185  df-risefac 25275  df-fallfac 25276
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