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Theorem binomcxplemnn0 36768
Description: Lemma for binomcxp 36776. When  C is a nonnegative integer, the binomial's finite sum value by the standard binomial theorem binom 13965 equals this generalized infinite sum: the generalized binomial coefficient and exponentiation operators give exactly the same values in the standard index set  ( 0 ... C
), and when the index set is widened beyond  C the additional values are just zeroes. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
binomcxp.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
binomcxp.lt  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  <  ( abs `  A ) )
binomcxp.c  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
binomcxplemnn0  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
Distinct variable groups:    ph, k    A, k    B, k    C, k

Proof of Theorem binomcxplemnn0
Dummy variable  j is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxp.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
21rpcnd 11366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 binomcxp.b . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
43recnd 9687 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5 binom 13965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC  /\  C  e.  NN0 )  ->  (
( A  +  B
) ^ C )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( C  _C  k )  x.  (
( A ^ ( C  -  k )
)  x.  ( B ^ k ) ) ) )
653expia 1233 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( C  e.  NN0  ->  ( ( A  +  B ) ^ C
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( C  _C  k )  x.  ( ( A ^
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
72, 4, 6syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  e.  NN0  ->  ( ( A  +  B ) ^ C
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( C  _C  k )  x.  ( ( A ^
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) ) )
87imp 436 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B ) ^ C )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( C  _C  k
)  x.  ( ( A ^ ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
92adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
104adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
119, 10addcld 9680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( A  +  B )  e.  CC )
12 simpr 468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  C  e.  NN0 )
13 cxpexp 23692 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B )  ^c  C )  =  ( ( A  +  B
) ^ C ) )
1411, 12, 13syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =  ( ( A  +  B ) ^ C ) )
15 elfznn0 11913 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 0 ... C )  ->  k  e.  NN0 )
16 simplr 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  NN0 )
17 simpr 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
1816, 17bccbc 36764 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( CC𝑐 k )  =  ( C  _C  k ) )
1915, 18sylan2 482 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  ( CC𝑐 k )  =  ( C  _C  k ) )
202ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  A  e.  CC )
21 elfzle2 11829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 0 ... C )  ->  k  <_  C )
2221adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  k  <_  C )
23 nn0sub 10944 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN0  /\  C  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  C  <->  ( C  -  k )  e.  NN0 ) )
2423ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  <_  C  <->  ( C  -  k )  e.  NN0 ) )
2524adantll 728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
k  <_  C  <->  ( C  -  k )  e. 
NN0 ) )
2615, 25sylan2 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  (
k  <_  C  <->  ( C  -  k )  e. 
NN0 ) )
2722, 26mpbid 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  ( C  -  k )  e.  NN0 )
28 cxpexp 23692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( C  -  k
)  e.  NN0 )  ->  ( A  ^c 
( C  -  k
) )  =  ( A ^ ( C  -  k ) ) )
2920, 27, 28syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  ( A  ^c  ( C  -  k ) )  =  ( A ^
( C  -  k
) ) )
3029oveq1d 6323 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) )  =  ( ( A ^ ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) )
3119, 30oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( 0 ... C
) )  ->  (
( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( ( C  _C  k )  x.  ( ( A ^ ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k
) ) ) )
3231sumeq2dv 13846 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( C  _C  k )  x.  ( ( A ^
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
338, 14, 323eqtr4d 2515 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
34 binomcxp.c . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
3534adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
3611, 35cxpcld 23732 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  e.  CC )
3733, 36eqeltrrd 2550 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  e.  CC )
3837addid1d 9851 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  0 )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
39 nn0uz 11217 . . . 4  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
40 eqid 2471 . . . 4  |-  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) )  =  (
ZZ>= `  ( C  + 
1 ) )
41 1nn0 10909 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  1  e.  NN0 )
4312, 42nn0addcld 10953 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  +  1 )  e. 
