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Theorem binomrisefac 29132
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 9876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
213adant3 1015 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u ( A  +  B )  =  ( -u A  +  -u B ) )
32oveq1d 6292 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N ) )
4 negcl 9820 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 negcl 9820 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
6 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
7 binomfallfac 29131 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1269 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u A  +  -u B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
93, 8eqtrd 2482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) )
109oveq2d 6293 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
11 fzfid 12057 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
12 neg1cn 10640 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
13 expcl 12158 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
15143ad2ant3 1018 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
16 simp3 997 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
17 elfzelz 11692 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 12374 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10855 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
21 simpl1 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2221negcld 9918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
2316nn0zd 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
24 zsubcl 10907 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2523, 17, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11694 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  <_  N
)
28 simpl3 1000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0red 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
30 elfznn0 11774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0red 10854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
3329, 32subge0d 10143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  k
)  <->  k  <_  N
) )
3427, 33mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  ( N  -  k )
)
35 elnn0z 10878 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3625, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
37 fallfaccl 29106 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k )
)  e.  CC )
3822, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
39 simp2 996 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
4039negcld 9918 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u B  e.  CC )
41 fallfaccl 29106 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u B FallFac  k
)  e.  CC )
4240, 30, 41syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u B FallFac  k )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9614 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) )  e.  CC )
4420, 43mulcld 9614 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )  e.  CC )
4511, 15, 44fsummulc2 13573 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
4610, 45eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
47 addcl 9572 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
48 risefallfac 29114 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
4947, 48stoic3 1594 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
50 risefallfac 29114 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) ) )
5121, 36, 50syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) ) )
52 simpl2 999 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  CC )
53 risefallfac 29114 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B RiseFac  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5452, 31, 53syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B RiseFac  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5551, 54oveq12d 6295 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) )  x.  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
56 expcl 12158 . . . . . . . 8  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  e.  CC )
5712, 36, 56sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
58 expcl 12158 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
5912, 30, 58sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6059adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6157, 38, 60, 42mul4d 9790 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
6212a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
6362, 31, 36expaddd 12286 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
6416nn0cnd 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6530nn0cnd 10855 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
66 npcan 9829 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6764, 65, 66syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6867oveq2d 6293 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
6963, 68eqtr3d 2484 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7069oveq1d 6292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7155, 61, 703eqtrd 2486 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7271oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7315adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
7420, 73, 43mul12d 9787 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7572, 74eqtrd 2482 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7675sumeq2dv 13499 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
7746, 49, 763eqtr4d 2492 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11676   ^cexp 12140    _C cbc 12354   sum_csu 13482   FallFac cfallfac 29094   RiseFac crisefac 29095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-fal 1387  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-fac 12328  df-bc 12355  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-clim 13285  df-sum 13483  df-prod 29006  df-risefac 29096  df-fallfac 29097
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