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Theorem bgoldbtbndlem4 38897
Description: Lemma 4 for bgoldbtbnd 38898. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.b  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
bgoldbtbnd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
bgoldbtbnd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
bgoldbtbnd.i  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
bgoldbtbnd.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
bgoldbtbnd.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
bgoldbtbnd.l  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
bgoldbtbnd.r  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem4  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  (
I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, F    i, I    i, N    D, p, q, r    F, p, q, r    I, p, q, r    n, N    X, p, q, r    ph, p, q, r
Allowed substitution hints:    ph( i, n)    D( n)    F( n)    I( n)    M( i, n, r, q, p)    N( r,
q, p)    X( i, n)

Proof of Theorem bgoldbtbndlem4
Dummy variable  m is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 759 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ph )
2 simpr 463 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  X  e. Odd  )
3 simplr 761 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  I  e.  ( 1..^ D ) )
4 bgoldbtbnd.m . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
5 bgoldbtbnd.n . . . 4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
6 bgoldbtbnd.b . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
7 bgoldbtbnd.d . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
8 bgoldbtbnd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
9 bgoldbtbnd.i . . . 4  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
10 bgoldbtbnd.0 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
11 bgoldbtbnd.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
12 bgoldbtbnd.l . . . 4  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
13 eqid 2450 . . . 4  |-  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )
144, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13bgoldbtbndlem2 38895 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e. Odd  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  ( I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  (
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  < 
N  /\  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) ) )
151, 2, 3, 14syl3anc 1267 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  (
I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  (
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  < 
N  /\  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) ) )
16 breq2 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
4  <  n  <->  4  <  m ) )
17 breq1 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <  N  <->  m  <  N ) )
1816, 17anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  <-> 
( 4  <  m  /\  m  <  N ) ) )
19 eleq1 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e. GoldbachEven  <->  m  e. GoldbachEven  ) )
2018, 19imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <-> 
( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) ) )
2120cbvralv 3018 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e. Even  ( (
4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <->  A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) )
22 breq2 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( 4  <  m  <->  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) )
23 breq1 4404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( m  <  N  <->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N ) )
2422, 23anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( (
4  <  m  /\  m  <  N )  <->  ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N ) ) )
25 eleq1 2516 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( m  e. GoldbachEven  <->  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. GoldbachEven  ) )
2624, 25imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  ->  ( (
( 4  <  m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  <->  ( (
4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
2726rspcv 3145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
2821, 27syl5bi 221 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
29 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  )  ->  (
( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  ) )
30 isgbe 38846 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. GoldbachEven 
<->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) ) )
31 simp1 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
3231ralimi 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
33 elfzo1 11962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  <->  ( I  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  I  < 
D ) )
34 nnm1nn0 10908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( I  e.  NN  ->  (
I  -  1 )  e.  NN0 )
35343ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( I  e.  NN  /\  D  e.  NN  /\  I  <  D )  ->  (
I  -  1 )  e.  NN0 )
3633, 35sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( I  -  1 )  e. 
NN0 )
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( I  - 
1 )  e.  NN0 ) )
38 eluzge3nn 11197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  D  e.  NN )
3938a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  D  e.  NN ) )
40 elfzo2 11920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  <->  ( I  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  D  e.  ZZ  /\  I  <  D ) )
41 eluzelre 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( I  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  I  e.  RR )
4241adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  I  e.  RR )
4342ltm1d 10536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
I  -  1 )  <  I )
44 1red 9655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
4542, 44resubcld 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
I  -  1 )  e.  RR )
46 zre 10938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  RR )
4746adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  RR )
48 lttr 9707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( I  -  1 )  e.  RR  /\  I  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  (
( ( I  - 
1 )  <  I  /\  I  <  D )  ->  ( I  - 
1 )  <  D
) )
4945, 42, 47, 48syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
( ( I  - 
1 )  <  I  /\  I  <  D )  ->  ( I  - 
1 )  <  D
) )
5043, 49mpand 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ )  ->  (
I  <  D  ->  ( I  -  1 )  <  D ) )
51503impia 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( I  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  D  e.  ZZ  /\  I  < 
D )  ->  (
I  -  1 )  <  D )
5240, 51sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( I  -  1 )  < 
D )
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( I  - 
1 )  <  D
) )
5437, 39, 533jcad 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ( I  -  1 )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN  /\  ( I  - 
1 )  <  D
) ) )
557, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( ( I  - 
1 )  e.  NN0  /\  D  e.  NN  /\  ( I  -  1
)  <  D )
) )
5655imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( I  -  1 )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN  /\  ( I  - 
1 )  <  D
) )
57 elfzo0 11953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D )  <->  ( ( I  -  1 )  e. 
