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Theorem binomlem 13964
Description: Lemma for binom 13965 (binomial theorem). Inductive step. (Contributed by NM, 6-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
binomlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomlem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomlem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomlem  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N    ph, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomlem
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomlem.4 . . . . . 6  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
21adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
32oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  A ) )
4 fzfid 12224 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
5 binomlem.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6 fzelp1 11874 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
7 binomlem.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
8 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9 bccl 12545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
107, 8, 9syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
1110nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
126, 11sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
13 fznn0sub 11857 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
14 expcl 12328 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ ( N  -  k )
)  e.  CC )
155, 13, 14syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  e.  CC )
16 binomlem.2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
17 elfznn0 11913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
18 expcl 12328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  CC )
1916, 17, 18syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
206, 19sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
2115, 20mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
2212, 21mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
234, 5, 22fsummulc1 13923 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A ) )
245adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2512, 21, 24mulassd 9684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
267nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
2726adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
28 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
29 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
3130zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3227, 28, 31addsubd 10026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
3332oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) ) )
34 expp1 12317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  -  k
)  +  1 ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A ) )
355, 13, 34syl2an 485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3633, 35eqtrd 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  =  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
) )
3736oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  A )  x.  ( B ^ k
) ) )
3815, 24, 20mul32d 9861 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  A
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
3937, 38eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  x.  A ) )
4039oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) )  x.  A
) ) )
4125, 40eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
4241sumeq2dv 13846 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
43 fzssp1 11867 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
4443a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
45 fznn0sub 11857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
46 expcl 12328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
475, 45, 46syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
4847, 19mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
4911, 48mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
506, 49sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
517adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
52 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5352, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ZZ )
5453adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
55 eldifn 3545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( 0 ... N
) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )
5655adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  -.  k  e.  ( 0 ... N
) )
57 bcval3 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ  /\  -.  k  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
5851, 54, 56, 57syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( N  _C  k )  =  0 )
5958oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )
6048mul02d 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
6152, 60sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( 0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  =  0 )
6259, 61eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
0 ... N ) ) )  ->  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  0 )
63 fzssuz 11865 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  0 )
6463a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  C_  ( ZZ>= ` 
0 ) )
6544, 50, 62, 64sumss 13867 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
6623, 42, 653eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
6766adantr 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  A )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
683, 67eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
691oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  x.  B ) )
704, 16, 22fsummulc1 13923 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B ) )
71 1zzd 10992 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
72 0z 10972 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
7372a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
747nn0zd 11061 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7516adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
7622, 75mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  e.  CC )
77 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  (
j  -  1 ) ) )
78 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  ( j  -  1 ) ) )
7978oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( A ^ ( N  -  k ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) ) )
80 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  ( B ^ k )  =  ( B ^ (
j  -  1 ) ) )
8179, 80oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )
8277, 81oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( N  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) ) )
8382oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( j  - 
1 )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
8471, 73, 74, 76, 83fsumshft 13918 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
85 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  (
j  -  1 )  =  ( k  - 
1 ) )
8685oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  ( N  _C  ( j  - 
1 ) )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
8785oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  k  ->  ( N  -  ( j  -  1 ) )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
8887oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  =  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
8985oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ ( j  - 
1 ) )  =  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )
9088, 89oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
9186, 90oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  (
( N  _C  (
j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( j  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
9291oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( j  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
9392cbvsumv 13839 . . . . . . 7  |-  sum_ j  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( j  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( j  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ (
j  -  1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )
9484, 93syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B ) )
9526adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
96 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
9796adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
9897zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
99 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
10095, 98, 99subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
101100oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  =  ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) ) )
102101oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )
103102oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B ^
( k  -  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) ) )
104103oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) ) )  x.  B ) )
105 fzp1ss 11873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) 
C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
10672, 105ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) )
107106sseli 3414 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
1087adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
1098adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
110 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
112 bccl 12545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
113108, 111, 112syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
114113nn0cnd 10951 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
115107, 114sylan2 482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
116107, 47sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
11716adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
118 elfznn 11854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
119 0p1e1 10743 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0  +  1 )  =  1
120119oveq1i 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
121118, 120eleq2s 2567 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN )
122121adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
123 nnm1nn0 10935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  NN0 )
125117, 124expcld 12454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
126116, 125mulcld 9681 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  e.  CC )
127115, 126, 117mulassd 9684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ (
k  -  1 ) ) )  x.  B
) ) )
128116, 125, 117mulassd 9684 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  (
( B ^ (
k  -  1 ) )  x.  B ) ) )
129 expm1t 12338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN )  ->  ( B ^ k
)  =  ( ( B ^ ( k  -  1 ) )  x.  B ) )
13016, 121, 129syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  =  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) )
131130oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( ( B ^
( k  -  1 ) )  x.  B
) ) )
132128, 131eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B )  =  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )
133132oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( ( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
134104, 127, 1333eqtrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
135134sumeq2dv 13846 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( N  -  (
k  -  1 ) ) )  x.  ( B ^ ( k  - 
1 ) ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
136106a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
137114, 48mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
138107, 137sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  e.  CC )
1397adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  NN0 )
140 eldifi 3544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
141140adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
142141, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
143142, 110syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
144 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( ( 0 ... ( N  + 
1 ) )  \ 
( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
145144adantl 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  k  e.  ( (
0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) )
14672a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
147139nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  N  e.  ZZ )
148 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
149 fzaddel 11859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ ) )  -> 
( ( k  - 
1 )  e.  ( 0 ... N )  <-> 
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) ) ) )
150146, 147, 143, 148, 149syl22anc 1293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  ( (
k  -  1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
151142zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  k  e.  CC )
152 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
153 npcan 9904 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( k  - 
1 )  +  1 )  =  k )
154151, 152, 153sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
155154eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( ( k  - 
1 )  +  1 )  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  + 
1 ) )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
156150, 155bitrd 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N )  <->  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )
157145, 156mtbird 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
158 bcval3 12529 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  -.  ( k  -  1 )  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  =  0 )
159139, 143, 157, 158syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  0 )
160159oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
161140, 60sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
0  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0 ... ( N  +  1 ) )  \  (
( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
163136, 138, 162, 64sumss 13867 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16494, 135, 1633eqtrd 2509 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( N  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16570, 164eqtrd 2505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A ^ ( N  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) )  x.  B )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16669, 165sylan9eqr 2527 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
16768, 166oveq12d 6326 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  B ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
1685, 16addcld 9680 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
169168, 7expp1d 12455 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ N )  x.  ( A  +  B ) ) )
170168, 7expcld 12454 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ N
)  e.  CC )
171170, 5, 16adddid 9685 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
172169, 171eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
173172adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ N
)  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ N )  x.  B ) ) )
174 bcpasc 12544 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
1757, 8, 174syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
176175oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
17711, 114, 48adddird 9686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
178176, 177eqtr3d 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
179178sumeq2dv 13846 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
180 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
181180, 49, 137fsumadd 13882 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
182179, 181eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
183182adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A ^ (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
184167, 173, 1833eqtr4d 2515 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) ^ ( N  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A ^
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    \ cdif 3387    C_ wss 3390   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810   ^cexp 12310    _C cbc 12525   sum_csu 13829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830
This theorem is referenced by:  binom  13965
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