Mathbox for Steve Rodriguez < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  binomcxplemdvbinom Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem binomcxplemdvbinom 36702
 Description: Lemma for binomcxp 36706. By the power and chain rules, calculate the derivative of , with respect to in the disk of convergence . We later multiply the derivative in the later binomcxplemdvsum 36704 by this derivative to show that (with a non-negated ) and the later sum, since both at equal one, are the same. (Contributed by Steve Rodriguez, 22-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
binomcxp.a
binomcxp.b
binomcxp.lt
binomcxp.c
binomcxplem.f C𝑐
binomcxplem.s
binomcxplem.r
binomcxplem.e
binomcxplem.d
Assertion
Ref Expression
binomcxplemdvbinom
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,,,)   ()   (,,,)   (,,,)   (,,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem binomcxplemdvbinom
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomcxplem.d . . . . 5
2 nfcv 2592 . . . . . 6
3 nfcv 2592 . . . . . . 7
4 nfcv 2592 . . . . . . 7
5 binomcxplem.r . . . . . . . 8
6 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12
7 binomcxplem.s . . . . . . . . . . . . . 14
8 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . 14
97, 8nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . 13
10 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10nffv 5872 . . . . . . . . . . . 12
123, 6, 11nfseq 12223 . . . . . . . . . . 11
1312nfel1 2606 . . . . . . . . . 10
14 nfcv 2592 . . . . . . . . . 10
1513, 14nfrab 2972 . . . . . . . . 9
16 nfcv 2592 . . . . . . . . 9
17 nfcv 2592 . . . . . . . . 9
1815, 16, 17nfsup 7965 . . . . . . . 8
195, 18nfcxfr 2590 . . . . . . 7
203, 4, 19nfov 6316 . . . . . 6
212, 20nfima 5176 . . . . 5
221, 21nfcxfr 2590 . . . 4
23 nfcv 2592 . . . 4
24 nfcv 2592 . . . 4
25 nfcv 2592 . . . 4
26 oveq2 6298 . . . . 5
2726oveq1d 6305 . . . 4
2822, 23, 24, 25, 27cbvmptf 4493 . . 3
2928oveq2i 6301 . 2
30 cnelprrecn 9632 . . . . 5
3130a1i 11 . . . 4
32 1cnd 9659 . . . . . 6
33 cnvimass 5188 . . . . . . . . . 10
341, 33eqsstri 3462 . . . . . . . . 9
35 absf 13400 . . . . . . . . . 10
3635fdmi 5734 . . . . . . . . 9
3734, 36sseqtri 3464 . . . . . . . 8
3837a1i 11 . . . . . . 7
3938sselda 3432 . . . . . 6
4032, 39addcld 9662 . . . . 5
41 simpr 463 . . . . . . 7
42 1cnd 9659 . . . . . . . . . 10
4339adantr 467 . . . . . . . . . 10
4442, 43pncan2d 9988 . . . . . . . . 9
45 1red 9658 . . . . . . . . . 10
4641, 45resubcld 10047 . . . . . . . . 9
4744, 46eqeltrrd 2530 . . . . . . . 8
48 1pneg1e0 10718 . . . . . . . . 9
49 1red 9658 . . . . . . . . . . 11
5049renegcld 10046 . . . . . . . . . 10
51 simpr 463 . . . . . . . . . 10
52 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
53 elpreima 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5435, 52, 53mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5554simprbi 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5655, 1eleq2s 2547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
57 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
58 ssrab2 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
59 ressxr 9684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6058, 59sstri 3441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
61 supxrcl 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6260, 61ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
635, 62eqeltri 2525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
64 elico2 11698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6557, 63, 64mp2an 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6656, 65sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6766simp3d 1022 . . . . . . . . . . . . . . 15
6867adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14
69 binomcxp.a . . . . . . . . . . . . . . . 16
70 binomcxp.b . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 binomcxp.lt . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 binomcxp.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
73 binomcxplem.f . . . . . . . . . . . . . . . 16 C𝑐
