MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binom11 Structured version   Unicode version

Theorem binom11 13610
Description: Special case of the binomial theorem for  2 ^ N. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
binom11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( N  _C  k
) )
Distinct variable group:    k, N

Proof of Theorem binom11
StepHypRef Expression
1 df-2 10595 . . . 4  |-  2  =  ( 1  +  1 )
21oveq1i 6295 . . 3  |-  ( 2 ^ N )  =  ( ( 1  +  1 ) ^ N
)
3 ax-1cn 9551 . . . 4  |-  1  e.  CC
4 binom1p 13609 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( 1  +  1 ) ^ N
)  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( 1 ^ k
) ) )
53, 4mpan 670 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 1  +  1 ) ^ N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
1 ^ k ) ) )
62, 5syl5eq 2520 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( ( N  _C  k )  x.  (
1 ^ k ) ) )
7 elfzelz 11689 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  k  e.  ZZ )
8 1exp 12164 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
1 ^ k )  =  1 )
109oveq2d 6301 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( 1 ^ k ) )  =  ( ( N  _C  k )  x.  1 ) )
11 bccl2 12370 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e.  NN )
1211nncnd 10553 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  k )  e.  CC )
1312mulid1d 9614 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  1 )  =  ( N  _C  k ) )
1410, 13eqtrd 2508 . . 3  |-  ( k  e.  ( 0 ... N )  ->  (
( N  _C  k
)  x.  ( 1 ^ k ) )  =  ( N  _C  k ) )
1514sumeq2i 13487 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... N
) ( ( N  _C  k )  x.  ( 1 ^ k
) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( N  _C  k )
166, 15syl6eq 2524 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 2 ^ N )  = 
sum_ k  e.  ( 0 ... N ) ( N  _C  k
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498   2c2 10586   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11673   ^cexp 12135    _C cbc 12349   sum_csu 13474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-seq 12077  df-exp 12136  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475
This theorem is referenced by:  chtublem  23311
  Copyright terms: Public domain W3C validator