Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemnn0 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem binomcxplemnn0 36768
 Description: Lemma for binomcxp 36776. When is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 13965 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set , and when the index set is widened beyond the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a
binomcxp.b
binomcxp.lt
binomcxp.c
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0 C𝑐
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8
21rpcnd 11366 . . . . . . 7
3 binomcxp.b . . . . . . . 8
43recnd 9687 . . . . . . 7
5 binom 13965 . . . . . . . 8
653expia 1233 . . . . . . 7
72, 4, 6syl2anc 673 . . . . . 6
87imp 436 . . . . 5
92adantr 472 . . . . . . 7
104adantr 472 . . . . . . 7
119, 10addcld 9680 . . . . . 6
12 simpr 468 . . . . . 6
13 cxpexp 23692 . . . . . 6
1411, 12, 13syl2anc 673 . . . . 5
15 elfznn0 11913 . . . . . . . 8
16 simplr 770 . . . . . . . . 9
17 simpr 468 . . . . . . . . 9
1816, 17bccbc 36764 . . . . . . . 8 C𝑐
1915, 18sylan2 482 . . . . . . 7 C𝑐
202ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
21 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11
2221adantl 473 . . . . . . . . . 10
23 nn0sub 10944 . . . . . . . . . . . . 13
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12
2524adantll 728 . . . . . . . . . . 11
2615, 25sylan2 482 . . . . . . . . . 10
2722, 26mpbid 215 . . . . . . . . 9
28 cxpexp 23692 . . . . . . . . 9
2920, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . 8
3029oveq1d 6323 . . . . . . 7
3119, 30oveq12d 6326 . . . . . 6 C𝑐
3231sumeq2dv 13846 . . . . 5 C𝑐
338, 14, 323eqtr4d 2515 . . . 4 C𝑐
34 binomcxp.c . . . . . 6
3534adantr 472 . . . . 5
3611, 35cxpcld 23732 . . . 4
3733, 36eqeltrrd 2550 . . 3 C𝑐
3837addid1d 9851 . 2 C𝑐 C𝑐
39 nn0uz 11217 . . . 4
40 eqid 2471 . . . 4
41 1nn0 10909 . . . . . 6
4241a1i 11 . . . . 5
4312, 42nn0addcld 10953 . . . 4
44 eqidd 2472 . . . . 5 C𝑐 C𝑐
45 simpr 468 . . . . . . 7
4645oveq2d 6324 . . . . . 6 C𝑐 C𝑐
4745oveq2d 6324 . . . . . . . 8
4847oveq2d 6324 . . . . . . 7
4945oveq2d 6324 . . . . . . 7
5048, 49oveq12d 6326 . . . . . 6
5146, 50oveq12d 6326 . . . . 5 C𝑐 C𝑐
5234ad2antrr 740 . . . . . . 7
5352, 17bcccl 36758 . . . . . 6 C𝑐
542ad2antrr 740 . . . . . . . 8
5517nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9
5652, 55subcld 10005 . . . . . . . 8
5754, 56cxpcld 23732 . . . . . . 7
584ad2antrr 740 . . . . . . . 8
5958, 17expcld 12454 . . . . . . 7
6057, 59mulcld 9681 . . . . . 6
6153, 60mulcld 9681 . . . . 5 C𝑐
6244, 51, 17, 61fvmptd 5969 . . . 4 C𝑐 C𝑐
63 peano2nn0 10934 . . . . . 6
6463adantl 473 . . . . 5
65 c0ex 9655 . . . . . . . . 9
6665fconst 5782 . . . . . . . 8
6766a1i 11 . . . . . . 7
68 0red 9662 . . . . . . . 8
6968snssd 4108 . . . . . . 7
7067, 69fssd 5750 . . . . . 6
7170ffvelrnda 6037 . . . . 5
7262, 61eqeltrd 2549 . . . . 5 C𝑐
73 climrel 13633 . . . . . . 7
7439xpeq1i 4859 . . . . . . . . 9
75 seqeq3 12256 . . . . . . . . 9
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8
77 0z 10972 . . . . . . . . 9
78 serclim0 13718 . . . . . . . . 9
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8
8076, 79eqbrtri 4415 . . . . . . 7
81 releldm 5073 . . . . . . 7
8273, 80, 81mp2an 686 . . . . . 6
8382a1i 11 . . . . 5
84 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . 12
8564, 84sylan 479 . . . . . . . . . . 11
8685, 62syldan 478 . . . . . . . . . 10 C𝑐 C𝑐
87 0zd 10973 . . . . . . . . . . . . . 14
8885nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15
9088, 89zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . 14
9112nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
9312nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
95 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
9792zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9985nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10197, 98, 99, 100syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
10296, 101mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14
103 elfz4 11819 . . . . . . . . . . . . . 14
10487, 90, 92, 94, 102, 103syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . 13
10534ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
106105, 85bcc0 36759 . . . . . . . . . . . . 13 C𝑐
107104, 106mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12 C𝑐
108107oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11 C𝑐
1092ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
110 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15
112105, 111subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14
113109, 112cxpcld 23732 . . . . . . . . . . . . 13
1144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
115114, 85expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13
116113, 115mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12
117116mul02d 9849 . . . . . . . . . . 11
118108, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10 C𝑐
11986, 118eqtrd 2505 . . . . . . . . 9 C𝑐
120119abs00bd 13431 . . . . . . . 8 C𝑐
121 0re 9661 . . . . . . . 8
122120, 121syl6eqel 2557 . . . . . . 7 C𝑐
123 eqle 9754 . . . . . . 7 C𝑐 C𝑐 C𝑐
124122, 120, 123syl2anc 673 . . . . . 6 C𝑐
12571recnd 9687 . . . . . . . 8
12685, 125syldan 478 . . . . . . 7
127126mul02d 9849 . . . . . 6
128124, 127breqtrrd 4422 . . . . 5 C𝑐
12939, 64, 71, 72, 83, 68, 128cvgcmpce 13955 . . . 4 C𝑐
13039, 40, 43, 62, 61, 129isumsplit 13975 . . 3 C𝑐 C𝑐 C𝑐
131 1cnd 9677 . . . . . . 7
13235, 131pncand 10006 . . . . . 6
133132oveq2d 6324 . . . . 5
134133sumeq1d 13844 . . . 4 C𝑐 C𝑐
135134oveq1d 6323 . . 3 C𝑐 C𝑐 C𝑐 C𝑐
136118sumeq2dv 13846 . . . . 5 C𝑐
137 ssid 3437 . . . . . . 7
138137orci 397 . . . . . 6
139 sumz 13865 . . . . . 6
140138, 139ax-mp 5 . . . . 5
141136, 140syl6eq 2521 . . . 4 C𝑐
142141oveq2d 6324 . . 3 C𝑐 C𝑐 C𝑐
143130, 135, 1423eqtrd 2509 . 2 C𝑐 C𝑐
14438, 143, 333eqtr4rd 2516 1 C𝑐
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390  csn 3959   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837   cdm 4839   wrel 4844  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cmin 9880  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325  cfz 11810   cseq 12251  cexp 12310   cbc 12525  cabs 13374   cli 13625  csu 13829   ccxp 23584  C𝑐cbcc 36755 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-fallfac 14137  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-bcc 36756 This theorem is referenced by:  binomcxp  36776
 Copyright terms: Public domain W3C validator