NN0  /\  D  e.  NN  /\  ( I  - 
1 )  <  D
) )
5856, 57sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( I  - 
1 )  e.  ( 0..^ D ) )
59 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  ( F `  i )  =  ( F `  ( I  -  1
) ) )
6059eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( i  =  ( I  - 
1 )  ->  (
( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  <-> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
6160rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( I  -  1 )  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } ) ) )
6258, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
63 eldifi 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  Prime )
6462, 63syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime ) )
6564expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ph  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime ) ) )
6665com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime ) ) )
6732, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime ) ) )
689, 67mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  Prime )
)
6968adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime ) )
7069imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  Prime )
7170ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  Prime )
7271ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  Prime )
73 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( r  =  ( F `  ( I  -  1
) )  ->  (
r  e. Odd  <->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
)
74733anbi3d 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  =  ( F `  ( I  -  1
) )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  <->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  ) ) )
75 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( r  =  ( F `  ( I  -  1
) )  ->  (
( p  +  q )  +  r )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) ) )
7675eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( r  =  ( F `  ( I  -  1
) )  ->  ( X  =  ( (
p  +  q )  +  r )  <->  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) )
7774, 76anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( r  =  ( F `  ( I  -  1
) )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )  /\  X  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) ) )
7877adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e. 
Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  /\  r  =  ( F `  (
I  -  1 ) ) )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )  /\  X  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) ) )
79 oddprmALTV 38810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e. Odd  )
8062, 79syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
)
8180expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ph  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
) )
8281com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
) )
8332, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
) )
849, 83mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e. Odd  ) )
8584adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
)
8685imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
8786ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )
88 3simpa 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  ) )
8987, 88anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  ) )
90 df-3an 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1
) )  e. Odd  )  <->  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  ) )
9189, 90sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e. Odd 
) )
92 oddz 38754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( X  e. Odd  ->  X  e.  ZZ )
9392zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( X  e. Odd  ->  X  e.  CC )
9493adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  X  e.  CC )
9594ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  X  e.  CC )
9695adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  ->  X  e.  CC )
97 prmz 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  Prime  ->  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  ZZ )
9897zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  Prime  ->  ( F `
 ( I  - 
1 ) )  e.  CC )
9963, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  CC )
10062, 99syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC ) )
101100expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ph  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC ) ) )
102101com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( F `
 i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC ) ) )
10332, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC ) ) )
1049, 103mpcom 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( F `  (
I  -  1 ) )  e.  CC ) )
105104adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC ) )
106105imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC )
107106ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( F `  ( I  -  1
) )  e.  CC )
108107adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  ->  ( F `  ( I  -  1 ) )  e.  CC )
10996, 108npcand 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  ->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) )  =  X )
110 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  =  ( p  +  q )  ->  (
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  +  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) ) )
111109, 110sylan9req 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) ) )
112111exp31 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  =  ( p  +  q )  ->  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) ) ) )
113112com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q )  ->  ( (
( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) ) ) )
1141133impia 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) ) ) )
115114impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  X  =  ( (
p  +  q )  +  ( F `  ( I  -  1
) ) ) )
11691, 115jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  ( I  -  1 ) )  e. Odd  )  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  (
I  -  1 ) ) ) ) )
11772, 78, 116rspcedvd 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) )
118117ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
119118reximdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd  )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
120119reximdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even  /\  ph )  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
121120exp41 614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
122121com25 94 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd 
->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
123122imp 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  =  ( p  +  q ) ) )  -> 
( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( X  e. Odd  ->  (
ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
12430, 123sylbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. GoldbachEven  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd 
->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
125124a1d 26 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. GoldbachEven  ->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even 
->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( X  e. Odd  ->  (
ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
12629, 125syl6com 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  )  ->  (
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  ->  (
I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
127126ancoms 455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N  /\  4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  (
( ( 4  < 
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  < 
N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even 
->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( X  e. Odd  ->  (
ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
128127com13 83 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( ( ( 4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N )  ->  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. GoldbachEven  )  ->  (
( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N  /\  4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  (
I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
12928, 128syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N  /\  4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  (
I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
130129com23 81 . . . . . 6  |-  ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  e. Even  ->  ( ( ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) )  <  N  /\  4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
1311303impib 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  < 
N  /\  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )  ->  ( A. n  e. Even  ( (
4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  X  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
132131com15 96 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e. Even 
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  ->  ( X  e. Odd 
->  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1
) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  <  N  /\  4  <  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
1336, 132mpd 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( I  e.  ( 1..^ D )  -> 
( X  e. Odd  ->  ( ( ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  < 
N  /\  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
134133imp31 434 . 2  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ( (
( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  e. Even  /\  ( X  -  ( F `  ( I  -  1 ) ) )  < 
N  /\  4  <  ( X  -  ( F `
 ( I  - 
1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
13515, 134syld 45 1  |-  ( ( ( ph  /\  I  e.  ( 1..^ D ) )  /\  X  e. Odd 
)  ->  ( ( X  e.  ( ( F `  I ) [,) ( F `  (
I  +  1 ) ) )  /\  ( X  -  ( F `  I ) )  <_ 
4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  X  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400   {csn 3967   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   4c4 10658   7c7 10661   NN0cn0 10866   ZZcz 10934  ;cdc 11048   ZZ>=cuz 11156   [,)cico 11634  ..^cfzo 11912   Primecprime 14615  RePartciccp 38721   Even ceven 38747   Odd codd 38748   GoldbachEven cgbe 38840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-dvds 14299  df-prm 14616  df-iccp 38722  df-even 38749  df-odd 38750  df-gbe 38843
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