MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom4 Structured version   Unicode version

Theorem binom4 22371
Description: Work out a quartic binomial. (You would think that by this point it would be faster to use binom 13404, but it turns out to be just as much work to put it into this form after clearing all the sums and calculating binomial coefficients.) (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )

Proof of Theorem binom4
StepHypRef Expression
1 df-4 10486 . . . 4  |-  4  =  ( 3  +  1 )
21oveq2i 6204 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )
3 addcl 9468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 3nn0 10701 . . . 4  |-  3  e.  NN0
5 expp1 11982 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2504 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 3 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 binom3 12095 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
98oveq1d 6208 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
3 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) ) )
10 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 expcl 11993 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
1210, 4, 11sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
13 3cn 10500 . . . . . . 7  |-  3  e.  CC
1410sqcld 12116 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
15 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
1614, 15mulcld 9510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
17 mulcl 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
1813, 16, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
1912, 18addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
2015sqcld 12116 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2110, 20mulcld 9510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
22 mulcl 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
2313, 21, 22sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
24 expcl 11993 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
2515, 4, 24sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
2623, 25addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
2719, 26addcld 9509 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
2827, 10, 15adddid 9514 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B ) ) )
2919, 26, 10adddird 9515 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) ) )
3012, 18, 10adddird 9515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) ) )
311oveq2i 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 4 )  =  ( A ^ (
3  +  1 ) )
32 expp1 11982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3310, 4, 32sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  A ) )
3431, 33syl5req 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  A
)  =  ( A ^ 4 ) )
3513a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  3  e.  CC )
3635, 16, 10mulassd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A ) ) )
3714, 15, 10mul32d 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B ) )
38 df-3 10485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  3  =  ( 2  +  1 )
3938oveq2i 6204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
40 2nn0 10700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  NN0
41 expp1 11982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4210, 40, 41sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
4339, 42syl5req 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  A
)  =  ( A ^ 3 ) )
4443oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4537, 44eqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
4645oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4736, 46eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
4834, 47oveq12d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  A )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  A ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
4930, 48eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
5023, 25, 10adddird 9515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^
3 )  x.  A
) ) )
5135, 21, 10mulassd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) ) )
5210, 20, 10mul32d 9683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5310sqvald 12115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
5453oveq1d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  A )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5552, 54eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
5655oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5751, 56eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A )  =  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5825, 10mulcomd 9511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
5957, 58oveq12d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  A ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6050, 59eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
6149, 60oveq12d 6211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6229, 61eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) ) )
6319, 26, 15adddird 9515 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) ) )
6412, 18, 15adddird 9515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) ) )
6535, 16, 15mulassd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B ) ) )
6614, 15, 15mulassd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B ) ) )
6715sqvald 12115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
6867oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B  x.  B
) ) )
6966, 68eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  x.  B
)  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
7069oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( ( A ^
2 )  x.  B
)  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7165, 70eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
7271oveq2d 6209 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7364, 72eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
7423, 25, 15adddird 9515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^
3 )  x.  B
) ) )
7535, 21, 15mulassd 9513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) ) )
7610, 20, 15mulassd 9513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( ( B ^
2 )  x.  B
) ) )
7738oveq2i 6204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
78 expp1 11982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
7915, 40, 78sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
8077, 79syl5req 2505 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  B
)  =  ( B ^ 3 ) )
8180oveq2d 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
8276, 81eqtrd 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B )  =  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )
8382oveq2d 6209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
8475, 83eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )
851oveq2i 6204 . . . . . . . . 9  |-  ( B ^ 4 )  =  ( B ^ (
3  +  1 ) )
86 expp1 11982 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8715, 4, 86sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
3  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )
8885, 87syl5req 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
3 )  x.  B
)  =  ( B ^ 4 ) )
8984, 88oveq12d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  B
)  +  ( ( B ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9074, 89eqtrd 2492 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
9173, 90oveq12d 6211 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
9212, 15mulcld 9510 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )
9314, 20mulcld 9510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
94 mulcl 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9513, 93, 94sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
9610, 25mulcld 9510 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
97 mulcl 9470 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )  -> 
( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
9813, 96, 97sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  e.  CC )
99 4nn0 10702 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
100 expcl 11993 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 4 )  e.  CC )
10115, 99, 100sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 4 )  e.  CC )
10298, 101addcld 9509 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  e.  CC )
10392, 95, 102addassd 9512 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
10463, 91, 1033eqtrd 2496 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  B )  =  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
10562, 104oveq12d 6211 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  A
)  +  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^
3 )  x.  B
)  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
106 expcl 11993 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  4  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 4 )  e.  CC )
10710, 99, 106sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 4 )  e.  CC )
108 mulcl 9470 . . . . . . 7  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  ( ( A ^
3 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  e.  CC )
10913, 92, 108sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  e.  CC )
110107, 109addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
11195, 96addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  e.  CC )
11295, 102addcld 9509 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  e.  CC )
113110, 111, 92, 112add4d 9697 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) ) )
114107, 109, 92addassd 9512 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
1151oveq1i 6203 . . . . . . . . 9  |-  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )
116 ax-1cn 9444 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
117116a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
11835, 117, 92adddird 9515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  1 )  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
119115, 118syl5eq 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12092mulid2d 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )
121120oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
122119, 121eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )
123122oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
124114, 123eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) ) )
12595, 96, 95, 102add4d 9697 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
126 3p3e6 10559 . . . . . . . . 9  |-  ( 3  +  3 )  =  6
127126oveq1i 6203 . . . . . . . 8  |-  ( ( 3  +  3 )  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
12835, 35, 93adddird 9515 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
129127, 128syl5eqr 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
130 3p1e4 10551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 3  +  1 )  =  4
13113, 116, 130addcomli 9665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  +  3 )  =  4
132131oveq1i 6203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
133117, 35, 96adddird 9515 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  3 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
134132, 133syl5eqr 2506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
13596mulid2d 9508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )
136135oveq1d 6208 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
137134, 136eqtrd 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
138137oveq1d 6208 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) )
13996, 98, 101addassd 9512 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
140138, 139eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^
3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )
141129, 140oveq12d 6211 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) )  =  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 3 ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
142125, 141eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) )  =  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) )
143124, 142oveq12d 6211 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
3 )  x.  B
) )  +  ( ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
144113, 143eqtrd 2492 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) ) )  +  ( ( ( A ^ 3 )  x.  B )  +  ( ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  (
( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  (
( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
14528, 105, 1443eqtrd 2496 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )  x.  ( A  +  B ) )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^
3 )  x.  B
) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^
3 ) ) )  +  ( B ^
4 ) ) ) ) )
1467, 9, 1453eqtrd 2496 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 4 )  =  ( ( ( A ^ 4 )  +  ( 4  x.  ( ( A ^ 3 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 6  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( 4  x.  ( A  x.  ( B ^ 3 ) ) )  +  ( B ^ 4 ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758  (class class class)co 6193   CCcc 9384   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391   2c2 10475   3c3 10476   4c4 10477   6c6 10479   NN0cn0 10683   ^cexp 11975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-seq 11917  df-exp 11976
This theorem is referenced by:  quart1  22377
  Copyright terms: Public domain W3C validator