MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom2 Structured version   Unicode version

Theorem binom2 12235
Description: The square of a binomial. (Contributed by FL, 10-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
binom2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )

Proof of Theorem binom2
StepHypRef Expression
1 oveq1 6239 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  +  B
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  B ) )
21oveq1d 6247 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  +  B
) ^ 2 ) )
3 oveq1 6239 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A ^ 2 )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 ) )
4 oveq1 6239 . . . . . 6  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( A  x.  B
)  =  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) )
54oveq2d 6248 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( 2  x.  ( A  x.  B )
)  =  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )
63, 5oveq12d 6250 . . . 4  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) ) )
76oveq1d 6247 . . 3  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B )
) )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^
2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) )
82, 7eqeq12d 2422 . 2  |-  ( A  =  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  -> 
( ( ( A  +  B ) ^
2 )  =  ( ( ( A ^
2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  B ) ^
2 )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) ) ) )
9 oveq2 6240 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  B )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  +  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
109oveq1d 6247 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  B ) ^
2 )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) ^
2 ) )
11 oveq2 6240 . . . . . 6  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B )  =  ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) )
1211oveq2d 6248 . . . . 5  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ) ) )
1312oveq2d 6248 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )  =  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) ) )
14 oveq1 6239 . . . 4  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ^ 2 ) )
1513, 14oveq12d 6250 . . 3  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )  +  ( if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ^ 2 ) ) )
1610, 15eqeq12d 2422 . 2  |-  ( B  =  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  -> 
( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  B ) ^
2 )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  B ) ) )  +  ( B ^ 2 ) )  <-> 
( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  +  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )  +  ( if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ^ 2 ) ) ) )
17 0cn 9536 . . . 4  |-  0  e.  CC
1817elimel 3944 . . 3  |-  if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  e.  CC
1917elimel 3944 . . 3  |-  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 )  e.  CC
2018, 19binom2i 12230 . 2  |-  ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 )  +  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( if ( A  e.  CC ,  A , 
0 ) ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( if ( A  e.  CC ,  A ,  0 )  x.  if ( B  e.  CC ,  B ,  0 ) ) ) )  +  ( if ( B  e.  CC ,  B , 
0 ) ^ 2 ) )
218, 16, 20dedth2h 3934 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  +  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( A ^ 2 )  +  ( 2  x.  ( A  x.  B ) ) )  +  ( B ^
2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   ifcif 3882  (class class class)co 6232   CCcc 9438   0cc0 9440    + caddc 9443    x. cmul 9445   2c2 10544   ^cexp 12118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-seq 12060  df-exp 12119
This theorem is referenced by:  binom21  12236  binom2sub  12237  binom3  12239  sqrlem7  13136  abstri  13217  sqreulem  13246  amgm2  13256  pythagtriplem1  14439  pythagtriplem12  14449  tchcphlem1  21860  csbren  22008  trirn  22009  tanarg  23188  heron  23384  quad2  23385  dquartlem2  23398  dquart  23399  quart1  23402  stirlinglem10  37200
  Copyright terms: Public domain W3C validator