Theorem binomcxplemnn0 36768

Description: Lemma for binomcxp 36776. When C is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 13965 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set ( 0 ... C ), and when the index set is widened beyond C the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
binomcxp.a	|- ( ph -> A e. RR+ )
binomcxp.b	|- ( ph -> B e. RR )
binomcxp.lt	|- ( ph -> ( abs ` B ) < ( abs ` A ) )
binomcxp.c	|- ( ph -> C e. CC )

Assertion

Ref	Expression
binomcxplemnn0	|- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Distinct variable groups:   ph, k   A, k   B, k   C, k

Proof of Theorem binomcxplemnn0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		binomcxp.a	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A e. RR+ )
2	1	rpcnd 11366	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
3		binomcxp.b	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B e. RR )
4	3	recnd 9687	. . . . . . 7 |- ( ph -> B e. CC )
5		binom 13965	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
6	5	3expia 1233	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( C e. NN0 -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
7	2, 4, 6	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C e. NN0 -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
8	7	imp 436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^ C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
9	2	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> A e. CC )
10	4	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> B e. CC )
11	9, 10	addcld 9680	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( A + B ) e. CC )
12		simpr 468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. NN0 )
13		cxpexp 23692	. . . . . 6 |- ( ( ( A + B ) e. CC /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = ( ( A + B ) ^ C ) )
14	11, 12, 13	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = ( ( A + B ) ^ C ) )
15		elfznn0 11913	. . . . . . . 8 |- ( k e. ( 0 ... C ) -> k e. NN0 )
16		simplr 770	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> C e. NN0 )
17		simpr 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
18	16, 17	bccbc 36764	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( CC𝑐 k ) = ( C _C k ) )
19	15, 18	sylan2 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( CC𝑐 k ) = ( C _C k ) )
20	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> A e. CC )
21		elfzle2 11829	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 0 ... C ) -> k <_ C )
22	21	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> k <_ C )
23		nn0sub 10944	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. NN0 /\ C e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
24	23	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( C e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
25	24	adantll 728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
26	15, 25	sylan2 482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( k <_ C <-> ( C - k ) e. NN0 ) )
27	22, 26	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( C - k ) e. NN0 )
28		cxpexp 23692	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ ( C - k ) e. NN0 ) -> ( A ^c ( C - k ) ) = ( A ^ ( C - k ) ) )
29	20, 27, 28	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( A ^c ( C - k ) ) = ( A ^ ( C - k ) ) )
30	29	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) = ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
31	19, 30	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( 0 ... C ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
32	31	sumeq2dv 13846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( C _C k ) x. ( ( A ^ ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
33	8, 14, 32	3eqtr4d 2515	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
34		binomcxp.c	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. CC )
35	34	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. CC )
36	11, 35	cxpcld 23732	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) e. CC )
37	33, 36	eqeltrrd 2550	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
38	37	addid1d 9851	. 2 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
39		nn0uz 11217	. . . 4 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
40		eqid 2471	. . . 4 |- ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) = ( ZZ>= ` ( C + 1 ) )
41		1nn0 10909	. . . . . 6 |- 1 e. NN0
42	41	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 1 e. NN0 )
43	12, 42	nn0addcld 10953	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( C + 1 ) e. NN0 )
44		eqidd 2472	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) = ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) )
45		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> j = k )
46	45	oveq2d 6324	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( CC𝑐 j ) = ( CC𝑐 k ) )
47	45	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( C - j ) = ( C - k ) )
48	47	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( A ^c ( C - j ) ) = ( A ^c ( C - k ) ) )
49	45	oveq2d 6324	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
50	48, 49	oveq12d 6326	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) = ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) )
51	46, 50	oveq12d 6326	. . . . 5 |- ( ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) /\ j = k ) -> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
52	34	ad2antrr 740	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> C e. CC )
53	52, 17	bcccl 36758	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( CC𝑐 k ) e. CC )
54	2	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> A e. CC )
55	17	nn0cnd 10951	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> k e. CC )
56	52, 55	subcld 10005	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( C - k ) e. CC )
57	54, 56	cxpcld 23732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^c ( C - k ) ) e. CC )
58	4	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> B e. CC )
59	58, 17	expcld 12454	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. CC )
60	57, 59	mulcld 9681	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
61	53, 60	mulcld 9681	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) e. CC )
62	44, 51, 17, 61	fvmptd 5969	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
63		peano2nn0 10934	. . . . . 6 |- ( C e. NN0 -> ( C + 1 ) e. NN0 )
64	63	adantl 473	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( C + 1 ) e. NN0 )
65		c0ex 9655	. . . . . . . . 9 |- 0 e. _V
66	65	fconst 5782	. . . . . . . 8 |- ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> { 0 }
67	66	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> { 0 } )
68		0red 9662	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 0 e. RR )
69	68	snssd 4108	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> { 0 } C_ RR )
70	67, 69	fssd 5750	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( NN0 X. { 0 } ) : NN0 --> RR )
71	70	ffvelrnda 6037	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. RR )
72	62, 61	eqeltrd 2549	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) e. CC )
73		climrel 13633	. . . . . . 7 |- Rel ~~>
74	39	xpeq1i 4859	. . . . . . . . 9 |- ( NN0 X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } )
75		seqeq3 12256	. . . . . . . . 9 |- ( ( NN0 X. { 0 } ) = ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) = seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) )
