Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomrisefac Structured version   Unicode version

Theorem binomrisefac 27548
Description: A version of the binomial theorem using rising factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 16-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomrisefac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomrisefac
StepHypRef Expression
1 negdi 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
-u ( A  +  B )  =  (
-u A  +  -u B ) )
213adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u ( A  +  B )  =  ( -u A  +  -u B ) )
32oveq1d 6109 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N ) )
4 negcl 9613 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  e.  CC )
5 negcl 9613 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  -u B  e.  CC )
6 id 22 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e. 
NN0 )
7 binomfallfac 27547 . . . . . 6  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  -u B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( -u A  +  -u B ) FallFac  N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
84, 5, 6, 7syl3an 1260 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u A  +  -u B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
93, 8eqtrd 2475 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) )
109oveq2d 6110 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
11 fzfid 11798 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
0 ... N )  e. 
Fin )
12 neg1cn 10428 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
13 expcl 11886 . . . . . 6  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
1412, 13mpan 670 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( -u
1 ^ N )  e.  CC )
15143ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
16 simp3 990 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
17 elfzelz 11456 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
18 bccl 12101 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
1916, 17, 18syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN0 )
2019nn0cnd 10641 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
21 simpl1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  CC )
2221negcld 9709 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u A  e.  CC )
2316nn0zd 10748 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  ZZ )
24 zsubcl 10690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  -  k
)  e.  ZZ )
2523, 17, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  ZZ )
26 elfzle2 11458 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  <_  N )
2726adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  <_  N
)
28 simpl3 993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  NN0 )
2928nn0red 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
30 elfznn0 11484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3231nn0red 10640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  k  e.  RR )
3329, 32subge0d 9932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( 0  <_ 
( N  -  k
)  <->  k  <_  N
) )
3427, 33mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  0  <_  ( N  -  k )
)
35 elnn0z 10662 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  -  k )  e.  NN0  <->  ( ( N  -  k )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( N  -  k
) ) )
3625, 34, 35sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
37 fallfaccl 27522 . . . . . . 7  |-  ( (
-u A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k )
)  e.  CC )
3822, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
39 simp2 989 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
4039negcld 9709 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  -u B  e.  CC )
41 fallfaccl 27522 . . . . . . 7  |-  ( (
-u B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u B FallFac  k
)  e.  CC )
4240, 30, 41syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u B FallFac  k )  e.  CC )
4338, 42mulcld 9409 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) )  e.  CC )
4420, 43mulcld 9409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )  e.  CC )
4511, 15, 44fsummulc2 13254 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
4610, 45eqtrd 2475 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( -u 1 ^ N
)  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
47 addcl 9367 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
48473adant3 1008 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
49 risefallfac 27530 . . 3  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
5048, 16, 49syl2anc 661 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  ( -u ( A  +  B
) FallFac  N ) ) )
51 risefallfac 27530 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) ) )
5221, 36, 51syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  =  ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) ) )
53 simpl2 992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  CC )
54 risefallfac 27530 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B RiseFac  k )  =  ( ( -u
1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5553, 31, 54syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B RiseFac  k
)  =  ( (
-u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) )
5652, 55oveq12d 6112 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k ) ) )  x.  (
( -u 1 ^ k
)  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
57 expcl 11886 . . . . . . . . 9  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k
) )  e.  CC )
5812, 36, 57sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
59 expcl 11886 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6012, 30, 59sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6160adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ k )  e.  CC )
6258, 38, 61, 42mul4d 9584 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k
) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
6312a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  -u 1  e.  CC )
6463, 31, 36expaddd 12013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) ) )
6516nn0cnd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  CC )
6630nn0cnd 10641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
67 npcan 9622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6865, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  k )  +  k )  =  N )
6968oveq2d 6110 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ ( ( N  -  k )  +  k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7064, 69eqtr3d 2477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( N  -  k ) )  x.  ( -u 1 ^ k ) )  =  ( -u 1 ^ N ) )
7170oveq1d 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u
1 ^ k ) )  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7262, 71eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( (
-u 1 ^ ( N  -  k )
)  x.  ( -u A FallFac  ( N  -  k
) ) )  x.  ( ( -u 1 ^ k )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7356, 72eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( A RiseFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B RiseFac  k ) )  =  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )
7473oveq2d 6110 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7515adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( -u 1 ^ N )  e.  CC )
7620, 75, 43mul12d 9581 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ N )  x.  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( -u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k ) ) ) ) )
7877sumeq2dv 13183 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B RiseFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( -u 1 ^ N )  x.  (
( N  _C  k
)  x.  ( (
-u A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( -u B FallFac  k
) ) ) ) )
7946, 50, 783eqtr4d 2485 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) RiseFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A RiseFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B RiseFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4295  (class class class)co 6094   CCcc 9283   0cc0 9285   1c1 9286    + caddc 9288    x. cmul 9290    <_ cle 9422    - cmin 9598   -ucneg 9599   NN0cn0 10582   ZZcz 10649   ...cfz 11440   ^cexp 11868    _C cbc 12081   sum_csu 13166   FallFac cfallfac 27510   RiseFac crisefac 27511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-oadd 6927  df-er 7104  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-n0 10583  df-z 10650  df-uz 10865  df-rp 10995  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-seq 11810  df-exp 11869  df-fac 12055  df-bc 12082  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-sum 13167  df-prod 27422  df-risefac 27512  df-fallfac 27513
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator