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Theorem binomfallfaclem2 29089
Description: Lemma for binomfallfac 29090. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
binomfallfaclem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
binomfallfaclem.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
binomfallfaclem.4  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    k, N    A, k    B, k
Allowed substitution hint:    ps( k)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
2 elfzelz 11700 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
3 bccl 12380 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  k
)  e.  NN0 )
41, 2, 3syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
54nn0cnd 10866 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
6 binomfallfaclem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
7 fznn0sub 11728 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  NN0 )
8 fallfaccl 29065 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k ) )  e.  CC )
96, 7, 8syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  e.  CC )
10 binomfallfaclem.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 elfznn0 11782 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
12 fallfaccl 29065 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  k )  e.  CC )
1310, 11, 12syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
149, 13mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
156, 10addcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
161nn0cnd 10866 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
1715, 16subcld 9942 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  CC )
1817adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  e.  CC )
195, 14, 18mulassd 9631 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) ) )
207nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  k )  e.  CC )
21 subcl 9831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  CC )  ->  ( A  -  ( N  -  k
) )  e.  CC )
226, 20, 21syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  e.  CC )
2311nn0cnd 10866 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  CC )
24 subcl 9831 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  CC )  ->  ( B  -  k
)  e.  CC )
2510, 23, 24syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B  -  k )  e.  CC )
2614, 22, 25adddid 9632 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) ) )
276adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  A  e.  CC )
2816adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  N  e.  CC )
2927, 28subcld 9942 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  N )  e.  CC )
3023adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  CC )
3110adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  B  e.  CC )
3229, 30, 31ppncand 9982 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3327, 28, 30subsubd 9970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A  -  ( N  -  k ) )  =  ( ( A  -  N )  +  k ) )
3433oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( ( A  -  N )  +  k )  +  ( B  -  k
) ) )
3527, 31, 28addsubd 9963 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( A  -  N )  +  B ) )
3632, 34, 353eqtr4d 2518 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A  -  ( N  -  k )
)  +  ( B  -  k ) )  =  ( ( A  +  B )  -  N ) )
3736oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  -  ( N  -  k
) )  +  ( B  -  k ) ) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
389, 13, 22mul32d 9801 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
39 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  1  e.  CC )
4128, 40, 30addsubd 9963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  -  k )  +  1 ) )
4241oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) ) )
43 fallfacp1 29079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) ) )
446, 7, 43syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  -  k )  +  1 ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4542, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k
) ) ) )
4645oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( A  -  ( N  -  k ) ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
4738, 46eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
489, 13, 25mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
49 fallfacp1 29079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) )
5010, 11, 49syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( ( B FallFac  k )  x.  ( B  -  k
) ) )
5150oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( ( B FallFac 
k )  x.  ( B  -  k )
) ) )
5248, 51eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )
5347, 52oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( ( A FallFac 
( N  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  x.  ( A  -  ( N  -  k )
) )  +  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( B  -  k
) ) )  =  ( ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5426, 37, 533eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )
5554oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  x.  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
561nn0zd 10976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
57 uzid 11108 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
58 peano2uz 11146 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N )
)
59 fzss2 11735 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0 ... N )  C_  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
6056, 57, 58, 594syl 21 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  C_  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) )
6160sselda 3509 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
62 fznn0sub 11728 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  e.  NN0 )
63 fallfaccl 29065 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( ( N  + 
1 )  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  e.  CC )
646, 62, 63syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6561, 64syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  e.  CC )
6665, 13mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
67 peano2nn0 10848 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
6811, 67syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
k  +  1 )  e.  NN0 )
69 fallfaccl 29065 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( k  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
7010, 68, 69syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  e.  CC )
719, 70mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  e.  CC )
725, 66, 71adddid 9632 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  +  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7319, 55, 723eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473sumeq2dv 13505 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7615, 1fallfacp1d 29081 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
77 binomfallfaclem.4 . . . . 5  |-  ( ps 
->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
7877oveq1d 6310 . . . 4  |-  ( ps 
->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  N
)  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
7976, 78sylan9eq 2528 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
80 fzfid 12063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0 ... N
)  e.  Fin )
815, 14mulcld 9628 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
8280, 17, 81fsummulc1 13580 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8382adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N
) ) )
8479, 83eqtrd 2508 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  x.  ( ( A  +  B )  -  N ) ) )
85 elfzelz 11700 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
86 bcpasc 12379 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
871, 85, 86syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  +  ( N  _C  ( k  - 
1 ) ) )  =  ( ( N  +  1 )  _C  k ) )
8887oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
891, 85, 3syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e. 
NN0 )
9089nn0cnd 10866 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
91 peano2zm 10918 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
9285, 91syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  (
k  -  1 )  e.  ZZ )
93 bccl 12380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( N  _C  ( k  -  1 ) )  e.  NN0 )
941, 92, 93syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e. 
NN0 )
9594nn0cnd 10866 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  e.  CC )
96 elfznn0 11782 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  NN0 )
9710, 96, 12syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  k )  e.  CC )
9864, 97mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  e.  CC )
9990, 95, 98adddird 9633 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  _C  k )  +  ( N  _C  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
10088, 99eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( ( N  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
101100sumeq2dv 13505 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
102 nn0uz 11128 . . . . . . . . 9  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
1031, 102syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
10490, 98mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
105 oveq2 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  ( N  +  1 ) ) )
106 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )
107106oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) ) )
108 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  ( N  + 
1 ) ) )
109107, 108oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )
110105, 109oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( N  + 
1 )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  ( N  +  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  +  1
) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
111103, 104, 110fsump1 13551 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) ) )
112 peano2nn0 10848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1131, 112syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
114113nn0zd 10976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
1151nn0red 10865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
116115ltp1d 10488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
117116olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )
118 bcval4 12365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ  /\  ( ( N  + 
1 )  <  0  \/  N  <  ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
1191, 114, 117, 118syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  ( N  +  1 ) )  =  0 )
120119oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )
121113nn0cnd 10866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
122121subidd 9930 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  ( N  +  1 ) )  =  0 )
123122oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  =  ( A FallFac  0
) )
124 0nn0 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
125 fallfaccl 29065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( A FallFac  0 )  e.  CC )
1266, 124, 125sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  0 )  e.  CC )
127123, 126eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  e.  CC )
128 fallfaccl 29065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
12910, 113, 128syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
130127, 129mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  ( N  +  1 ) ) )  x.  ( B FallFac 
( N  +  1 ) ) )  e.  CC )
131130mul02d 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
132120, 131eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) )  =  0 )
133132oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  ( ( N  _C  ( N  +  1
) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  ( N  + 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( N  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  0 ) )
13461, 104syldan 470 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
13580, 134fsumcl 13535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  e.  CC )
136135addid1d 9791 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
137111, 133, 1363eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
138113, 102syl6eleq 2565 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
13995, 98mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  e.  CC )
140 oveq1 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  ( 0  -  1 ) )
141 df-neg 9820 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
142140, 141syl6eqr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
k  -  1 )  =  -u 1 )
143142oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  =  ( N  _C  -u 1
) )
144 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  +  1 )  -  k )  =  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )
145144oveq2d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( ( N  + 
1 )  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) ) )
146 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
147145, 146oveq12d 6313 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
148143, 147oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  -u 1
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  - 
0 ) )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
149138, 139, 148fsum1p 13548 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  =  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
150 neg1z 10911 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u 1  e.  ZZ
151 neg1lt0 10654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  -u 1  <  0
152151orci 390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( -u
1  <  0  \/  N  <  -u 1 )
153 bcval4 12365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  -u 1  e.  ZZ  /\  ( -u 1  <  0  \/  N  <  -u 1
) )  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
154150, 152, 153mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  _C  -u 1 )  =  0 )
1551, 154syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( N  _C  -u 1
)  =  0 )
156155oveq1d 6310 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) ) )
157121subid1d 9931 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( N  + 
1 )  -  0 )  =  ( N  +  1 ) )
158157oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  =  ( A FallFac  ( N  +  1 ) ) )
159 fallfaccl 29065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0 )  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
1606, 113, 159syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( N  +  1 ) )  e.  CC )
161158, 160eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  e.  CC )
162 fallfaccl 29065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  NN0 )  -> 
