MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Unicode version

Theorem binom4 23047
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 13622, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 10608 . . . 4  |-  4  =  ( 3  +  1 )
21oveq2i 6306 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )
3 addcl 9586 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 3nn0 10825 . . . 4  |-  3  e.  NN0
5 expp1 12153 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 binom3 12267 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
98oveq1d 6310 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
3 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) ) )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 expcl 12164 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
1210, 4, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 10622 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
1410sqcld 12288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1614, 15mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
17 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
1912, 18addcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
2015sqcld 12288 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2110, 20mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
22 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2313, 21, 22sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
24 expcl 12164 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
2515, 4, 24sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
2623, 25addcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2719, 26addcld 9627 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
2827, 10, 15adddid 9632 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B ) ) )
2919, 26, 10adddird 9633 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) ) )
3012, 18, 10adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) ) )
311oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
32 expp1 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3310, 4, 32sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3431, 33syl5req 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  A
)  =  ( A ^ 4 ) )
3513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
3635, 16, 10mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A ) ) )
3714, 15, 10mul32d 9801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B ) )
38 df-3 10607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
40 2nn0 10824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
41 expp1 12153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4210, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4339, 42syl5req 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A ^ 3 ) )
4443oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4537, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4645oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4736, 46eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4834, 47oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
4930, 48eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
5023, 25, 10adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^
3 )  x.  A
) ) )
5135, 21, 10mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) ) )
5210, 20, 10mul32d 9801 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5310sqvald 12287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5552, 54eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5751, 56eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5825, 10mulcomd 9629 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
5957, 58oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6050, 59eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6149, 60oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6229, 61eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6319, 26, 15adddird 9633 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) ) )
6412, 18, 15adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) ) )
6535, 16, 15mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B ) ) )
6614, 15, 15mulassd 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B ) ) )
6715sqvald 12287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
6867oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B
) ) )
6966, 68eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
7069oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7165, 70eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7271oveq2d 6311 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7364, 72eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7423, 25, 15adddird 9633 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^
3 )  x.  B
) ) )
7535, 21, 15mulassd 9631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) ) )
7610, 20, 15mulassd 9631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( ( B ^
2 )  x.  B
) ) )
7738oveq2i 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
78 expp1 12153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
7915, 40, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
8077, 79syl5req 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
8180oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
8276, 81eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )
8382oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
851oveq2i 6306 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ 4 )  =  ( B ^ (
3  +  1 ) )
86 expp1 12153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8715, 4, 86sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8885, 87syl5req 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  B
)  =  ( B ^ 4 ) )
8984, 88oveq12d 6313 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9074, 89eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9173, 90oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
9212, 15mulcld 9628 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )
9314, 20mulcld 9628 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
94 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9513, 93, 94sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9610, 25mulcld 9628 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
97 mulcl 9588 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
9813, 96, 97sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
99 4nn0 10826 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
100 expcl 12164 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 4 )  e.  CC )
10115, 99, 100sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 4 )  e.  CC )
10298, 101addcld 9627 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  e.  CC )
10392, 95, 102addassd 9630 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
10463, 91, 1033eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
10562, 104oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
3 )  x.  B
)  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
106 expcl 12164 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
10710, 99, 106sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
108 mulcl 9588 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  e.  CC )
10913, 92, 108sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  e.  CC )
110107, 109addcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
11195, 96addcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  e.  CC )
11295, 102addcld 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  e.  CC )
113110, 111, 92, 112add4d 9815 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
114107, 109, 92addassd 9630 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
1151oveq1i 6305 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )
116 ax-1cn 9562 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
11835, 117, 92adddird 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
119115, 118syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12092mulid2d 9626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
121120oveq2d 6311 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
122119, 121eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
123122oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
124114, 123eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12595, 96, 95, 102add4d 9815 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
126 3p3e6 10681 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  3 )  =  6
127126oveq1i 6305 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  +  3 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
12835, 35, 93adddird 9633 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
129127, 128syl5eqr 2522 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
130 3p1e4 10673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  1 )  =  4
13113, 116, 130addcomli 9783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  4
132131oveq1i 6305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
133117, 35, 96adddird 9633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
134132, 133syl5eqr 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
13596mulid2d 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
136135oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
137134, 136eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
13996, 98, 101addassd 9630 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
140138, 139eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
141129, 140oveq12d 6313 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
142125, 141eqtr4d 2511 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) )
143124, 142oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
144113, 143eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
14528, 105, 1443eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
1467, 9, 1453eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6295   CCcc 9502   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   6c6 10601   NN0cn0 10807   ^cexp 12146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-seq 12088  df-exp 12147
This theorem is referenced by:  quart1  23053
  Copyright terms: Public domain W3C validator