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Theorem binomfallfac 27689
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6209 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  0 ) )
2 oveq2 6209 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
3 0z 10769 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 fzsn 11618 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
62, 5syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  { 0 } )
7 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
8 oveq1 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
m  -  k )  =  ( 0  -  k ) )
98oveq2d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( 0  -  k ) ) )
109oveq1d 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
117, 10oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
1211adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
0  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
136, 12sumeq12dv 13302 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) ) )
141, 13eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  { 0 }  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
1514imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  { 0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
0  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) ) )
16 oveq2 6209 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  n ) )
17 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... n
) )
18 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
19 oveq1 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  k )  =  ( n  -  k ) )
2019oveq2d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( n  -  k ) ) )
2120oveq1d 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
2218, 21oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  n  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
2417, 23sumeq12dv 13302 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
2516, 24eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
2625imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
27 oveq2 6209 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) ) )
28 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) )
29 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
30 oveq1 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  k )  =  ( ( n  +  1 )  -  k ) )
3130oveq2d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) ) )
3231oveq1d 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
3329, 32oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
3433adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  ( n  +  1 )  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
3528, 34sumeq12dv 13302 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
3627, 35eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
3736imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  + 
1 ) ) ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
38 oveq2 6209 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  N ) )
39 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... N
) )
40 oveq1 6208 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
41 oveq1 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
m  -  k )  =  ( N  -  k ) )
4241oveq2d 6217 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  k ) ) )
4342oveq1d 6216 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
4440, 43oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
4544adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  N  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
4639, 45sumeq12dv 13302 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
4738, 46eqeq12d 2476 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
4847imbi2d 316 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
49 fallfac0 27676 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A FallFac  0 )  =  1 )
50 fallfac0 27676 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B FallFac  0 )  =  1 )
5149, 50oveqan12d 6220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
52 1t1e1 10581 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) )  =  1 )
5453oveq2d 6217 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
5554, 52syl6eq 2511 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  1 )
56 0cn 9490 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
57 ax-1cn 9452 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5855, 57syl6eqel 2550 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  e.  CC )
59 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
60 0nn0 10706 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
61 bcnn 12206 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
6359, 62syl6eq 2511 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  1 )
64 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  ( 0  -  0 ) )
65 0m0e0 10543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  0 )
6766oveq2d 6217 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( 0  -  k
) )  =  ( A FallFac  0 ) )
68 oveq2 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
6967, 68oveq12d 6219 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
7063, 69oveq12d 6219 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
7170sumsn 13336 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { 0 }  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
7256, 58, 71sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) ) ) )
73 addcl 9476 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
74 fallfac0 27676 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) FallFac  0 )  =  1 )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  1 )
7655, 72, 753eqtr4rd 2506 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) ) )
77 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
78 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
79 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
8177, 78, 79, 80binomfallfaclem2 27688 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  /\  ( ( A  +  B ) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  -> 
( ( A  +  B ) FallFac  ( n  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
8281exp31 604 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  n
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  (
n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) ) )
8382a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  n
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  + 
1 ) ) ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
8415, 26, 37, 48, 76, 83nn0ind 10850 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
8584com12 31 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
86853impia 1185 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {csn 3986  (class class class)co 6201   CCcc 9392   0cc0 9394   1c1 9395    + caddc 9397    x. cmul 9399    - cmin 9707   NN0cn0 10691   ZZcz 10758   ...cfz 11555    _C cbc 12196   sum_csu 13282   FallFac cfallfac 27652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-rp 11104  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-fac 12170  df-bc 12197  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-clim 13085  df-sum 13283  df-prod 27564  df-risefac 27654  df-fallfac 27655
This theorem is referenced by:  binomrisefac  27690
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