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Theorem bgoldbtbnd 38898
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid up to an integer  N, and there is a series ("ladder") of primes with a difference of at most  N up to an integer  M, then the strong ternary Goldbach conjecture is valid up to  M, see section 1.2.2 in [Helfgott] p. 4 with N = 4 x 10^18, taken from [OeSilva], and M = 8.875 x 10^30. (Contributed by AV, 1-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
bgoldbtbnd.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.n  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
bgoldbtbnd.b  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
bgoldbtbnd.d  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
bgoldbtbnd.f  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
bgoldbtbnd.i  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
bgoldbtbnd.0  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
bgoldbtbnd.1  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
bgoldbtbnd.l  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
bgoldbtbnd.r  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
bgoldbtbnd  |-  ( ph  ->  A. n  e. Odd  (
( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )
Distinct variable groups:    D, i    i, F    i, N, n    ph, n
Allowed substitution hints:    ph( i)    D( n)    F( n)    M( i, n)

Proof of Theorem bgoldbtbnd
Dummy variables  p  q  r  m  f 
j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 763 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. Odd  )
2 bgoldbtbnd.d . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
3 eluzge3nn 11197 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  D  e.  NN )
42, 3syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
5 iccelpart 38741 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  NN  ->  A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) ) )
64, 5syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. f  e.  (RePart `  D ) ( n  e.  ( ( f `
 0 ) [,) ( f `  D
) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7 bgoldbtbnd.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  (RePart `  D ) )
8 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
9 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  D )  =  ( F `  D ) )
108, 9oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  =  ( ( F `
 0 ) [,) ( F `  D
) ) )
1110eleq2d 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  ( ( f `  0 ) [,) ( f `  D ) )  <->  n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
) ) )
12 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  j )  =  ( F `  j ) )
13 fveq1 5862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  ( j  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
1412, 13oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  j
) [,) ( f `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )
1514eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  F  ->  (
n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) )  <->  n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1615rexbidv 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  F  ->  ( E. j  e.  (
0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) )  <->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
1711, 16imbi12d 322 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  F  ->  (
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  <->  ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
1817rspcv 3145 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (RePart `  D
)  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D
) ( n  e.  ( ( f ` 
0 ) [,) (
f `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `  j ) [,) ( f `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
197, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) ) ) )
20 oddz 38754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  ZZ )
2120zred 11037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  RR )
2221rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  RR* )
2322ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  RR* )
24 7re 10689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  7  e.  RR
25 ltle 9719 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 7  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( 7  <  n  ->  7  <_  n )
)
2624, 21, 25sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e. Odd  ->  ( 7  < 
n  ->  7  <_  n ) )
2726com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 7  <  n  ->  (
n  e. Odd  ->  7  <_  n ) )
2827adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 7  <  n  /\  n  <  M )  -> 
( n  e. Odd  ->  7  <_  n ) )
2928impcom 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  7  <_  n
)
3029adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
7  <_  n )
31 bgoldbtbnd.m . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
32 eluzelre 11166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 )  ->  M  e.  RR )
3332rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 )  ->  M  e.  RR* )
3431, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
3534adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  M  e.  RR* )
36 bgoldbtbnd.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR )
3736rexrd 9687 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  D
)  e.  RR* )
3837adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( F `  D
)  e.  RR* )
39 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  <  M )
40 bgoldbtbnd.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  M  <  ( F `
 D ) )
4140adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  M  <  ( F `  D ) )
4223, 35, 38, 39, 41xrlttrd 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  <  ( F `  D ) )
43 bgoldbtbnd.0 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F `  0
)  =  7 )
4443oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  =  ( 7 [,) ( F `  D ) ) )
4544eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) ) ) )
4645adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) ) ) )
4724rexri 9690 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  7  e.  RR*
48 elico1 11676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 7  e.  RR*  /\  ( F `  D )  e.  RR* )  ->  (
n  e.  ( 7 [,) ( F `  D ) )  <->  ( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D )
) ) )
4947, 38, 48sylancr 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( 7 [,) ( F `
 D ) )  <-> 
( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D ) ) ) )
5046, 49bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  0
) [,) ( F `
 D ) )  <-> 
( n  e.  RR*  /\  7  <_  n  /\  n  <  ( F `  D ) ) ) )
5123, 30, 42, 50mpbir3and 1190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  ( ( F `  0 ) [,) ( F `  D
) ) )
52 fzo0sn0fzo1 11998 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  NN  ->  (
0..^ D )  =  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) ) )
5352eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  NN  ->  (
j  e.  ( 0..^ D )  <->  j  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) ) ) )
54 elun 3573 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( { 0 }  u.  ( 1..^ D ) )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) )
5553, 54syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  (
j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
564, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
5756adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ D )  <->  ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) ) ) )
58 elsn 3981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  { 0 }  <-> 
j  =  0 )
59 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  0  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
0 ) )
60 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  ( 0  +  1 ) )
61 0p1e1 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0  +  1 )  =  1
6260, 61syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  =  0  ->  (
j  +  1 )  =  1 )
6362fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( j  =  0  ->  ( F `  ( j  +  1 ) )  =  ( F ` 
1 ) )
6459, 63oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  =  0  ->  (
( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( F `
 0 ) [,) ( F `  1
) ) )
65 bgoldbtbnd.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  = ; 1 3 )
6643, 65oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  1 )
)  =  ( 7 [,); 1 3 ) )
6766adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  1 )
)  =  ( 7 [,); 1 3 ) )
6864, 67sylan9eq 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( 7 [,); 1
3 ) )
6968eleq2d 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  <->  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) ) )
701adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. Odd  )
71 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
7  <  n )
7271adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  7  <  n
)
73 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )
74 bgoldbtbndlem1 38894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e. Odd  /\  7  <  n  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
7570, 72, 73, 74syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
76 isgboa 38848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e. GoldbachOddALTV  <-> 
( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
7775, 76sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  ( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
7877simprd 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  n  e.  ( 7 [,); 1 3 ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
7978ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e.  ( 7 [,); 1 3 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8079adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( 7 [,); 1 3 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8169, 80sylbid 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( j  =  0  /\  ( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