76	74, 75	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) = seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) )
77		0z 10972	. . . . . . . . 9 |- 0 e. ZZ
78		serclim0 13718	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. ZZ -> seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0 )
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- seq 0 ( + , ( ( ZZ>= ` 0 ) X. { 0 } ) ) ~~> 0
80	76, 79	eqbrtri 4415	. . . . . . 7 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) ~~> 0
81		releldm 5073	. . . . . . 7 |- ( ( Rel ~~> /\ seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) ~~> 0 ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~> )
82	73, 80, 81	mp2an 686	. . . . . 6 |- seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~>
83	82	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> seq 0 ( + , ( NN0 X. { 0 } ) ) e. dom ~~> )
84		eluznn0 11251	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( C + 1 ) e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
85	64, 84	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
86	85, 62	syldan 478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
87		0zd 10973	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 0 e. ZZ )
88	85	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. ZZ )
89		1zzd 10992	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 1 e. ZZ )
90	88, 89	zsubcld 11068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ )
91	12	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> C e. ZZ )
92	91	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. ZZ )
93	12	nn0ge0d 10952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 0 <_ C )
94	93	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 0 <_ C )
95		eluzle 11195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) -> ( C + 1 ) <_ k )
96	95	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( C + 1 ) <_ k )
97	92	zred 11063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. RR )
98		1red 9676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
99	85	nn0red 10950	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. RR )
100		leaddsub 10111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C e. RR /\ 1 e. RR /\ k e. RR ) -> ( ( C + 1 ) <_ k <-> C <_ ( k - 1 ) ) )
101	97, 98, 99, 100	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( C + 1 ) <_ k <-> C <_ ( k - 1 ) ) )
102	96, 101	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C <_ ( k - 1 ) )
103		elfz4 11819	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( 0 e. ZZ /\ ( k - 1 ) e. ZZ /\ C e. ZZ ) /\ ( 0 <_ C /\ C <_ ( k - 1 ) ) ) -> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) )
104	87, 90, 92, 94, 102, 103	syl32anc 1300	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) )
105	34	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> C e. CC )
106	105, 85	bcc0 36759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) = 0 <-> C e. ( 0 ... ( k - 1 ) ) ) )
107	104, 106	mpbird 240	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( CC𝑐 k ) = 0 )
108	107	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( 0 x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
109	2	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> A e. CC )
110		eluzelcn 11194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) -> k e. CC )
111	110	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> k e. CC )
112	105, 111	subcld 10005	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( C - k ) e. CC )
113	109, 112	cxpcld 23732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( A ^c ( C - k ) ) e. CC )
114	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> B e. CC )
115	114, 85	expcld 12454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( B ^ k ) e. CC )
116	113, 115	mulcld 9681	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) e. CC )
117	116	mul02d 9849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
118	108, 117	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
119	86, 118	eqtrd 2505	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) = 0 )
120	119	abs00bd 13431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) = 0 )
121		0re 9661	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
122	120, 121	syl6eqel 2557	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) e. RR )
123		eqle 9754	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) e. RR /\ ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) = 0 ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
124	122, 120, 123	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
125	71	recnd 9687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
126	85, 125	syldan 478	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
127	126	mul02d 9849	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( 0 x. ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) ) = 0 )
128	124, 127	breqtrrd 4422	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ C e. NN0 ) /\ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ) -> ( abs ` ( ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ` k ) ) <_ ( 0 x. ( ( NN0 X. { 0 } ) ` k ) ) )
129	39, 64, 71, 72, 83, 68, 128	cvgcmpce 13955	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> seq 0 ( + , ( j e. NN0 |-> ( ( CC𝑐 j ) x. ( ( A ^c ( C - j ) ) x. ( B ^ j ) ) ) ) ) e. dom ~~> )
130	39, 40, 43, 62, 61, 129	isumsplit 13975	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
131		1cnd 9677	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> 1 e. CC )
132	35, 131	pncand 10006	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( C + 1 ) - 1 ) = C )
133	132	oveq2d 6324	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) = ( 0 ... C ) )
134	133	sumeq1d 13844	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )
135	134	oveq1d 6323	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... ( ( C + 1 ) - 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) )
136	118	sumeq2dv 13846	. . . . 5 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 )
137		ssid 3437	. . . . . . 7 |- ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) )
138	137	orci 397	. . . . . 6 |- ( ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) \/ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) e. Fin )
139		sumz 13865	. . . . . 6 |- ( ( ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) C_ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) \/ ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 = 0 )
140	138, 139	ax-mp 5	. . . . 5 |- sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) 0 = 0
141	136, 140	syl6eq 2521	. . . 4 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = 0 )
142	141	oveq2d 6324	. . 3 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + sum_ k e. ( ZZ>= ` ( C + 1 ) ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) )
143	130, 135, 142	3eqtrd 2509	. 2 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) = ( sum_ k e. ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) + 0 ) )
144	38, 143, 33	3eqtr4rd 2516	1 |- ( ( ph /\ C e. NN0 ) -> ( ( A + B ) ^c C ) = sum_ k e. NN0 ( ( CC𝑐 k ) x. ( ( A ^c ( C - k ) ) x. ( B ^ k ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810   seqcseq 12251   ^cexp 12310   _C cbc 12525   abscabs 13374   ~~> cli 13625   sum_csu 13829   ^c ccxp 23584  C_𝑐cbcc 36755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-fallfac 14137  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-bcc 36756

This theorem is referenced by:  binomcxp  36776