NN0 )
44 eqidd 2472 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) )  =  ( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) )
45 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  j  =  k )
4645oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( CC𝑐 j )  =  ( CC𝑐 k ) )
4745oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( C  -  j
)  =  ( C  -  k ) )
4847oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( A  ^c 
( C  -  j
) )  =  ( A  ^c  ( C  -  k ) ) )
4945oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( B ^ j
)  =  ( B ^ k ) )
5048, 49oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j
) )  =  ( ( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )
5146, 50oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  /\  j  =  k )  ->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) )  =  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
5234ad2antrr 740 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
5352, 17bcccl 36758 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( CC𝑐 k )  e.  CC )
542ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  CC )
5517nn0cnd 10951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  CC )
5652, 55subcld 10005 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( C  -  k )  e.  CC )
5754, 56cxpcld 23732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  ^c  ( C  -  k ) )  e.  CC )
584ad2antrr 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  CC )
5958, 17expcld 12454 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
6057, 59mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) )  e.  CC )
6153, 60mulcld 9681 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  e.  CC )
6244, 51, 17, 61fvmptd 5969 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) ) ) `  k )  =  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
63 peano2nn0 10934 . . . . . 6  |-  ( C  e.  NN0  ->  ( C  +  1 )  e. 
NN0 )
6463adantl 473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( C  +  1 )  e. 
NN0 )
65 c0ex 9655 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
6665fconst 5782 . . . . . . . 8  |-  ( NN0 
X.  { 0 } ) : NN0 --> { 0 }
6766a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( NN0  X. 
{ 0 } ) : NN0 --> { 0 } )
68 0red 9662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  0  e.  RR )
6968snssd 4108 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  { 0 }  C_  RR )
7067, 69fssd 5750 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( NN0  X. 
{ 0 } ) : NN0 --> RR )
7170ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( NN0  X.  { 0 } ) `  k
)  e.  RR )
7262, 61eqeltrd 2549 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) ) ) `  k )  e.  CC )
73 climrel 13633 . . . . . . 7  |-  Rel  ~~>
7439xpeq1i 4859 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  0 )  X. 
{ 0 } )
75 seqeq3 12256 . . . . . . . . 9  |-  ( ( NN0  X.  { 0 } )  =  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } )  ->  seq 0 (  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  =  seq 0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) ) )
7674, 75ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  seq 0
(  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  =  seq 0 (  +  ,  ( ( ZZ>= ` 
0 )  X.  {
0 } ) )
77 0z 10972 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  ZZ
78 serclim0 13718 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  seq 0 (  +  , 
( ( ZZ>= `  0
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
7977, 78ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  seq 0
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  0 )  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
8076, 79eqbrtri 4415 . . . . . . 7  |-  seq 0
(  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  ~~>  0
81 releldm 5073 . . . . . . 7  |-  ( ( Rel  ~~>  /\  seq 0
(  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )  ->  seq 0 (  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>  )
8273, 80, 81mp2an 686 . . . . . 6  |-  seq 0
(  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>
8382a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  seq 0
(  +  ,  ( NN0  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
84 eluznn0 11251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  +  1 )  e.  NN0  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN0 )
8564, 84sylan 479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN0 )
8685, 62syldan 478 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( (
j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
)  =  ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
87 0zd 10973 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  0  e.  ZZ )
8885nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ZZ )
89 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  1  e.  ZZ )
9088, 89zsubcld 11068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( k  -  1 )  e.  ZZ )
9112nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  C  e.  ZZ )
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  C  e.  ZZ )
9312nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  0  <_  C )
9493adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  0  <_  C )
95 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) )  ->  ( C  +  1 )  <_ 
k )
9695adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( C  +  1 )  <_ 
k )
9792zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  C  e.  RR )
98 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  1  e.  RR )
9985nn0red 10950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  k  e.  RR )
100 leaddsub 10111 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  k  e.  RR )  ->  (
( C  +  1 )  <_  k  <->  C  <_  ( k  -  1 ) ) )
10197, 98, 99, 100syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( C  +  1 )  <_  k  <->  C  <_  ( k  -  1 ) ) )
10296, 101mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  C  <_  ( k  -  1 ) )
