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Theorem bgoldbtbnd 38294
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid up to an integer  N, and there is a series ("ladder") of primes with a difference of at most  N up to an integer  M, then the strong ternary Goldbach conjecture is valid up to  M, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4 with N = 4 x 10^18, taken from [OeSilva], and M = 8.875 x 10^30. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.b  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
bgoldbtbnd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
bgoldbtbnd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
bgoldbtbnd.i  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
bgoldbtbnd.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
bgoldbtbnd.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
bgoldbtbnd.l  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
bgoldbtbnd.r  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbnd  |-  ( ph  ->  A. n  e. Odd  (
( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, F    i, N, n    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( i)    D( n)    F( n)    M( i, n)

Proof of Theorem bgoldbtbnd
Dummy variables  p  q  r  m  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 762 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. Odd  )
2 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
3 eluzge3nn 11200 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  D  e.  NN )
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
5 iccelpart 38137 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  NN  ->  A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (RePart `  D ) ( n  e.  ( ( f `
 0 ) [,) ( f `  D
) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
8 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
9 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  D )  =  ( F `  D ) )
108, 9oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  =  ( ( F `
 0 ) [,) ( F `  D
) ) )
1110eleq2d 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  ( ( f `  0 ) [,) ( f `  D ) )  <->  n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
) ) )
12 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  j )  =  ( F `  j ) )
13 fveq1 5880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  j
) [,) ( f `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
1514eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) )  <->  n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1615rexbidv 2946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( E. j  e.  (
0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) )  <->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1711, 16imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
1817rspcv 3184 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (RePart `  D
)  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D
) ( n  e.  ( ( f ` 
0 ) [,) (
f `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
197, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oddz 38150 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  ZZ )
2120zred 11040 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  RR )
2221rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  RR* )
2322ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  RR* )
24 7re 10692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  RR
25 ltle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 7  <  n  ->  7  <_  n )
)
2624, 21, 25sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e. Odd  ->  ( 7  < 
n  ->  7  <_  n ) )
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  <  n  ->  (
n  e. Odd  ->  7  <_  n ) )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 7  <  n  /\  n  <  M )  -> 
( n  e. Odd  ->  7  <_  n ) )
2928impcom 431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  7  <_  n
)
3029adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
7  <_  n )
31 bgoldbtbnd.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
32 eluzelre 11169 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 )  ->  M  e.  RR )
3332rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 )  ->  M  e.  RR* )
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  M  e.  RR* )
36 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR )
3736rexrd 9689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR* )
3837adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( F `  D
)  e.  RR* )
39 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  <  M )
40 bgoldbtbnd.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
4140adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  M  <  ( F `  D ) )
4223, 35, 38, 39, 41xrlttrd 11456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  <  ( F `  D ) )
43 bgoldbtbnd.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
4443oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  =  ( 7 [,) ( F `  D ) ) )
4544eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) ) ) )
4645adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) ) ) )
4724rexri 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  7  e.  RR*
48 elico1 11679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 7  e.  RR*  /\  ( F `  D )  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) )  <->  ( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D )
) ) )
4947, 38, 48sylancr 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( 7 [,) ( F `
 D ) )  <-> 
( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D ) ) ) )
5046, 49bitrd 256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D ) ) ) )
5123, 30, 42, 50mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  ( ( F `  0 ) [,) ( F `  D
) ) )
52 fzo0sn0fzo1 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  NN  ->  (
0..^ D )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) ) )
5352eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  NN  ->  (
j  e.  ( 0..^ D )  <->  j  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) ) ) )
54 elun 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) )
5553, 54syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  (
j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
564, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
58 elsn 4016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  { 0 }  <-> 
j  =  0 )
59 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  0  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
0 ) )
60 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
61 0p1e1 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6260, 61syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  1 )
6362fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  0  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6459, 63oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  0  ->  (
( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 0 ) [,) ( F `  1
) ) )
65 bgoldbtbnd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
6643, 65oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  1 )
)  =  ( 7 [,); 1 3 ) )
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  1 )
)  =  ( 7 [,); 1 3 ) )
6864, 67sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( 7 [,); 1
3 ) )
6968eleq2d 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  <->  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) ) )
701adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. Odd  )
71 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
7  <  n )
7271adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  7  <  n
)
73 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )
74 bgoldbtbndlem1 38290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e. Odd  /\  7  <  n  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
7570, 72, 73, 74syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
76 isgboa 38244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e. GoldbachOddALTV  <-> 
( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
7775, 76sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  ( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
7877simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
7978ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( 7 [,); 1 3 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8079adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 7 [,); 1 3 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8169, 80sylbid 218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8281ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  0  ->  (
( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
8358, 82sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  { 0 }  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
84 bgoldbtbnd.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
85 fzo0ss1 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1..^ D )  C_  (
0..^ D )
8685sseli 3466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  j  e.  ( 0..^ D ) )
87 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  ( F `  i )  =  ( F `  j ) )
8887eleq1d 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  <-> 
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
89 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9089fveq2d 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  j  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
9190, 87oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )
9291breq1d 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
9391breq2d 4438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <->  4  <  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) ) ) )
9488, 92, 933anbi123d 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  <->  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )
9594rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )
9686, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )
9784, 96mpan9 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )
98 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
99 bgoldbtbnd.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
10031, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36bgoldbtbndlem4 38293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  n  e. Odd 
)  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <_  4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
101100ad2ant2r 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <_  4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
102101expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  <_  4  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
103 simplll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ph )
