Theorem bgoldbwt 38498

Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then the (weak) ternary Goldbach conjecture holds, too. (Contributed by AV, 20-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
bgoldbwt	|- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )

Distinct variable group:   m, n

Proof of Theorem bgoldbwt

Dummy variables p q r are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oddz 38380	. . . 4 |- ( m e. Odd -> m e. ZZ )
2		5nn 10766	. . . . . . . 8 |- 5 e. NN
3	2	nnzi 10957	. . . . . . 7 |- 5 e. ZZ
4		zltp1le 10982	. . . . . . 7 |- ( ( 5 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
5	3, 4	mpan 674	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m <-> ( 5 + 1 ) <_ m ) )
6		5p1e6 10733	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 1 ) = 6
7	6	breq1i 4424	. . . . . . . 8 |- ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> 6 <_ m )
8		6re 10686	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. RR
9	8	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> 6 e. RR )
10		zre 10937	. . . . . . . . 9 |- ( m e. ZZ -> m e. RR )
11	9, 10	leloed 9774	. . . . . . . 8 |- ( m e. ZZ -> ( 6 <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
12	7, 11	syl5bb 260	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m <-> ( 6 < m \/ 6 = m ) ) )
13		6nn 10767	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. NN
14	13	nnzi 10957	. . . . . . . . . . . 12 |- 6 e. ZZ
15		zltp1le 10982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 6 e. ZZ /\ m e. ZZ ) -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
16	14, 15	mpan 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m <-> ( 6 + 1 ) <_ m ) )
17		6p1e7 10734	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 + 1 ) = 7
18	17	breq1i 4424	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> 7 <_ m )
19		7re 10688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 7 e. RR
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. ZZ -> 7 e. RR )
21	20, 10	leloed 9774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. ZZ -> ( 7 <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
22	18, 21	syl5bb 260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m <-> ( 7 < m \/ 7 = m ) ) )
23		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> m e. Odd )
24		3odd 38455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 3 e. Odd
25	23, 24	jctir 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) )
26		omoeALTV 38434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m e. Odd /\ 3 e. Odd ) -> ( m - 3 ) e. Even )
27		breq2 4421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( 4 < n <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
28		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( n e. GoldbachEven <-> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
29	27, 28	imbi12d 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( n = ( m - 3 ) -> ( ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) <-> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
30	29	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. Even -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
31	25, 26, 30	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) ) )
32		4p3e7 10741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( 4 + 3 ) = 7
33	32	eqcomi 2433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 7 = ( 4 + 3 )
34	33	breq1i 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( 7 < m <-> ( 4 + 3 ) < m )
35		4re 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 4 e. RR
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 4 e. RR )
37		3re 10679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- 3 e. RR
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( m e. ZZ -> 3 e. RR )
39		ltaddsub 10084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m <-> 4 < ( m - 3 ) ) )
40	39	biimpd 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 4 e. RR /\ 3 e. RR /\ m e. RR ) -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
41	36, 38, 10, 40	syl3anc 1264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( m e. ZZ -> ( ( 4 + 3 ) < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
42	34, 41	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. ZZ -> ( 7 < m -> 4 < ( m - 3 ) ) )
43	42	impcom 431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> 4 < ( m - 3 ) )
44	43	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> 4 < ( m - 3 ) )
45		pm2.27 40	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 4 < ( m - 3 ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( 4 < ( m - 3 ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) -> ( m - 3 ) e. GoldbachEven ) )
47		isgbe 38472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven <-> ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) )
48		3prm 14619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- 3 e. Prime
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( m e. ZZ -> 3 e. Prime )
50		zcn 10938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( m e. ZZ -> m e. CC )
51		3cn 10680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- 3 e. CC
52	50, 51	jctir 540	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( m e. ZZ -> ( m e. CC /\ 3 e. CC ) )
53		npcan 9880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = m )
54	53	eqcomd 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( ( m e. CC /\ 3 e. CC ) -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
55	52, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( m e. ZZ -> m = ( ( m - 3 ) + 3 ) )
56		oveq2 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 |- ( 3 = r -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
57	56	eqcoms 2432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( r = 3 -> ( ( m - 3 ) + 3 ) = ( ( m - 3 ) + r ) )
58	55, 57	sylan9eq 2481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m e. ZZ /\ r = 3 ) -> m = ( ( m - 3 ) + r ) )
59	49, 58	rspcedeq2vd 3186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) )
60		oveq1 6304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( ( m - 3 ) + r ) = ( ( p + q ) + r ) )
61	60	eqeq2d 2434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> m = ( ( p + q ) + r ) ) )
62	61	rexbidv 2937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( E. r e. Prime m = ( ( m - 3 ) + r ) <-> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
63	59, 62	syl5ib 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( m - 3 ) = ( p + q ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