103 elfz4 11819 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 0  e.  ZZ  /\  ( k  -  1 )  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <_  ( k  -  1 ) ) )  ->  C  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
10487, 90, 92, 94, 102, 103syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  C  e.  ( 0 ... (
k  -  1 ) ) )
10534ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  C  e.  CC )
106105, 85bcc0 36759 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( CC𝑐 k )  =  0  <-> 
C  e.  ( 0 ... ( k  - 
1 ) ) ) )
107104, 106mpbird 240 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( CC𝑐 k
)  =  0 )
108107oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( 0  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
1092ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  A  e.  CC )
110 eluzelcn 11194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) )  ->  k  e.  CC )
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  k  e.  CC )
112105, 111subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( C  -  k )  e.  CC )
113109, 112cxpcld 23732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( A  ^c  ( C  -  k ) )  e.  CC )
1144ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  B  e.  CC )
115114, 85expcld 12454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( B ^ k )  e.  CC )
116113, 115mulcld 9681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) )  e.  CC )
117116mul02d 9849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( 0  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
118108, 117eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  0 )
11986, 118eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( (
j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
)  =  0 )
120119abs00bd 13431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  =  0 )
121 0re 9661 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
122120, 121syl6eqel 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  e.  RR )
123 eqle 9754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^
j ) ) ) ) `  k ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( ( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  <_  0
)
124122, 120, 123syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  <_  0
)
12571recnd 9687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  NN0 )  ->  (
( NN0  X.  { 0 } ) `  k
)  e.  CC )
12685, 125syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  k )  e.  CC )
127126mul02d 9849 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( 0  x.  ( ( NN0 
X.  { 0 } ) `  k ) )  =  0 )
128124, 127breqtrrd 4422 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  NN0 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) )  ->  ( abs `  ( ( j  e. 
NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  j ) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) `  k
) )  <_  (
0  x.  ( ( NN0  X.  { 0 } ) `  k
) ) )
12939, 64, 71, 72, 83, 68, 128cvgcmpce 13955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  seq 0
(  +  ,  ( j  e.  NN0  |->  ( ( CC𝑐 j )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  j
) )  x.  ( B ^ j ) ) ) ) )  e. 
dom 
~~>  )
13039, 40, 43, 62, 61, 129isumsplit 13975 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( C  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) ) )
131 1cnd 9677 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  1  e.  CC )
13235, 131pncand 10006 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( C  +  1 )  -  1 )  =  C )
133132oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( 0 ... ( ( C  +  1 )  - 
1 ) )  =  ( 0 ... C
) )
134133sumeq1d 13844 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... (
( C  +  1 )  -  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... C
) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) ) )
135134oveq1d 6323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... ( ( C  +  1 )  - 
1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) ) )
136118sumeq2dv 13846 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( C  + 
1 ) ) 0 )
137 ssid 3437 . . . . . . 7  |-  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) )  C_  ( ZZ>=
`  ( C  + 
1 ) )
138137orci 397 . . . . . 6  |-  ( (
ZZ>= `  ( C  + 
1 ) )  C_  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) )  \/  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) )  e.  Fin )
139 sumz 13865 . . . . . 6  |-  ( ( ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) )  \/  ( ZZ>= `  ( C  +  1
) )  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  (
ZZ>= `  ( C  + 
1 ) ) 0  =  0 )
140138, 139ax-mp 5 . . . . 5  |-  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) 0  =  0
141136, 140syl6eq 2521 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) )  =  0 )
142141oveq2d 6324 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( ZZ>= `  ( C  +  1 ) ) ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  0 ) )
143130, 135, 1423eqtrd 2509 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  sum_ k  e. 
NN0  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^ k ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 0 ... C ) ( ( CC𝑐 k )  x.  (
( A  ^c 
( C  -  k
) )  x.  ( B ^ k ) ) )  +  0 ) )
14438, 143, 333eqtr4rd 2516 1  |-  ( (
ph  /\  C  e.  NN0 )  ->  ( ( A  +  B )  ^c  C )  =  sum_ k  e.  NN0  ( ( CC𝑐 k )  x.  ( ( A  ^c  ( C  -  k ) )  x.  ( B ^
k ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    C_ wss 3390   {csn 3959   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   dom cdm 4839   Rel wrel 4844   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Fincfn 7587   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   ...cfz 11810    seqcseq 12251   ^cexp 12310    _C cbc 12525   abscabs 13374    ~~> cli 13625   sum_csu 13829    ^c ccxp 23584  C𝑐cbcc 36755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-prod 14037  df-fallfac 14137  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-bcc 36756
This theorem is referenced by:  binomcxp  36776
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