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Theorem bgoldbtbndlem1 38770
Description: Lemma 1 for bgoldbtbnd 38774: the odd numbers between 7 and 13 (exclusive) are (strong) odd Goldbach numbers. (Contributed by AV, 29-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbndlem1  |-  ( ( N  e. Odd  /\  7  <  N  /\  N  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )

Proof of Theorem bgoldbtbndlem1
StepHypRef Expression
1 7re 10699 . . . . 5  |-  7  e.  RR
21rexri 9700 . . . 4  |-  7  e.  RR*
3 1nn0 10892 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
4 3nn 10775 . . . . . . 7  |-  3  e.  NN
53, 4decnncl 11071 . . . . . 6  |- ; 1 3  e.  NN
65nnrei 10625 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  RR
76rexri 9700 . . . 4  |- ; 1 3  e.  RR*
8 elico1 11686 . . . 4  |-  ( ( 7  e.  RR*  /\ ; 1 3  e.  RR* )  ->  ( N  e.  ( 7 [,); 1 3 )  <->  ( N  e.  RR*  /\  7  <_  N  /\  N  < ; 1 3 ) ) )
92, 7, 8mp2an 676 . . 3  |-  ( N  e.  ( 7 [,); 1
3 )  <->  ( N  e.  RR*  /\  7  <_  N  /\  N  < ; 1 3 ) )
10 7nn 10779 . . . . . . . . . 10  |-  7  e.  NN
1110nnzi 10968 . . . . . . . . 9  |-  7  e.  ZZ
12 oddz 38630 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e. Odd  ->  N  e.  ZZ )
13 zltp1le 10993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 7  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 7  <  N  <->  ( 7  +  1 )  <_  N ) )
14 7p1e8 10746 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 7  +  1 )  =  8
1514breq1i 4430 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 7  +  1 )  <_  N  <->  8  <_  N )
1615a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 7  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( 7  +  1 )  <_  N  <->  8  <_  N ) )
17 8re 10701 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 7  e.  ZZ  ->  8  e.  RR )
19 zre 10948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
20 leloe 9727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 8  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 8  <_  N  <->  ( 8  <  N  \/  8  =  N )
) )
2118, 19, 20syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 7  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 8  <_  N  <->  ( 8  <  N  \/  8  =  N )
) )
2213, 16, 213bitrd 282 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 7  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 7  <  N  <->  ( 8  <  N  \/  8  =  N )
) )
2311, 12, 22sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 7  < 
N  <->  ( 8  < 
N  \/  8  =  N ) ) )
24 8nn 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
2524nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  8  e.  ZZ
26 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 8  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 8  <  N  <->  ( 8  +  1 )  <_  N ) )
2725, 12, 26sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 8  < 
N  <->  ( 8  +  1 )  <_  N
) )
28 8p1e9 10747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 8  +  1 )  =  9
2928breq1i 4430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 8  +  1 )  <_  N  <->  9  <_  N )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 8  +  1 )  <_  N 
<->  9  <_  N )
)
31 9re 10703 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  9  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e. Odd  ->  9  e.  RR )
3312zred 11047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e. Odd  ->  N  e.  RR )
3432, 33leloed 9785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 9  <_  N 
<->  ( 9  <  N  \/  9  =  N
) ) )
3527, 30, 343bitrd 282 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 8  < 
N  <->  ( 9  < 
N  \/  9  =  N ) ) )
36 9nn 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  9  e.  NN
3736nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  9  e.  ZZ
38 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 9  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 9  <  N  <->  ( 9  +  1 )  <_  N ) )
3937, 12, 38sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 9  < 
N  <->  ( 9  +  1 )  <_  N
) )
40 9p1e10 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 9  +  1 )  =  10
4140breq1i 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 9  +  1 )  <_  N  <->  10  <_  N )
4241a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 9  +  1 )  <_  N 
<->  10  <_  N )
)
43 10re 10705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  10  e.  RR
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e. Odd  ->  10  e.  RR )
4544, 33leloed 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 10  <_  N  <-> 
( 10  <  N  \/  10  =  N ) ) )
4639, 42, 453bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 9  < 
N  <->  ( 10  <  N  \/  10  =  N ) ) )
47 10nn 10782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  10  e.  NN
4847nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  10  e.  ZZ
49 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 10  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 10  <  N  <->  ( 10  +  1 )  <_  N ) )
5048, 12, 49sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 10  <  N  <-> 
( 10  +  1 )  <_  N )
)
51 dec10p 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 10  +  1 )  = ; 1
1
5251breq1i 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 10  +  1 )  <_  N  <-> ; 1 1  <_  N
)
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 10  +  1 )  <_  N 
<-> ; 1
1  <_  N )
)
54 1nn 10627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  e.  NN
553, 54decnncl 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 1 1  e.  NN
5655nnrei 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |- ; 1 1  e.  RR
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e. Odd  -> ; 1 1  e.  RR )
5857, 33leloed 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 1  <_  N  <->  (; 1
1  <  N  \/ ; 1 1  =  N ) ) )
5950, 53, 583bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 10  <  N  <-> 
(; 1 1  <  N  \/ ; 1 1  =  N ) ) )
6055nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |- ; 1 1  e.  ZZ
