Theorem bgoldbwt 38872

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbwt	|- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )

Distinct variable group:   m, n

Proof of Theorem bgoldbwt

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 38754	. . . 4 |- ( m e. Odd -> m e. ZZ )
2		5nn 10767	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
3	2	nnzi 10958	. . . . . . 7 |- 5 e. ZZ
4		zltp1le 10983	. . . . . . 7 |- ( ( 5 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
5	3, 4	mpan 675	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
6		5p1e6 10734	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 1 ) = 6
7	6	breq1i 4408	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> 6 <_ m )
8		6re 10687	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> 6 e. RR )
10		zre 10938	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
11	9, 10	leloed 9775	. . . . . . . 8 |- ( m e. ZZ -> ( 6 <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
12	7, 11	syl5bb 261	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
13		6nn 10768	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
14	13	nnzi 10958	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. ZZ
15		zltp1le 10983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 6 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
16	14, 15	mpan 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
17		6p1e7 10735	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 + 1 ) = 7
18	17	breq1i 4408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> 7 <_ m )
19		7re 10689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 7 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ZZ -> 7 e. RR )
21	20, 10	leloed 9775	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( 7 <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
22	18, 21	syl5bb 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
23		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> m e. Odd )
24		3odd 38829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. Odd
25	23, 24	jctir 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) )
26		omoeALTV 38808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) -> ( m - 3 ) e. Even )
27		breq2 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( 4 < n <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
28		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( n e. GoldbachEven <-> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
29	27, 28	imbi12d 322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) <-> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
30	29	rspcv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. Even -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
32		4p3e7 10742	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 + 3 ) = 7
33	32	eqcomi 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 7 = ( 4 + 3 )
34	33	breq1i 4408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 7 < m <-> ( 4 + 3 ) < m )
35		4re 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 4 e. RR )
37		3re 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 3 e. RR )
39		ltaddsub 10085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
40	39	biimpd 211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. ZZ -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
42	34, 41	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ZZ -> ( 7 < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
43	42	impcom 432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> 4 < ( m - 3 ) )
44	43	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> 4 < ( m - 3 ) )
45		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 < ( m - 3 ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
47		isgbe 38846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven <-> ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) )
48		3prm 14634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 3 e. Prime
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( m e. ZZ -> 3 e. Prime )
50		zcn 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
51		3cn 10681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 e. CC
52	50, 51	jctir 541	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m e. CC /\ 3 e. CC ) )
53		npcan 9881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = m )
54	53	eqcomd 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ZZ -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
56		oveq2 6296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 3 = r -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
57	56	eqcoms 2458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( r = 3 -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
58	55, 57	sylan9eq 2504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m e. ZZ /\ r = 3 ) -> m = ( ( m - 3 ) + r ) )
59	49, 58	rspcedeq2vd 3156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) )
60		oveq1 6295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( ( m - 3 ) + r ) = ( ( p + q ) + r ) )
61	60	eqeq2d 2460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> m = ( ( p + q ) + r ) ) )
62	61	rexbidv 2900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
63	59, 62	syl5ib 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
64	63	3ad2ant3 1030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m e. ZZ -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
66	65	ad4antlr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
67	66	reximdva 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) -> ( E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
68	67	reximdva 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
69	68, 23	jctild 546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
70		isgbo 38847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. GoldbachOdd <-> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
71	69, 70	syl6ibr 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> m e. GoldbachOdd ) )
72	71	adantld 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) -> m e. GoldbachOdd ) )
73	47, 72	syl5bi 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven -> m e. GoldbachOdd ) )
74	31, 46, 73	3syld 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOdd ) )
75	74	ex 436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOdd ) ) )
76	75	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
77	76	ex 436	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
78		7gbo 38867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. GoldbachOdd
79		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 7 = m -> ( 7 e. GoldbachOdd <-> m e. GoldbachOdd ) )
80	78, 79	mpbii 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 7 = m -> m e. GoldbachOdd )
81	80	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 7 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
82	81	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
83	82	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
84	77, 83	jaoi 381	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
86	22, 85	sylbid 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
87	16, 86	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( 6 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
89		eleq1 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 = m -> ( 6 e. Odd <-> m e. Odd ) )
90		6even 38832	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. Even
91		evennodd 38767	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 e. Even -> -. 6 e. Odd )
92	91	pm2.21d 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 e. Even -> ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOdd )
94	89, 93	syl6bir 233	. . . . . . . . . . 11 |- ( 6 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
95	94	a1d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
96	95	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( 6 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
97	88, 96	jaoi 381	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
98	97	com12 32	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
99	12, 98	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
100	5, 99	sylbid 219	. . . . 5 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
101	100	com24 90	. . . 4 |- ( m e. ZZ -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
102	1, 101	mpcom 37	. . 3 |- ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) ) )
103	102	impcom 432	. 2 |- ( ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) /\ m e. Odd ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )
104	103	ralrimiva 2801	1 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 984   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   1c1 9537   + caddc 9539   < clt 9672   <_ cle 9673   - cmin 9857   3c3 10657   4c4 10658   5c5 10659   6c6 10660   7c7 10661   ZZcz 10934   Primecprime 14615   Even ceven 38747   Odd codd 38748   GoldbachEven cgbe 38840   GoldbachOdd cgbo 38841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fz 11782  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-prm 14616  df-even 38749  df-odd 38750  df-gbe 38843  df-gbo 38844

This theorem is referenced by:  bgoldbnnsum3prm  38893