7469, 70, 71, 72, 73, 7, 5binomcxplemradcnv 36701 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
7668, 75breqtrd 4427 . . . . . . . . . . . . 13
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . 12
7851, 49absltd 13491 . . . . . . . . . . . 12
7977, 78mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
8079simpld 461 . . . . . . . . . 10
8150, 51, 49, 80ltadd2dd 9794 . . . . . . . . 9
8248, 81syl5eqbrr 4437 . . . . . . . 8
8347, 82syldan 473 . . . . . . 7
8441, 83elrpd 11338 . . . . . 6
8584ex 436 . . . . 5
86 eqid 2451 . . . . . 6
8786ellogdm 23584 . . . . 5
8840, 85, 87sylanbrc 670 . . . 4
89 eldifi 3555 . . . . . 6
9089adantl 468 . . . . 5
9172adantr 467 . . . . . . 7
9291negcld 9973 . . . . . 6
9392adantr 467 . . . . 5
9490, 93cxpcld 23653 . . . 4
95 ovex 6318 . . . . 5
9695a1i 11 . . . 4
97 1cnd 9659 . . . . . . 7
98 simpr 463 . . . . . . 7
9997, 98addcld 9662 . . . . . 6
100 c0ex 9637 . . . . . . . . 9
101100a1i 11 . . . . . . . 8
102 1cnd 9659 . . . . . . . . 9
10331, 102dvmptc 22912 . . . . . . . 8
10431dvmptid 22911 . . . . . . . 8
10531, 97, 101, 103, 98, 97, 104dvmptadd 22914 . . . . . . 7
106 0p1e1 10721 . . . . . . . 8
107106mpteq2i 4486 . . . . . . 7
108105, 107syl6eq 2501 . . . . . 6
109 fvex 5875 . . . . . . . 8 fld
110 cnfldtps 21798 . . . . . . . . . 10 fld
111 cnfldbas 18974 . . . . . . . . . . 11 fld
112 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11 fld fld
113111, 112tpsuni 19953 . . . . . . . . . 10 fld fld
114110, 113ax-mp 5 . . . . . . . . 9 fld
115114restid 15332 . . . . . . . 8 fld fldt fld
116109, 115ax-mp 5 . . . . . . 7 fldt fld
117116eqcomi 2460 . . . . . 6 fld fldt
118112cnfldtop 21804 . . . . . . . 8 fld
119 eqid 2451 . . . . . . . . . . . 12
120119cnbl0 21794 . . . . . . . . . . 11
12163, 120ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
1221, 121eqtri 2473 . . . . . . . . 9
123 cnxmet 21793 . . . . . . . . . 10
124 0cn 9635 . . . . . . . . . 10
125112cnfldtopn 21802 . . . . . . . . . . 11 fld
126125blopn 21515 . . . . . . . . . 10 fld
127123, 124, 63, 126mp3an 1364 . . . . . . . . 9 fld
128122, 127eqeltri 2525 . . . . . . . 8 fld
129 isopn3i 20098 . . . . . . . 8 fld fld fld
130118, 128, 129mp2an 678 . . . . . . 7 fld
131130a1i 11 . . . . . 6 fld
13231, 99, 97, 108, 38, 117, 112, 131dvmptres2 22916 . . . . 5
133 oveq2 6298 . . . . . . 7
134133cbvmptv 4495 . . . . . 6
135134oveq2i 6301 . . . . 5
136 eqidd 2452 . . . . . 6
137136cbvmptv 4495 . . . . 5
138132, 135, 1373eqtr3g 2508 . . . 4
13986dvcncxp1 23683 . . . . 5
14092, 139syl 17 . . . 4
141 oveq1 6297 . . . 4
142 oveq1 6297 . . . . 5
143142oveq2d 6306 . . . 4
14431, 31, 88, 32, 94, 96, 138, 140, 141, 143dvmptco 22926 . . 3
14591adantr 467 . . . . . . 7
146145negcld 9973 . . . . . 6
147146, 32subcld 9986 . . . . . . 7
14840, 147cxpcld 23653 . . . . . 6
149146, 148mulcld 9663 . . . . 5
150149mulid1d 9660 . . . 4
151150mpteq2dva 4489 . . 3
152 nfcv 2592 . . . . 5
153 nfcv 2592 . . . . 5
154 oveq2 6298 . . . . . . 7
155154oveq1d 6305 . . . . . 6
156155oveq2d 6306 . . . . 5
15723, 22, 152, 153, 156cbvmptf 4493 . . . 4
158157a1i 11 . . 3
159144, 151, 1583eqtrd 2489 . 2
16029, 159syl5eq 2497 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  crab 2741  cvv 3045   cdif 3401   wss 3404  cpr 3970  cuni 4198   class class class wbr 4402   cmpt 4461  ccnv 4833   cdm 4834  cima 4837   ccom 4838   wfn 5577  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  csup 7954  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544   cmnf 9673  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cmin 9860  cneg 9861  cn 10609  cn0 10869  crp 11302  cioc 11636  cico 11637   cseq 12213  cexp 12272  cabs 13297   cli 13548   ↾t crest 15319  ctopn 15320  cxmt 18955  cbl 18957  ℂfldccnfld 18970  ctop 19917  ctps 19919  cnt 20032   cdv 22818   ccxp 23505  C𝑐cbcc 36685 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-prod 13960  df-fallfac 14060  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-tan 14125  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-bcc 36686 This theorem is referenced by:  binomcxplemnotnn0  36705
 Copyright terms: Public domain W3C validator