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Theorem binomrisefac 27392
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 9654 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
213adant3 1001 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u ( A  +  B )  =  ( -u A  +  -u B ) )
32oveq1d 6095 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N ) )
4 negcl 9598 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 negcl 9598 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
6 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
7 binomfallfac 27391 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1253 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u A  +  -u B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
93, 8eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) )
109oveq2d 6096 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
11 fzfid 11779 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
12 neg1cn 10413 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
13 expcl 11867 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
1412, 13mpan 663 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
15143ad2ant3 1004 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
16 simp3 983 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
17 elfzelz 11440 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 12082 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10626 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
21 simpl1 984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2221negcld 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
2316nn0zd 10733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
24 zsubcl 10675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2523, 17, 24syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11442 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  <_  N
)
28 simpl3 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0red 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
30 elfznn0 11468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0red 10625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
3329, 32subge0d 9917 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  k
)  <->  k  <_  N
) )
3427, 33mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  ( N  -  k )
)
35 elnn0z 10647 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3625, 34, 35sylanbrc 657 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
37 fallfaccl 27366 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k )
)  e.  CC )
3822, 36, 37syl2anc 654 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
39 simp2 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
4039negcld 9694 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u B  e.  CC )
41 fallfaccl 27366 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u B FallFac  k
)  e.  CC )
4240, 30, 41syl2an 474 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u B FallFac  k )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9394 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) )  e.  CC )
4420, 43mulcld 9394 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )  e.  CC )
4511, 15, 44fsummulc2 13234 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
4610, 45eqtrd 2465 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
47 addcl 9352 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
48473adant3 1001 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
49 risefallfac 27374 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
5048, 16, 49syl2anc 654 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
51 risefallfac 27374 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) ) )
5221, 36, 51syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) ) )
53 simpl2 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  CC )
54 risefallfac 27374 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B RiseFac  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5553, 31, 54syl2anc 654 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B RiseFac  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5652, 55oveq12d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) )  x.  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
57 expcl 11867 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  e.  CC )
5812, 36, 57sylancr 656 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
59 expcl 11867 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6012, 30, 59sylancr 656 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6160adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6258, 38, 61, 42mul4d 9569 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
6312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
6463, 31, 36expaddd 11994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
6516nn0cnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6630nn0cnd 10626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
67 npcan 9607 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6865, 66, 67syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6968oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7064, 69eqtr3d 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7170oveq1d 6095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7262, 71eqtrd 2465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7356, 72eqtrd 2465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7473oveq2d 6096 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7515adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
7620, 75, 43mul12d 9566 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7877sumeq2dv 13164 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
7946, 50, 783eqtr4d 2475 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 958    = wceq 1362    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   CCcc 9268   0cc0 9270   1c1 9271    + caddc 9273    x. cmul 9275    <_ cle 9407    - cmin 9583   -ucneg 9584   NN0cn0 10567   ZZcz 10634   ...cfz 11424   ^cexp 11849    _C cbc 12062   sum_csu 13147   FallFac cfallfac 27354   RiseFac crisefac 27355
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-fac 12036  df-bc 12063  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-prod 27266  df-risefac 27356  df-fallfac 27357
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