61 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (; 1
1  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (; 1 1  <  N  <->  (; 1
1  +  1 )  <_  N ) )
6260, 12, 61sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 1  <  N  <->  (; 1
1  +  1 )  <_  N ) )
6351eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |- ; 1 1  =  ( 10  +  1 )
6463oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  (; 1 1  +  1 )  =  ( ( 10  +  1 )  +  1 )
6547nncni 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  10  e.  CC
66 ax-1cn 9604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  1  e.  CC
6765, 66, 66addassi 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( 10  +  1 )  +  1 )  =  ( 10  +  ( 1  +  1 ) )
68 1p1e2 10730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 1  +  1 )  =  2
6968oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 10  +  ( 1  +  1 ) )  =  ( 10  +  2 )
70 dec10p 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( 10  +  2 )  = ; 1
2
7169, 70eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( 10  +  ( 1  +  1 ) )  = ; 1
2
7264, 67, 713eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (; 1 1  +  1 )  = ; 1 2
7372breq1i 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (; 1
1  +  1 )  <_  N  <-> ; 1 2  <_  N
)
7473a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e. Odd  ->  ( (; 1 1  +  1 )  <_  N  <-> ; 1 2  <_  N
) )
75 2nn 10774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  2  e.  NN
763, 75decnncl 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |- ; 1 2  e.  NN
7776nnrei 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |- ; 1 2  e.  RR
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( N  e. Odd  -> ; 1 2  e.  RR )
7978, 33leloed 9785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 2  <_  N  <->  (; 1
2  <  N  \/ ; 1 2  =  N ) ) )
8062, 74, 793bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 1  <  N  <->  (; 1
2  <  N  \/ ; 1 2  =  N ) ) )
8176nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |- ; 1 2  e.  ZZ
82 zltp1le 10993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (; 1
2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (; 1 2  <  N  <->  (; 1
2  +  1 )  <_  N ) )
8381, 12, 82sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 2  <  N  <->  (; 1
2  +  1 )  <_  N ) )
8470eqcomi 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |- ; 1 2  =  ( 10  +  2 )
8584oveq1i 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  (; 1 2  +  1 )  =  ( ( 10  +  2 )  +  1 )
86 2cn 10687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  2  e.  CC
8765, 86, 66addassi 9658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( 10  +  2 )  +  1 )  =  ( 10  +  ( 2  +  1 ) )
88 2p1e3 10740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( 2  +  1 )  =  3
8988oveq2i 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 10  +  ( 2  +  1 ) )  =  ( 10  +  3 )
90 dec10p 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( 10  +  3 )  = ; 1
3
9189, 90eqtri 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( 10  +  ( 2  +  1 ) )  = ; 1
3
9285, 87, 913eqtri 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  (; 1 2  +  1 )  = ; 1 3
9392breq1i 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (; 1
2  +  1 )  <_  N  <-> ; 1 3  <_  N
)
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e. Odd  ->  ( (; 1 2  +  1 )  <_  N  <-> ; 1 3  <_  N
) )
956a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e. Odd  -> ; 1 3  e.  RR )
9695, 33lenltd 9788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 3  <_  N  <->  -.  N  < ; 1 3 ) )
9783, 94, 963bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 2  <  N  <->  -.  N  < ; 1 3 ) )
98 pm2.21 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( -.  N  < ; 1 3  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) )
9997, 98syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 2  <  N  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 1 2  <  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
101 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (; 1 2  =  N  ->  (; 1 2  e. Odd  <->  N  e. Odd  ) )
102 6p6e12 11109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 6  +  6 )  = ; 1
2
103 6even 38708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  6  e. Even
104 epee 38702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 6  e. Even  /\  6  e. Even  )  ->  ( 6  +  6 )  e. Even 
)
105103, 103, 104mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( 6  +  6 )  e. Even
106102, 105eqeltrri 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |- ; 1 2  e. Even
107 evennodd 38643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  (; 1 2  e. Even  ->  -. ; 1
2  e. Odd  )
108106, 107ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  -. ; 1 2  e. Odd
109108pm2.21i 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  (; 1 2  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) )
110101, 109syl6bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  (; 1 2  =  N  ->  ( N  e. Odd 
->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
111100, 110jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (; 1
2  <  N  \/ ; 1 2  =  N )  -> 
( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
112111com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e. Odd  ->  ( (; 1 2  <  N  \/ ; 1 2  =  N )  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
11380, 112sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e. Odd  ->  (; 1 1  <  N  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
114113com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 1 1  <  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
115 11gboa 38746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |- ; 1 1  e. GoldbachOddALTV
116 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  (; 1 1  =  N  ->  (; 1 1  e. GoldbachOddALTV  <->  N  e. GoldbachOddALTV  )
)
117115, 116mpbii 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  (; 1 1  =  N  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )
1181172a1d 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  (; 1 1  =  N  ->  ( N  e. Odd 
->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
119114, 118jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (; 1
1  <  N  \/ ; 1 1  =  N )  -> 
( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
120119com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( N  e. Odd  ->  ( (; 1 1  <  N  \/ ; 1 1  =  N )  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
12159, 120sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 10  <  N  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
122121com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 10 
<  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
123 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 10  =  N  ->  ( 10  e. Odd 
<->  N  e. Odd  ) )
124 5p5e10 10757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 5  +  5 )  =  10
125 5odd 38707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  5  e. Odd
126 opoeALTV 38682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 5  e. Odd  /\  5  e. Odd  )  ->  ( 5  +  5 )  e. Even 
)
127125, 125, 126mp2an 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 5  +  5 )  e. Even
128124, 127eqeltrri 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  10  e. Even
129 evennodd 38643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 10  e. Even  ->  -.  10  e. Odd  )
130128, 129ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  -.  10  e. Odd
131130pm2.21i 134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 10  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
132123, 131syl6bir 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 10  =  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
133122, 132jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 10  <  N  \/  10  =  N )  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
134133com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 10 
<  N  \/  10  =  N )  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
13546, 134sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 9  < 
N  ->  ( N  < ; 1
3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )
) )
136135com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  <  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
137 9gboa 38745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  9  e. GoldbachOddALTV
138 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 9  =  N  ->  (
9  e. GoldbachOddALTV 
<->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
139137, 138mpbii 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 9  =  N  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
)
1401392a1d 27 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 9  =  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
141136, 140jaoi 380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 9  <  N  \/  9  =  N )  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
142141com12 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 9  <  N  \/  9  =  N )  -> 
( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
14335, 142sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 8  < 
N  ->  ( N  < ; 1
3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )
) )
144143com12 32 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  <  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
145 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  =  N  ->  (
8  e. Odd  <->  N  e. Odd  ) )
146 8even 38710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e. Even
147 evennodd 38643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 8  e. Even  ->  -.  8  e. Odd  )
148146, 147ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  8  e. Odd
149148pm2.21i 134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 8  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
150145, 149syl6bir 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( 8  =  N  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
151144, 150jaoi 380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 8  <  N  \/  8  =  N )  ->  ( N  e. Odd  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
152151com12 32 . . . . . . . 8  |-  ( N  e. Odd  ->  ( ( 8  <  N  \/  8  =  N )  -> 
( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) ) )
15323, 152sylbid 218 . . . . . . 7  |-  ( N  e. Odd  ->  ( 7  < 
N  ->  ( N  < ; 1
3  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )
) )
154153imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( N  e. Odd  /\  7  <  N )  ->  ( N  < ; 1 3  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) )
155154com12 32 . . . . 5  |-  ( N  < ; 1 3  ->  (
( N  e. Odd  /\  7  <  N )  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
1561553ad2ant3 1028 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR*  /\  7  <_  N  /\  N  < ; 1 3 )  ->  ( ( N  e. Odd  /\  7  < 
N )  ->  N  e. GoldbachOddALTV 
) )
157156com12 32 . . 3  |-  ( ( N  e. Odd  /\  7  <  N )  ->  (
( N  e.  RR*  /\  7  <_  N  /\  N  < ; 1 3 )  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
1589, 157syl5bi 220 . 2  |-  ( ( N  e. Odd  /\  7  <  N )  ->  ( N  e.  ( 7 [,); 1 3 )  ->  N  e. GoldbachOddALTV  ) )
1591583impia 1202 1  |-  ( ( N  e. Odd  /\  7  <  N  /\  N  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  N  e. GoldbachOddALTV  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   1c1 9547    + caddc 9549   RR*cxr 9681    < clt 9682    <_ cle 9683   2c2 10666   3c3 10667   5c5 10669   6c6 10670   7c7 10671   8c8 10672   9c9 10673   10c10 10674   ZZcz 10944  ;cdc 11058   [,)cico 11644   Even ceven 38623   Odd codd 38624   GoldbachOddALTV cgboa 38718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-ico 11648  df-fz 11792  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-prm 14622  df-even 38625  df-odd 38626  df-gboa 38721
This theorem is referenced by:  bgoldbtbnd  38774
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