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Theorem binom3 12255
Description: The cube of a binomial. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
binom3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )

Proof of Theorem binom3
StepHypRef Expression
1 df-3 10595 . . . 4  |-  3  =  ( 2  +  1 )
21oveq2i 6295 . . 3  |-  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )
3 addcl 9574 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
4 2nn0 10812 . . . 4  |-  2  e.  NN0
5 expp1 12141 . . . 4  |-  ( ( ( A  +  B
)  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
63, 4, 5sylancl 662 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
72, 6syl5eq 2520 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A  +  B
) ^ 2 )  x.  ( A  +  B ) ) )
8 sqcl 12198 . . . . 5  |-  ( ( A  +  B )  e.  CC  ->  (
( A  +  B
) ^ 2 )  e.  CC )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  e.  CC )
10 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
129, 10, 11adddid 9620 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) ) )
13 binom2 12251 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
1413oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A ) )
15 sqcl 12198 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
1610, 15syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
17 2cn 10606 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
18 mulcl 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  B
)  e.  CC )
19 mulcl 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  e.  CC )
2017, 18, 19sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  B )
)  e.  CC )
2116, 20addcld 9615 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  e.  CC )
22 sqcl 12198 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2311, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2421, 23, 10adddird 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  A
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) ) )
2516, 20, 10adddird 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
261oveq2i 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( A ^ 3 )  =  ( A ^ (
2  +  1 ) )
27 expp1 12141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2810, 4, 27sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
2926, 28syl5eq 2520 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  A ) )
30 sqval 12195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A
) )
3110, 30syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( A  x.  A ) )
3231oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  A )  x.  B ) )
3310, 10, 11mul32d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  A )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3432, 33eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( A  x.  B )  x.  A ) )
3534oveq2d 6300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3617a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  2  e.  CC )
3736, 18, 10mulassd 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  A
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  A ) ) )
3835, 37eqtr4d 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) )
3929, 38oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  A ) ) )
4025, 39eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  A
)  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
4123, 10mulcomd 9617 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( B ^
2 )  x.  A
)  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
4240, 41oveq12d 6302 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  A )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  A ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4314, 24, 423eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  A
)  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
4413oveq1d 6299 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B ) )
4521, 23, 11adddird 9621 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
46 sqval 12195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B
) )
4711, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( B  x.  B ) )
4847oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( A  x.  ( B  x.  B
) ) )
4910, 11, 11mulassd 9619 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  B )  x.  B
)  =  ( A  x.  ( B  x.  B ) ) )
5048, 49eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  x.  B )  x.  B ) )
5150oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5236, 18, 11mulassd 9619 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  B
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( A  x.  B )  x.  B ) ) )
5351, 52eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) )
5453oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5516, 20, 11adddird 9621 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  B ) )  x.  B ) ) )
5654, 55eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B ) )
571oveq2i 6295 . . . . . . . 8  |-  ( B ^ 3 )  =  ( B ^ (
2  +  1 ) )
58 expp1 12141 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
5911, 4, 58sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ (
2  +  1 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6057, 59syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )
6156, 60oveq12d 6302 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) ) )
6216, 11mulcld 9616 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )
6310, 23mulcld 9616 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
64 mulcl 9576 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
6517, 63, 64sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
66 3nn0 10813 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
67 expcl 12152 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( B ^ 3 )  e.  CC )
6811, 66, 67sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 3 )  e.  CC )
6962, 65, 68addassd 9618 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7061, 69eqtr3d 2510 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B
) ) )  x.  B )  +  ( ( B ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7144, 45, 703eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  B
)  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
7243, 71oveq12d 6302 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  A )  +  ( ( ( A  +  B ) ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
73 expcl 12152 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  3  e.  NN0 )  -> 
( A ^ 3 )  e.  CC )
7410, 66, 73sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 3 )  e.  CC )
75 mulcl 9576 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( ( A ^
2 )  x.  B
)  e.  CC )  ->  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  e.  CC )
7617, 62, 75sylancr 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  e.  CC )
7774, 76addcld 9615 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  e.  CC )
7865, 68addcld 9615 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  e.  CC )
7977, 63, 62, 78add4d 9803 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( A ^ 2 )  x.  B )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8012, 72, 793eqtrd 2512 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  +  B ) ^
2 )  x.  ( A  +  B )
)  =  ( ( ( ( A ^
3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) ) )
8174, 76, 62addassd 9618 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
821oveq1i 6294 . . . . . . 7  |-  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )
83 ax-1cn 9550 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
8483a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
8536, 84, 62adddird 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  +  1 )  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8682, 85syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
8762mulid2d 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )
8887oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( 1  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
8986, 88eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )
9089oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A ^
3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( ( 2  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
9181, 90eqtr4d 2511 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) )  =  ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) ) )
92 1p2e3 10660 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  2 )  =  3
9392oveq1i 6294 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9484, 36, 63adddird 9621 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  +  2 )  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9593, 94syl5eqr 2522 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9663mulid2d 9614 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )
9796oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 1  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9895, 97eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9998oveq1d 6299 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10063, 65, 68addassd 9618 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( A  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  +  ( B ^ 3 ) )  =  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
10199, 100eqtr2d 2509 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^
2 ) ) )  +  ( B ^
3 ) ) )  =  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) )
10291, 101oveq12d 6302 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 2  x.  ( ( A ^
2 )  x.  B
) ) )  +  ( ( A ^
2 )  x.  B
) )  +  ( ( A  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( 2  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  (
( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
1037, 80, 1023eqtrd 2512 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 3 )  =  ( ( ( A ^ 3 )  +  ( 3  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  B ) ) )  +  ( ( 3  x.  ( A  x.  ( B ^ 2 ) ) )  +  ( B ^ 3 ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   CCcc 9490   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497   2c2 10585   3c3 10586   NN0cn0 10795   ^cexp 12134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-seq 12076  df-exp 12135
This theorem is referenced by:  dcubic1lem  22930  mcubic  22934  binom4  22937
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