( B FallFac  0 )  e.  CC )
16310, 124, 162sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B FallFac  0 )  e.  CC )
164161, 163mulcld 9628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) )  e.  CC )
165164mul02d 9789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
166156, 165eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( N  _C  -u 1 )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  0 )
167 1z 10906 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
168167a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
169 0zd 10888 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
1706, 10, 1binomfallfaclem1 29088 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
171 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  _C  j )  =  ( N  _C  (
k  -  1 ) ) )
172 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( N  -  j )  =  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )
173172oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( A FallFac  ( N  -  j
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) ) )
174 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  -  1 )  +  1 ) )
175174oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  ( B FallFac  ( j  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( ( k  -  1 )  +  1 ) ) )
176173, 175oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )
177171, 176oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  ( k  - 
1 )  ->  (
( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
178168, 169, 56, 170, 177fsumshft 13575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) ) )
17916adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  N  e.  CC )
180 elfzelz 11700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) )  ->  k  e.  ZZ )
181180adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
182181zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
18339a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  1  e.  CC )
184179, 182, 183subsub3d 9972 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( N  -  ( k  -  1 ) )  =  ( ( N  +  1 )  -  k ) )
185184oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( A FallFac  ( N  -  (
k  -  1 ) ) )  =  ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) ) )
186182, 183npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( k  -  1 )  +  1 )  =  k )
187186oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  ( B FallFac  ( ( k  - 
1 )  +  1 ) )  =  ( B FallFac  k ) )
188185, 187oveq12d 6313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
189188oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  ( k  -  1 ) ) )  x.  ( B FallFac  ( (
k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
190189sumeq2dv 13505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  ( k  - 
1 ) ) )  x.  ( B FallFac  (
( k  -  1 )  +  1 ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
191178, 190eqtr2d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) ) )
192 oveq2 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  ( N  _C  k )  =  ( N  _C  j
) )
193 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  ( N  -  k )  =  ( N  -  j ) )
194193oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( A FallFac  ( N  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  j ) ) )
195 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  j  ->  (
k  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
196195oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  j  ->  ( B FallFac  ( k  +  1 ) )  =  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) )
197194, 196oveq12d 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  j  ->  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
198192, 197oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  j  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( N  _C  j
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  ( j  +  1 ) ) ) ) )
199198cbvsumv 13498 . . . . . . . . 9  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  j )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  j ) )  x.  ( B FallFac  (
j  +  1 ) ) ) )
200191, 199syl6eqr 2526 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
201166, 200oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( N  _C  -u 1 )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  0 ) )  x.  ( B FallFac 
0 ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ( 0  +  1 ) ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( 0  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
2026, 10, 1binomfallfaclem1 29088 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... N
) )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
20380, 202fsumcl 13535 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  CC )
204203addid2d 9792 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 0  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
205149, 201, 2043eqtrd 2512 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) )
206137, 205oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  + 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( N  _C  ( k  -  1 ) )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
207 fzfid 12063 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  e.  Fin )
208207, 104, 139fsumadd 13541 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  + 
1 ) ) ( ( N  _C  (
k  -  1 ) )  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
20980, 134, 202fsumadd 13541 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  +  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
210206, 208, 2093eqtr4d 2518 . . . 4  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  ( k  - 
1 ) )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( ( N  + 
1 )  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
211101, 210eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
212211adantr 465 . 2  |-  ( (
ph  /\  ps )  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  +  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
21375, 84, 2123eqtr4d 2518 1  |-  ( (
ph  /\  ps )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( N  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) ( ( ( N  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( ( N  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3481   class class class wbr 4453   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    < clt 9640    - cmin 9817   -ucneg 9818   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ZZ>=cuz 11094   ...cfz 11684    _C cbc 12360   sum_csu 13488   FallFac cfallfac 29053
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-sum 13489  df-prod 28965  df-fallfac 29056
This theorem is referenced by:  binomfallfac  29090
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