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Theorem binomfallfaclem2 14170
Description: Lemma for binomfallfac 14171. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomfallfaclem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomfallfaclem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomfallfaclem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, N    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3 bccl 12545 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
54nn0cnd 10951 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
6 binomfallfaclem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 fznn0sub 11857 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
8 fallfaccl 14146 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  e.  CC )
10 binomfallfaclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 elfznn0 11913 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
12 fallfaccl 14146 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  k )  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
149, 13mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
156, 10addcld 9680 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
161nn0cnd 10951 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
1715, 16subcld 10005 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  CC )
1817adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  e.  CC )
195, 14, 18mulassd 9684 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) ) )
207nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  CC )
21 subcl 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  CC )  ->  ( A  -  ( N  -  k
) )  e.  CC )
226, 20, 21syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  e.  CC )
2311nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
24 subcl 9894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( B  -  k
)  e.  CC )
2510, 23, 24syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B  -  k )  e.  CC )
2614, 22, 25adddid 9685 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) ) )
276adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2816adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
2927, 28subcld 10005 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  N )  e.  CC )
3023adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3110adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
3229, 30, 31ppncand 10045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3327, 28, 30subsubd 10033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  k ) )
3433oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k
) ) )
3527, 31, 28addsubd 10026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3632, 34, 353eqtr4d 2515 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  +  B )  -  N ) )
3736oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
389, 13, 22mul32d 9861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
39 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
4028, 39, 30addsubd 10026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
4140oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
42 fallfacp1 14160 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) ) )
436, 7, 42syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4441, 43eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4544oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
4638, 45eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
479, 13, 25mulassd 9684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
48 fallfacp1 14160 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) )
4910, 11, 48syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac  k )  x.  ( B  -  k
) ) )
5049oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
5147, 50eqtr4d 2508 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )
5246, 51oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) )  =  ( ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5326, 37, 523eqtr3d 2513 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5453oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
551nn0zd 11061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
56 uzid 11197 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
57 peano2uz 11235 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
58 fzss2 11864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5955, 56, 57, 584syl 19 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
6059sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
61 fznn0sub 11857 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
62 fallfaccl 14146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
636, 61, 62syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6460, 63syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6564, 13mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
66 peano2nn0 10934 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6711, 66syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
68 fallfaccl 14146 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
6910, 67, 68syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
709, 69mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  e.  CC )
715, 65, 70adddid 9685 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7219, 54, 713eqtrd 2509 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
7372sumeq2dv 13846 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7515, 1fallfacp1d 14162 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
76 binomfallfaclem.4 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
7776oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
7875, 77sylan9eq 2525 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
79 fzfid 12224 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
805, 14mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
8179, 17, 80fsummulc1 13923 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8281adantr 472 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8378, 82eqtrd 2505 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
84 elfzelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
85 bcpasc 12544 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
861, 84, 85syl2an 485 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
8786oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
881, 84, 3syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
8988nn0cnd 10951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
90 peano2zm 11004 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
9184, 90syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
92 bccl 12545 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
931, 91, 92syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
9493nn0cnd 10951 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
95 elfznn0 11913 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
9610, 95, 12syl2an 485 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
9763, 96mulcld 9681 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
9889, 94, 97adddird 9686 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
9987, 98eqtr3d 2507 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
10099sumeq2dv 13846 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
101 nn0uz 11217 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1021, 101syl6eleq 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10389, 97mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
104 oveq2 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
105 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
106105oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) ) )
107 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  ( N  + 
1 ) ) )
108106, 107oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )
109104, 108oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
110102, 103, 109fsump1 13894 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
111 peano2nn0 10934 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
113112nn0zd 11061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
1141nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
115114ltp1d 10559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
116115olcd 400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
117 bcval4 12530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
1181, 113, 116, 117syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
119118oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
120112nn0cnd 10951 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
121120subidd 9993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
122121oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( A FallFac  0
) )
123 0nn0 10908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
124 fallfaccl 14146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  0 )  e.  CC )
1256, 123, 124sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  0 )  e.  CC )
126122, 125eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
127 fallfaccl 14146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
12810, 112, 127syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
129126, 128mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( B FallFac 
( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
130129mul02d 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
131119, 130eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
132131oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  0 ) )
13360, 103syldan 478 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
13479, 133fsumcl 13876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  e.  CC )
135134addid1d 9851 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
136110, 132, 1353eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
137112, 101syl6eleq 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13894, 97mulcld 9681 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
139 oveq1 6315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
140 df-neg 9883 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
141139, 140syl6eqr 2523 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
142141oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  ( N  _C  -u 1
) )
143 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )
144143oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) ) )
145 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
146144, 145oveq12d 6326 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
147142, 146oveq12d 6326 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  -u 1
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
148137, 138, 147fsum1p 13891 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
149 neg1z 10997 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  ZZ
150 neg1lt0 10738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <  0
151150orci 397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  <  0  \/  N  <  -u 1 )
152 bcval4 12530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -u 1  e.  ZZ  /\  ( -u 1  <  0  \/  N  <  -u 1
) )  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
153149, 151, 152mp3an23 1382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
1541, 153syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  -u 1
)  =  0 )
155154oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) ) )
156120subid1d 9994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  =  ( N  +  1 ) )
157156oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  =  ( A FallFac  ( N  +  1 ) ) )
158 fallfaccl 14146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
1596, 112, 158syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
160157, 159eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  e.  CC )
161 fallfaccl 14146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  0 )  e.  CC )
16210, 123, 161sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  0 )  e.  CC )
163160, 162mulcld 9681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) )  e.  CC )
164163mul02d 9849 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
165155, 164eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
166 1zzd 10992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
167 0zd 10973 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1686, 10, 1binomfallfaclem1 14169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
169 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
170 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
171170oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  j
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
172 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
173172oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( B FallFac  ( j  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
174171, 173oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )
175169, 174oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
176166, 167, 55, 168, 175fsumshft 13918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
17716adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
178 elfzelz 11826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
179178adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
180179zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
181 1cnd 9677 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
182177, 180, 181subsub3d 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
183182oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  (
k  -  1 ) ) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) ) )
184180, 181npcand 10009 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
185184oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( B FallFac  k ) )
186183, 185oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
187186oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
188187sumeq2dv 13846 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
189176, 188eqtr2d 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) ) )
190 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  j
) )
191 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  j ) )
192191oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  j ) ) )
193 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
194193oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) )
195192, 194oveq12d 6326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
196190, 195oveq12d 6326 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) ) )
197196cbvsumv 13839 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
198189, 197syl6eqr 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
199165, 198oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( 0  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
2006, 10, 1binomfallfaclem1 14169 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
20179, 200fsumcl 13876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
202201addid2d 9852 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
203148, 199, 2023eqtrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
204136, 203oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
205 fzfid 12224 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
206205, 103, 138fsumadd 13882 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
20779, 133, 200fsumadd 13882 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
208204, 206, 2073eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
209100, 208eqtrd 2505 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
210209adantr 472 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
21174, 83, 2103eqtr4d 2515 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    - cmin 9880   -ucneg 9881   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810    _C cbc 12525   sum_csu 13829   FallFac cfallfac 14134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-prod 14037  df-fallfac 14137
This theorem is referenced by:  binomfallfac  14171
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