Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomfallfaclem2 Structured version   Unicode version

Theorem binomfallfaclem2 27389
Description: Lemma for binomfallfac 27390. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomfallfaclem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomfallfaclem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomfallfaclem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, N    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 elfzelz 11439 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3 bccl 12081 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
54nn0cnd 10625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
6 binomfallfaclem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 fznn0sub 11473 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
8 fallfaccl 27365 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  e.  CC )
10 binomfallfaclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 elfznn0 11467 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
12 fallfaccl 27365 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  k )  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
149, 13mulcld 9393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
156, 10addcld 9392 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
161nn0cnd 10625 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
1715, 16subcld 9706 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  CC )
1817adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  e.  CC )
195, 14, 18mulassd 9396 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) ) )
207nn0cnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  CC )
21 subcl 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  CC )  ->  ( A  -  ( N  -  k
) )  e.  CC )
226, 20, 21syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  e.  CC )
2311nn0cnd 10625 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
24 subcl 9596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( B  -  k
)  e.  CC )
2510, 23, 24syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B  -  k )  e.  CC )
2614, 22, 25adddid 9397 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) ) )
276adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2816adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
2927, 28subcld 9706 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  N )  e.  CC )
3023adantl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3110adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
3229, 30, 31ppncand 9746 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3327, 28, 30subsubd 9734 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  k ) )
3433oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k
) ) )
3527, 31, 28addsubd 9727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3632, 34, 353eqtr4d 2475 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  +  B )  -  N ) )
3736oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
389, 13, 22mul32d 9566 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
39 ax-1cn 9327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
4128, 40, 30addsubd 9727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
4241oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
43 fallfacp1 27379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) ) )
446, 7, 43syl2an 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4542, 44eqtrd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4645oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
4738, 46eqtr4d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
489, 13, 25mulassd 9396 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
49 fallfacp1 27379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) )
5010, 11, 49syl2an 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac  k )  x.  ( B  -  k
) ) )
5150oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
5248, 51eqtr4d 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )
5347, 52oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) )  =  ( ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5426, 37, 533eqtr3d 2473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5554oveq2d 6096 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
561nn0zd 10732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
58 peano2uz 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
59 fzss2 11484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
6056, 57, 58, 594syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
6160sselda 3344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
62 fznn0sub 11473 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
63 fallfaccl 27365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
646, 62, 63syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6561, 64syldan 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6665, 13mulcld 9393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
67 peano2nn0 10607 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6811, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
69 fallfaccl 27365 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7010, 68, 69syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
719, 70mulcld 9393 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  e.  CC )
725, 66, 71adddid 9397 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7319, 55, 723eqtrd 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473sumeq2dv 13163 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574adantr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7615, 1fallfacp1d 27381 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
77 binomfallfaclem.4 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
7877oveq1d 6095 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
7976, 78sylan9eq 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
80 fzfid 11778 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
815, 14mulcld 9393 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
8280, 17, 81fsummulc1 13234 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8382adantr 462 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8479, 83eqtrd 2465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
85 elfzelz 11439 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
86 bcpasc 12080 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
871, 85, 86syl2an 474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
8887oveq1d 6095 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
891, 85, 3syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
9089nn0cnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
91 peano2zm 10675 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
9285, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
93 bccl 12081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
941, 92, 93syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
9594nn0cnd 10625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
96 elfznn0 11467 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
9710, 96, 12syl2an 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
9864, 97mulcld 9393 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
9990, 95, 98adddird 9398 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
10088, 99eqtr3d 2467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
101100sumeq2dv 13163 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
102 nn0uz 10882 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1031, 102syl6eleq 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10490, 98mulcld 9393 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
105 oveq2 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
106 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
107106oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) ) )
108 oveq2 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  ( N  + 
1 ) ) )
109107, 108oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )
110105, 109oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111103, 104, 110fsump1 13206 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
112 peano2nn0 10607 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1131, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
114113nn0zd 10732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
1151nn0red 10624 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
