Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomfallfac Structured version   Unicode version

Theorem binomfallfac 29329
Description: A version of the binomial theorem using falling factorials instead of exponentials. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
binomfallfac  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
Distinct variable groups:    A, k    B, k    k, N

Proof of Theorem binomfallfac
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  0 ) )
2 oveq2 6204 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... 0
) )
3 0z 10792 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
4 fzsn 11647 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  (
0 ... 0 )  =  { 0 } )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( 0 ... 0 )  =  { 0 }
62, 5syl6eq 2439 . . . . . . 7  |-  ( m  =  0  ->  (
0 ... m )  =  { 0 } )
7 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
m  _C  k )  =  ( 0  _C  k ) )
8 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  0  ->  (
m  -  k )  =  ( 0  -  k ) )
98oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  0  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( 0  -  k ) ) )
109oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  0  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
117, 10oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  0  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
1211adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  0  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
0  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
136, 12sumeq12dv 13530 . . . . . 6  |-  ( m  =  0  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) ) )
141, 13eqeq12d 2404 . . . . 5  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  { 0 }  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) )
1514imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  0  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  { 0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
0  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) ) )
16 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  n ) )
17 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( m  =  n  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... n
) )
18 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
m  _C  k )  =  ( n  _C  k ) )
19 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  -  k )  =  ( n  -  k ) )
2019oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( n  -  k ) ) )
2120oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  n  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
2218, 21oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
2322adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  n  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
2417, 23sumeq12dv 13530 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
2516, 24eqeq12d 2404 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
2625imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
27 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) ) )
28 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) )
29 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  _C  k )  =  ( ( n  +  1 )  _C  k ) )
30 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
m  -  k )  =  ( ( n  +  1 )  -  k ) )
3130oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) ) )
3231oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
3329, 32oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
3433adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  ( n  +  1 )  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
3528, 34sumeq12dv 13530 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
3627, 35eqeq12d 2404 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
3736imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  + 
1 ) ) ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
38 oveq2 6204 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  ( ( A  +  B
) FallFac  N ) )
39 oveq2 6204 . . . . . . 7  |-  ( m  =  N  ->  (
0 ... m )  =  ( 0 ... N
) )
40 oveq1 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
m  _C  k )  =  ( N  _C  k ) )
41 oveq1 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  N  ->  (
m  -  k )  =  ( N  -  k ) )
4241oveq2d 6212 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  N  ->  ( A FallFac  ( m  -  k
) )  =  ( A FallFac  ( N  -  k ) ) )
4342oveq1d 6211 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  N  ->  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )
4440, 43oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  N  ->  (
( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
4544adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( m  =  N  /\  k  e.  ( 0 ... m ) )  ->  ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )
4639, 45sumeq12dv 13530 . . . . . 6  |-  ( m  =  N  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... m
) ( ( m  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
m  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
4738, 46eqeq12d 2404 . . . . 5  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( A  +  B ) FallFac  m )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) )  <->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k )
)  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) )
4847imbi2d 314 . . . 4  |-  ( m  =  N  ->  (
( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  m )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... m ) ( ( m  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( m  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  <->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
49 fallfac0 29316 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A FallFac  0 )  =  1 )
50 fallfac0 29316 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B FallFac  0 )  =  1 )
5149, 50oveqan12d 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
52 1t1e1 10600 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
5351, 52syl6eq 2439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) )  =  1 )
5453oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  ( 1  x.  1 ) )
5554, 52syl6eq 2439 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  =  1 )
56 0cn 9499 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
57 ax-1cn 9461 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
5855, 57syl6eqel 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  e.  CC )
59 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  ( 0  _C  0 ) )
60 0nn0 10727 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
61 bcnn 12292 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( 0  _C  0 )  =  1 )
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  _C  0 )  =  1
6359, 62syl6eq 2439 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
0  _C  k )  =  1 )
64 oveq2 6204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  ( 0  -  0 ) )
65 0m0e0 10562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  -  0 )  =  0
6664, 65syl6eq 2439 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  0  ->  (
0  -  k )  =  0 )
6766oveq2d 6212 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( A FallFac  ( 0  -  k
) )  =  ( A FallFac  0 ) )
68 oveq2 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  0  ->  ( B FallFac  k )  =  ( B FallFac  0 ) )
6967, 68oveq12d 6214 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  0  ->  (
( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) )  =  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )
7063, 69oveq12d 6214 . . . . . . 7  |-  ( k  =  0  ->  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
7170sumsn 13565 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  ( 1  x.  (
( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0
) ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  { 0 }  (
( 0  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( 0  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0 )  x.  ( B FallFac  0 ) ) ) )
7256, 58, 71sylancr 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) )  =  ( 1  x.  ( ( A FallFac  0
)  x.  ( B FallFac 
0 ) ) ) )
73 addcl 9485 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
74 fallfac0 29316 . . . . . 6  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) FallFac  0 )  =  1 )
7573, 74syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  1 )
7655, 72, 753eqtr4rd 2434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  0 )  =  sum_ k  e.  {
0 }  ( ( 0  _C  k )  x.  ( ( A FallFac 
( 0  -  k
) )  x.  ( B FallFac  k ) ) ) )
77 simprl 754 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  A  e.  CC )
78 simprr 755 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  B  e.  CC )
79 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  ->  n  e.  NN0 )
80 id 22 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
8177, 78, 79, 80binomfallfaclem2 29328 . . . . . 6  |-  ( ( ( n  e.  NN0  /\  ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC ) )  /\  ( ( A  +  B ) FallFac  n )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n ) ( ( n  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( n  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )  -> 
( ( A  +  B ) FallFac  ( n  + 
1 ) )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( (
n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) )
8281exp31 602 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) FallFac  n
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  (
n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... (
n  +  1 ) ) ( ( ( n  +  1 )  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) ) ) )
8382a2d 26 . . . 4  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  n
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... n
) ( ( n  _C  k )  x.  ( ( A FallFac  (
n  -  k ) )  x.  ( B FallFac 
k ) ) ) )  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  ( n  +  1 ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... ( n  + 
1 ) ) ( ( ( n  + 
1 )  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( ( n  +  1 )  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) ) ) )
8415, 26, 37, 48, 76, 83nn0ind 10874 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
8584com12 31 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( A  +  B ) FallFac  N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k
) ) ) ) )
86853impia 1191 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) FallFac  N )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k
)  x.  ( ( A FallFac  ( N  -  k ) )  x.  ( B FallFac  k )
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {csn 3944  (class class class)co 6196   CCcc 9401   0cc0 9403   1c1 9404    + caddc 9406    x. cmul 9408    - cmin 9718   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593    _C cbc 12282   sum_csu 13510   FallFac cfallfac 29292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-fac 12256  df-bc 12283  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511  df-prod 13715  df-risefac 29294  df-fallfac 29295
This theorem is referenced by:  binomrisefac  29330
  Copyright terms: Public domain W3C validator