104 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. Odd  )
105 simpllr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  j  e.  ( 1..^ D ) )
106 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( n  -  ( F `  j )
)
10731, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36, 106bgoldbtbndlem3 38292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e. Odd  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  < 
( n  -  ( F `  j )
) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) ) ) )
108103, 104, 105, 107syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) ) ) )
109 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  =  m  ->  (
4  <  n  <->  4  <  m ) )
110 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <  N  <->  m  <  N ) )
111109, 110anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  m  ->  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  <-> 
( 4  <  m  /\  m  <  N ) ) )
112 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e. GoldbachEven  <->  m  e. GoldbachEven  ) )
113111, 112imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <-> 
( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) ) )
114113cbvralv 3062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. n  e. Even  ( (
4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <->  A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) )
115 breq2 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( 4  <  m  <->  4  <  ( n  -  ( F `
 j ) ) ) )
116 breq1 4429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( m  <  N  <->  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N ) )
117115, 116anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( (
4  <  m  /\  m  <  N )  <->  ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N ) ) )
118 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( m  e. GoldbachEven  <->  ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )
119117, 118imbi12d 321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( (
( 4  <  m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  <->  ( (
4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( n  -  ( F `  j )
)  e. GoldbachEven  ) ) )
120119rspcv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
121114, 120syl5bi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
122 pm3.35 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( 4  <  (
n  -  ( F `
 j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N )  /\  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )
123 isgbe 38242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven 
<->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q ) ) ) )
124 eldifi 3593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  Prime )
1251243ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  Prime )
126125adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  Prime )
127126ad5antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  Prime )
128 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
r  e. Odd  <->  ( F `  j )  e. Odd  )
)
1291283anbi3d 1341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  <->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) ) )
130 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( p  +  q )  +  r )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) )
131130eqeq2d 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
n  =  ( ( p  +  q )  +  r )  <->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j ) ) ) )
132129, 131anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) ) )
133132adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  /\  r  =  ( F `  j
) )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) ) )
134 oddprmALTV 38206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e. Odd  )
1351343ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e. Odd  )
136135adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e. Odd  )
137136ad4antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( F `  j )  e. Odd  )
138 3simpa 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  ) )
139137, 138anim12ci 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `
 j )  e. Odd 
) )
140 df-3an 984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  <->  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) )
141139, 140sylibr 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) )
14220zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  CC )
143142ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
144 prmz 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  ZZ )
145144zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  CC )
146124, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  CC )
1471463ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
148147adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  CC )
149148ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
150143, 149npcand 9989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  n )
151150adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  n )
152151ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  -> 
( ( n  -  ( F `  j ) )  +  ( F `
 j ) )  =  n )
153 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) )
154152, 153sylan9req 2491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  =  ( p  +  q ) )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) )
155154exp31 607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  =  ( p  +  q )  ->  n  =  ( (
p  +  q )  +  ( F `  j ) ) ) ) )
156155com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q )  ->  (
( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) ) ) )
1571563impia 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) ) )
158157impcom 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j ) ) )
159141, 158jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) )
160127, 133, 159rspcedvd 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
161160ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
162161reximdva 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
163162reximdva 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
164163exp41 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
165164com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
166165imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
167123, 166sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
168167a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
169122, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( 4  <  (
n  -  ( F `
 j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N )  /\  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
170169ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
171170ancoms 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( ( 4  < 
( n  -  ( F `  j )
)  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
172171com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( n  -  ( F `  j )
)  e. GoldbachEven  )  ->  (
( ( n  -  ( F `  j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
173121, 172syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
174173com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
1751743impib 1203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
176175com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( A. n  e. Even 
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
17799, 176mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
178177impl 624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
179178imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
180108, 179syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
181180expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
18221ad2antrl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  RR )
183144zred 11040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  RR )
184124, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
1851843ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
186185ad2antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
187182, 186resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  -  ( F `  j ) )  e.  RR )
188 4re 10686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  RR
189 lelttric 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  <_  4  \/  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) ) )
190187, 188, 189sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  <_  4  \/  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) ) )
191102, 181, 190mpjaod 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
192191ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19397, 192mpdan 672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
194193expcom 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
195194impd 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19683, 195jaoi 380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
197196com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( j  e. 
{ 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19857, 197sylbid 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ D )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
199198rexlimdv 2922 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
20051, 199embantd 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
201200ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  0 ) [,) ( F `  D ) )  ->  E. j  e.  (
0..^ D ) n  e.  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
202201com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
20319, 202syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
2046, 203mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
205204imp 430 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
2061, 205jca 534 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
207206, 76sylibr 215 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
208207exp32 608 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e. Odd  ->  ( ( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
209208ralrimiv 2844 1  |-  ( ph  ->  A. n  e. Odd  (
( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783    \ cdif 3439    u. cun 3440   {csn 4002   class class class wbr 4426   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    + caddc 9541   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859   NNcn 10609   2c2 10659   3c3 10660   4c4 10661   7c7 10664  ;cdc 11051   ZZ>=cuz 11159   [,)cico 11637  ..^cfzo 11913   Primecprime 14593  RePartciccp 38117   Even ceven 38143   Odd codd 38144   GoldbachEven cgbe 38236   GoldbachOddALTV cgboa 38238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-dvds 14284  df-prm 14594  df-iccp 38118  df-even 38145  df-odd 38146  df-gbe 38239  df-gboa 38241
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