116115ltp1d 10250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
117116olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
118 bcval4 12066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
1191, 114, 117, 118syl3anc 1211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
120119oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
121113nn0cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
122121subidd 9694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
123122oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( A FallFac  0
) )
124 0nn0 10581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
125 fallfaccl 27365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  0 )  e.  CC )
1266, 124, 125sylancl 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  0 )  e.  CC )
127123, 126eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
128 fallfaccl 27365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
12910, 113, 128syl2anc 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
130127, 129mulcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( B FallFac 
( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
131130mul02d 9554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
132120, 131eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
133132oveq2d 6096 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  0 ) )
13461, 104syldan 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
13580, 134fsumcl 13193 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  e.  CC )
136135addid1d 9556 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
137111, 133, 1363eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
138113, 102syl6eleq 2523 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13995, 98mulcld 9393 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
140 oveq1 6087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
141 df-neg 9585 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
142140, 141syl6eqr 2483 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
143142oveq2d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  ( N  _C  -u 1
) )
144 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )
145144oveq2d 6096 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) ) )
146 oveq2 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
147145, 146oveq12d 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
148143, 147oveq12d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  -u 1
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
149138, 139, 148fsum1p 13205 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
150 neg1z 10668 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  ZZ
151 neg1lt0 10415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <  0
152151orci 390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  <  0  \/  N  <  -u 1 )
153 bcval4 12066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -u 1  e.  ZZ  /\  ( -u 1  <  0  \/  N  <  -u 1
) )  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
154150, 152, 153mp3an23 1299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
1551, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  -u 1
)  =  0 )
156155oveq1d 6095 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) ) )
157121subid1d 9695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  =  ( N  +  1 ) )
158157oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  =  ( A FallFac  ( N  +  1 ) ) )
159 fallfaccl 27365 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
1606, 113, 159syl2anc 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
161158, 160eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  e.  CC )
162 fallfaccl 27365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  0 )  e.  CC )
16310, 124, 162sylancl 655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  0 )  e.  CC )
164161, 163mulcld 9393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) )  e.  CC )
165164mul02d 9554 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
166156, 165eqtrd 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
167 1z 10663 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
169 0zd 10645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1706, 10, 1binomfallfaclem1 27388 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
171 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
172 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
173172oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  j
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
174 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
175174oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( B FallFac  ( j  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
176173, 175oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )
177171, 176oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
178168, 169, 56, 170, 177fsumshft 13229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
17916adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
180 elfzelz 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
181180adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
182181zcnd 10735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
18339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
184179, 182, 183subsub3d 9736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
185184oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  (
k  -  1 ) ) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) ) )
186182, 183npcand 9710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
187186oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( B FallFac  k ) )
188185, 187oveq12d 6098 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
189188oveq2d 6096 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
190189sumeq2dv 13163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
191178, 190eqtr2d 2466 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) ) )
192 oveq2 6088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  j
) )
193 oveq2 6088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  j ) )
194193oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  j ) ) )
195 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
196195oveq2d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) )
197194, 196oveq12d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
198192, 197oveq12d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) ) )
199198cbvsumv 13156 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
200191, 199syl6eqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
201166, 200oveq12d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( 0  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
2026, 10, 1binomfallfaclem1 27388 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
20380, 202fsumcl 13193 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
204203addid2d 9557 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
205149, 201, 2043eqtrd 2469 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
206137, 205oveq12d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
207 fzfid 11778 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
208207, 104, 139fsumadd 13198 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
20980, 134, 202fsumadd 13198 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
210206, 208, 2093eqtr4d 2475 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
211101, 210eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
212211adantr 462 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
21375, 84, 2123eqtr4d 2475 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    C_ wss 3316   class class class wbr 4280   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   0cc0 9269   1c1 9270    + caddc 9272    x. cmul 9274    < clt 9405    - cmin 9582   -ucneg 9583   NN0cn0 10566   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848   ...cfz 11423    _C cbc 12061   sum_csu 13146   FallFac cfallfac 27353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-n0 10567  df-z 10634  df-uz 10849  df-rp 10979  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-fac 12035  df-bc 12062  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-clim 12949  df-sum 13147  df-prod 27265  df-fallfac 27356
This theorem is referenced by:  binomfallfac  27390
  Copyright terms: Public domain W3C validator