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Theorem bgoldbwt 38498
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbwt  |-  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
Distinct variable group:    m, n

Proof of Theorem bgoldbwt
Dummy variables  p  q  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oddz 38380 . . . 4  |-  ( m  e. Odd  ->  m  e.  ZZ )
2 5nn 10766 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN
32nnzi 10957 . . . . . . 7  |-  5  e.  ZZ
4 zltp1le 10982 . . . . . . 7  |-  ( ( 5  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 5  <  m  <->  ( 5  +  1 )  <_  m ) )
53, 4mpan 674 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
5  <  m  <->  ( 5  +  1 )  <_  m ) )
6 5p1e6 10733 . . . . . . . . 9  |-  ( 5  +  1 )  =  6
76breq1i 4424 . . . . . . . 8  |-  ( ( 5  +  1 )  <_  m  <->  6  <_  m )
8 6re 10686 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  6  e.  RR )
10 zre 10937 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  RR )
119, 10leloed 9774 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
6  <_  m  <->  ( 6  <  m  \/  6  =  m ) ) )
127, 11syl5bb 260 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 5  +  1 )  <_  m  <->  ( 6  <  m  \/  6  =  m ) ) )
13 6nn 10767 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  NN
1413nnzi 10957 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  ZZ
15 zltp1le 10982 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( 6  <  m  <->  ( 6  +  1 )  <_  m ) )
1614, 15mpan 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
6  <  m  <->  ( 6  +  1 )  <_  m ) )
17 6p1e7 10734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 6  +  1 )  =  7
1817breq1i 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 6  +  1 )  <_  m  <->  7  <_  m )
19 7re 10688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  7  e.  RR
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  ZZ  ->  7  e.  RR )
2120, 10leloed 9774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
7  <_  m  <->  ( 7  <  m  \/  7  =  m ) ) )
2218, 21syl5bb 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 6  +  1 )  <_  m  <->  ( 7  <  m  \/  7  =  m ) ) )
23 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  m  e. Odd  )
24 3odd 38455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  3  e. Odd
2523, 24jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( m  e. Odd  /\  3  e. Odd  ) )
26 omoeALTV 38434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  e. Odd  /\  3  e. Odd  )  ->  ( m  -  3 )  e. Even 
)
27 breq2 4421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( m  - 
3 )  ->  (
4  <  n  <->  4  <  ( m  -  3 ) ) )
28 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  =  ( m  - 
3 )  ->  (
n  e. GoldbachEven  <->  ( m  - 
3 )  e. GoldbachEven  ) )
2927, 28imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( m  - 
3 )  ->  (
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  <->  ( 4  <  ( m  - 
3 )  ->  (
m  -  3 )  e. GoldbachEven  ) ) )
3029rspcv 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  -  3 )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
4  <  ( m  -  3 )  -> 
( m  -  3 )  e. GoldbachEven  ) ) )
3125, 26, 303syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( A. n  e. Even 
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
4  <  ( m  -  3 )  -> 
( m  -  3 )  e. GoldbachEven  ) ) )
32 4p3e7 10741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 4  +  3 )  =  7
3332eqcomi 2433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  7  =  ( 4  +  3 )
3433breq1i 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 7  <  m  <->  ( 4  +  3 )  < 
m )
35 4re 10682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  4  e.  RR
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ZZ  ->  4  e.  RR )
37 3re 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  3  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  e.  ZZ  ->  3  e.  RR )
39 ltaddsub 10084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 4  +  3 )  <  m  <->  4  <  ( m  -  3 ) ) )
4039biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  3  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  (
( 4  +  3 )  <  m  -> 
4  <  ( m  -  3 ) ) )
4136, 38, 10, 40syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 4  +  3 )  <  m  -> 
4  <  ( m  -  3 ) ) )
4234, 41syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
7  <  m  ->  4  <  ( m  - 
3 ) ) )
4342impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  ->  4  <  ( m  -  3 ) )
4443adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  4  <  ( m  -  3 ) )
45 pm2.27 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 4  <  ( m  - 
3 )  ->  (
( 4  <  (
m  -  3 )  ->  ( m  - 
3 )  e. GoldbachEven  )  -> 
( m  -  3 )  e. GoldbachEven  ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( ( 4  < 
( m  -  3 )  ->  ( m  -  3 )  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  - 
3 )  e. GoldbachEven  ) )
47 isgbe 38472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( m  -  3 )  e. GoldbachEven 
<->  ( ( m  - 
3 )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  (
m  -  3 )  =  ( p  +  q ) ) ) )
48 3prm 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  3  e.  Prime
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( m  e.  ZZ  ->  3  e.  Prime )
50 zcn 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  e.  CC )
51 3cn 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  3  e.  CC
5250, 51jctir 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
m  e.  CC  /\  3  e.  CC )
)
53 npcan 9880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( m  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( m  - 
3 )  +  3 )  =  m )
5453eqcomd 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( m  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  m  =  ( ( m  -  3 )  +  3 ) )
5552, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( m  e.  ZZ  ->  m  =  ( ( m  -  3 )  +  3 ) )
56 oveq2 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( 3  =  r  ->  (
( m  -  3 )  +  3 )  =  ( ( m  -  3 )  +  r ) )
5756eqcoms 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( r  =  3  ->  (
( m  -  3 )  +  3 )  =  ( ( m  -  3 )  +  r ) )
5855, 57sylan9eq 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  e.  ZZ  /\  r  =  3 )  ->  m  =  ( ( m  -  3 )  +  r ) )
5949, 58rspcedeq2vd 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( m  e.  ZZ  ->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( m  -  3 )  +  r ) )
60 oveq1 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( m  -  3 )  =  ( p  +  q )  ->  (
( m  -  3 )  +  r )  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )
6160eqeq2d 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( m  -  3 )  =  ( p  +  q )  ->  (
m  =  ( ( m  -  3 )  +  r )  <->  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6261rexbidv 2937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( m  -  3 )  =  ( p  +  q )  ->  ( E. r  e.  Prime  m  =  ( ( m  -  3 )  +  r )  <->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6359, 62syl5ib 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( m  -  3 )  =  ( p  +  q )  ->  (
m  e.  ZZ  ->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
64633ad2ant3 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6564com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  -  3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6665ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  /\  p  e. 
Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  -  3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6766reximdva 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( 7  < 
m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  /\  p  e. 
Prime )  ->  ( E. q  e.  Prime  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6867reximdva 2898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( E. p  e. 
Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
6968, 23jctild 545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( E. p  e. 
Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( m  e. Odd  /\  E. p  e. 
Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
70 isgbo 38473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( m  e. GoldbachOdd 
<->  ( m  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  m  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
7169, 70syl6ibr 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( E. p  e. 
Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) )  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
7271adantld 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( ( ( m  -  3 )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( m  - 
3 )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
7347, 72syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( ( m  - 
3 )  e. GoldbachEven  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
7431, 46, 733syld 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  /\  m  e. Odd  )  ->  ( A. n  e. Even 
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
7574ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( m  e. Odd  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) )
7675com23 81 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 7  <  m  /\  m  e.  ZZ )  ->  ( A. n  e. Even 
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) )
7776ex 435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 7  <  m  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
78 7gbo 38493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  7  e. GoldbachOdd
79 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 7  =  m  ->  (
7  e. GoldbachOdd  <->  m  e. GoldbachOdd  ) )
8078, 79mpbii 214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 7  =  m  ->  m  e. GoldbachOdd  )
8180a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 7  =  m  ->  (
m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
8281a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  =  m  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) )
8382a1d 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 7  =  m  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
8477, 83jaoi 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 7  <  m  \/  7  =  m )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd 
->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
8584com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 7  <  m  \/  7  =  m
)  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd 
->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
8622, 85sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 6  +  1 )  <_  m  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
8716, 86sylbid 218 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
6  <  m  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
8887com12 32 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  <  m  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
89 eleq1 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  =  m  ->  (
6  e. Odd  <->  m  e. Odd  ) )
90 6even 38458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e. Even
91 evennodd 38393 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 6  e. Even  ->  -.  6  e. Odd  )
9291pm2.21d 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 6  e. Even  ->  ( 6  e. Odd 
->  m  e. GoldbachOdd  ) )
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 6  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  )
9489, 93syl6bir 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  =  m  ->  (
m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
9594a1d 26 . . . . . . . . . 10  |-  ( 6  =  m  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) )
9695a1d 26 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  =  m  ->  (
m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
9788, 96jaoi 380 . . . . . . . 8  |-  ( ( 6  <  m  \/  6  =  m )  ->  ( m  e.  ZZ  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd 
->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
9897com12 32 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 6  <  m  \/  6  =  m
)  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd 
->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
9912, 98sylbid 218 . . . . . 6  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
( 5  +  1 )  <_  m  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
1005, 99sylbid 218 . . . . 5  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
5  <  m  ->  ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( m  e. Odd  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
101100com24 90 . . . 4  |-  ( m  e.  ZZ  ->  (
m  e. Odd  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( 5  < 
m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) ) )
1021, 101mpcom 37 . . 3  |-  ( m  e. Odd  ->  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) ) )
103102impcom 431 . 2  |-  ( ( A. n  e. Even  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  /\  m  e. Odd 
)  ->  ( 5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
104103ralrimiva 2837 1  |-  ( A. n  e. Even  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  A. m  e. Odd  (
5  <  m  ->  m  e. GoldbachOdd  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   CCcc 9533   RRcr 9534   1c1 9536    + caddc 9538    < clt 9671    <_ cle 9672    - cmin 9856   3c3 10656   4c4 10657   5c5 10658   6c6 10659   7c7 10660   ZZcz 10933   Primecprime 14600   Even ceven 38373   Odd codd 38374   GoldbachEven cgbe 38466   GoldbachOdd cgbo 38467
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-inf 7955  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-seq 12207  df-exp 12266  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-prm 14601  df-even 38375  df-odd 38376  df-gbe 38469  df-gbo 38470
This theorem is referenced by:  bgoldbnnsum3prm  38519
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