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Theorem binom3 12006
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 10402 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21oveq2i 6123 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )
3 addcl 9385 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 2nn0 10617 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 expp1 11893 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2487 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 sqcl 11949 . . . . 5  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
10 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
129, 10, 11adddid 9431 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) ) )
13 binom2 12002 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1413oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )
15 sqcl 11949 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
1610, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
17 2cn 10413 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
18 mulcl 9387 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
19 mulcl 9387 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
2116, 20addcld 9426 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
22 sqcl 11949 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2421, 23, 10adddird 9432 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) ) )
2516, 20, 10adddird 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
261oveq2i 6123 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
27 expp1 11893 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2810, 4, 27sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2926, 28syl5eq 2487 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
30 sqval 11946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3231oveq1d 6127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
3310, 10, 11mul32d 9600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3432, 33eqtrd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3534oveq2d 6128 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3617a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
3736, 18, 10mulassd 9430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3835, 37eqtr4d 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) )
3929, 38oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
4025, 39eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
4123, 10mulcomd 9428 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
4240, 41oveq12d 6130 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4314, 24, 423eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4413oveq1d 6127 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )
4521, 23, 11adddird 9432 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
46 sqval 11946 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
4711, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
4847oveq2d 6128 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  B
) ) )
4910, 11, 11mulassd 9430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  B
)  =  ( A  x.  ( B  x.  B ) ) )
5048, 49eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  B ) )
5150oveq2d 6128 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5236, 18, 11mulassd 9430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5351, 52eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) )
5453oveq2d 6128 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5516, 20, 11adddird 9432 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5654, 55eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B ) )
571oveq2i 6123 . . . . . . . 8  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
58 expp1 11893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
5911, 4, 58sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6057, 59syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6156, 60oveq12d 6130 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
6216, 11mulcld 9427 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6310, 23mulcld 9427 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
64 mulcl 9387 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
6517, 63, 64sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
66 3nn0 10618 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
67 expcl 11904 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
6811, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
6962, 65, 68addassd 9429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7061, 69eqtr3d 2477 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7144, 45, 703eqtrd 2479 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7243, 71oveq12d 6130 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73 expcl 11904 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
7410, 66, 73sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
75 mulcl 9387 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
7617, 62, 75sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
7774, 76addcld 9426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
7865, 68addcld 9426 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
7977, 63, 62, 78add4d 9614 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8012, 72, 793eqtrd 2479 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8174, 76, 62addassd 9429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
821oveq1i 6122 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )
83 ax-1cn 9361 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8483a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8536, 84, 62adddird 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8682, 85syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8762mulid2d 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
8887oveq2d 6128 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8986, 88eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
9089oveq2d 6128 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
9181, 90eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
92 1p2e3 10467 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
9392oveq1i 6122 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9484, 36, 63adddird 9432 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9593, 94syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9663mulid2d 9425 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9796oveq1d 6127 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9895, 97eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9998oveq1d 6127 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10063, 65, 68addassd 9429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
10199, 100eqtr2d 2476 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10291, 101oveq12d 6130 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
1037, 80, 1023eqtrd 2479 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756  (class class class)co 6112   CCcc 9301   1c1 9304    + caddc 9306    x. cmul 9308   2c2 10392   3c3 10393   NN0cn0 10600   ^cexp 11886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-seq 11828  df-exp 11887
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  22260  mcubic  22264  binom4  22267
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