64	63	3ad2ant3 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. ZZ -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
65	64	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( m e. ZZ -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
66	65	ad4antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) /\ q e. Prime ) -> ( ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
67	66	reximdva 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) /\ p e. Prime ) -> ( E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
68	67	reximdva 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
69	68, 23	jctild 545	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) ) )
70		isgbo 38473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( m e. GoldbachOdd <-> ( m e. Odd /\ E. p e. Prime E. q e. Prime E. r e. Prime m = ( ( p + q ) + r ) ) )
71	69, 70	syl6ibr 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) -> m e. GoldbachOdd ) )
72	71	adantld 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( ( m - 3 ) e. Even /\ E. p e. Prime E. q e. Prime ( p e. Odd /\ q e. Odd /\ ( m - 3 ) = ( p + q ) ) ) -> m e. GoldbachOdd ) )
73	47, 72	syl5bi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( ( m - 3 ) e. GoldbachEven -> m e. GoldbachOdd ) )
74	31, 46, 73	3syld 57	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) /\ m e. Odd ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOdd ) )
75	74	ex 435	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> m e. GoldbachOdd ) ) )
76	75	com23 81	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 7 < m /\ m e. ZZ ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
77	76	ex 435	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
78		7gbo 38493	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 7 e. GoldbachOdd
79		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 7 = m -> ( 7 e. GoldbachOdd <-> m e. GoldbachOdd ) )
80	78, 79	mpbii 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( 7 = m -> m e. GoldbachOdd )
81	80	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 7 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
82	81	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 7 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
83	82	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 7 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
84	77, 83	jaoi 380	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
85	84	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. ZZ -> ( ( 7 < m \/ 7 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
86	22, 85	sylbid 218	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
87	16, 86	sylbid 218	. . . . . . . . . 10 |- ( m e. ZZ -> ( 6 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
88	87	com12 32	. . . . . . . . 9 |- ( 6 < m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
89		eleq1 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 = m -> ( 6 e. Odd <-> m e. Odd ) )
90		6even 38458	. . . . . . . . . . . . 13 |- 6 e. Even
91		evennodd 38393	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 6 e. Even -> -. 6 e. Odd )
92	91	pm2.21d 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 6 e. Even -> ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
93	90, 92	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 6 e. Odd -> m e. GoldbachOdd )
94	89, 93	syl6bir 232	. . . . . . . . . . 11 |- ( 6 = m -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) )
95	94	a1d 26	. . . . . . . . . 10 |- ( 6 = m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) )
96	95	a1d 26	. . . . . . . . 9 |- ( 6 = m -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
97	88, 96	jaoi 380	. . . . . . . 8 |- ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( m e. ZZ -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
98	97	com12 32	. . . . . . 7 |- ( m e. ZZ -> ( ( 6 < m \/ 6 = m ) -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
99	12, 98	sylbid 218	. . . . . 6 |- ( m e. ZZ -> ( ( 5 + 1 ) <_ m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
100	5, 99	sylbid 218	. . . . 5 |- ( m e. ZZ -> ( 5 < m -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( m e. Odd -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
101	100	com24 90	. . . 4 |- ( m e. ZZ -> ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) ) ) )
102	1, 101	mpcom 37	. . 3 |- ( m e. Odd -> ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) ) )
103	102	impcom 431	. 2 |- ( ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) /\ m e. Odd ) -> ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )
104	103	ralrimiva 2837	1 |- ( A. n e. Even ( 4 < n -> n e. GoldbachEven ) -> A. m e. Odd ( 5 < m -> m e. GoldbachOdd ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   \/ wo 369   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   A.wral 2773   E.wrex 2774   class class class wbr 4417  (class class class)co 6297   CCcc 9533   RRcr 9534   1c1 9536   + caddc 9538   < clt 9671   <_ cle 9672   - cmin 9856   3c3 10656   4c4 10657   5c5 10658   6c6 10659   7c7 10660   ZZcz 10933   Primecprime 14600   Even ceven 38373   Odd codd 38374   GoldbachEven cgbe 38466   GoldbachOdd cgbo 38467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4540  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6589  ax-cnex 9591  ax-resscn 9592  ax-1cn 9593  ax-icn 9594  ax-addcl 9595  ax-addrcl 9596  ax-mulcl 9597  ax-mulrcl 9598  ax-mulcom 9599  ax-addass 9600  ax-mulass 9601  ax-distr 9602  ax-i2m1 9603  ax-1ne0 9604  ax-1rid 9605  ax-rnegex 9606  ax-rrecex 9607  ax-cnre 9608  ax-pre-lttri 9609  ax-pre-lttrn 9610  ax-pre-ltadd 9611  ax-pre-mulgt0 9612  ax-pre-sup 9613

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4477  df-mpt 4478  df-tr 4513  df-eprel 4757  df-id 4761  df-po 4767  df-so 4768  df-fr 4805  df-we 4807  df-xp 4852  df-rel 4853  df-cnv 4854  df-co 4855  df-dm 4856  df-rn 4857  df-res 4858  df-ima 4859  df-pred 5391  df-ord 5437  df-on 5438  df-lim 5439  df-suc 5440  df-iota 5557  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6259  df-ov 6300  df-oprab 6301  df-mpt2 6302  df-om 6699  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7954  df-inf 7955  df-pnf 9673  df-mnf 9674  df-xr 9675  df-ltxr 9676  df-le 9677  df-sub 9858  df-neg 9859  df-div 10266  df-nn 10606  df-2 10664  df-3 10665  df-4 10666  df-5 10667  df-6 10668  df-7 10669  df-n0 10866  df-z 10934  df-uz 11156  df-rp 11299  df-fz 11779  df-seq 12207  df-exp 12266  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-prm 14601  df-even 38375  df-odd 38376  df-gbe 38469  df-gbo 38470

This theorem is referenced by:  bgoldbnnsum3prm  38519