8281ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  =  0  ->  (
( ph  /\  (
n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
8358, 82sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  { 0 }  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
84 bgoldbtbnd.i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) ) )
85 fzo0ss1 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 1..^ D )  C_  (
0..^ D )
8685sseli 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  j  e.  ( 0..^ D ) )
87 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  ( F `  i )  =  ( F `  j ) )
8887eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  i
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  <-> 
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } ) ) )
89 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( i  =  j  ->  (
i  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
9089fveq2d 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( i  =  j  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  =  ( F `  ( j  +  1 ) ) )
9190, 87oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( i  =  j  ->  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  =  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )
9291breq1d 4411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  <->  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  < 
( N  -  4 ) ) )
9391breq2d 4413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( i  =  j  ->  (
4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) )  <->  4  <  ( ( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) ) ) )
9488, 92, 933anbi123d 1338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( i  =  j  ->  (
( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
i  +  1 ) )  -  ( F `
 i ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
) )  <->  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )
9594rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( j  e.  ( 0..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )
9686, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ D ) ( ( F `  i )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( i  +  1 ) )  -  ( F `  i ) ) )  ->  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )
9784, 96mpan9 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )
98 bgoldbtbnd.n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= ` ; 1 1 ) )
99 bgoldbtbnd.b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  A. n  e. Even  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
10031, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36bgoldbtbndlem4 38897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  n  e. Odd 
)  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <_  4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
101100ad2ant2r 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <_  4 )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
102101expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  <_  4  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
103 simplll 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ph )
104 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. Odd  )
105 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  j  e.  ( 1..^ D ) )
106 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( n  -  ( F `  j )
)
10731, 98, 99, 2, 7, 84, 43, 65, 40, 36, 106bgoldbtbndlem3 38896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  n  e. Odd  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  < 
( n  -  ( F `  j )
) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) ) ) )
108103, 104, 105, 107syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) ) ) )
109 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  =  m  ->  (
4  <  n  <->  4  <  m ) )
110 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( n  =  m  ->  (
n  <  N  <->  m  <  N ) )
111109, 110anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  m  ->  (
( 4  <  n  /\  n  <  N )  <-> 
( 4  <  m  /\  m  <  N ) ) )
112 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( n  =  m  ->  (
n  e. GoldbachEven  <->  m  e. GoldbachEven  ) )
113111, 112imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <-> 
( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) ) )
114113cbvralv 3018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( A. n  e. Even  ( (
4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  <->  A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  ) )
115 breq2 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( 4  <  m  <->  4  <  ( n  -  ( F `
 j ) ) ) )
116 breq1 4404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( m  <  N  <->  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N ) )
117115, 116anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( (
4  <  m  /\  m  <  N )  <->  ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N ) ) )
118 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( m  e. GoldbachEven  <->  ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )
119117, 118imbi12d 322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( m  =  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( (
( 4  <  m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  <->  ( (
4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( n  -  ( F `  j )
)  e. GoldbachEven  ) ) )
120119rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. m  e. Even  ( ( 4  < 
m  /\  m  <  N )  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
121114, 120syl5bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) ) )
122 pm3.35 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( 4  <  (
n  -  ( F `
 j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N )  /\  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )
123 isgbe 38846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven 
<->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q ) ) ) )
124 eldifi 3554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  Prime )
1251243ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  Prime )
126125adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  Prime )
127126ad5antlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  Prime )
128 eleq1 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
r  e. Odd  <->  ( F `  j )  e. Odd  )
)
1291283anbi3d 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  <->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) ) )
130 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( p  +  q )  +  r )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) )
131130eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
n  =  ( ( p  +  q )  +  r )  <->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j ) ) ) )
132129, 131anbi12d 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( r  =  ( F `  j )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) ) )
133132adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  /\  r  =  ( F `  j
) )  ->  (
( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) )  <->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) ) )
134 oddprmALTV 38810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e. Odd  )
1351343ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e. Odd  )
136135adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e. Odd  )
137136ad4antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  ( F `  j )  e. Odd  )
138 3simpa 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  ) )
139137, 138anim12ci 570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `
 j )  e. Odd 
) )
140 df-3an 986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  <->  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) )
141139, 140sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  ) )
14220zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( n  e. Odd  ->  n  e.  CC )
143142ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  CC )
144 prmz 14619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  ZZ )
145144zcnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  CC )
146124, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  CC )
1471463ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
148147adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52  |-  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( F `  j
)  e.  CC )
149148ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  CC )
150143, 149npcand 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  n )
151150adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49  |-  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  n )
152151ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  (
( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  -> 
( ( n  -  ( F `  j ) )  +  ( F `
 j ) )  =  n )
153 oveq1 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  +  ( F `
 j ) )  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) )
154152, 153sylan9req 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( ( ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  /\  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  =  ( p  +  q ) )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) )
155154exp31 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  =  ( p  +  q )  ->  n  =  ( (
p  +  q )  +  ( F `  j ) ) ) ) )
156155com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q )  ->  (
( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) ) ) )
1571563impia 1204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j
) ) ) )
158157impcom 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  n  =  ( ( p  +  q )  +  ( F `  j ) ) )
159141, 158jca 535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( F `  j )  e. Odd  )  /\  n  =  (
( p  +  q )  +  ( F `
 j ) ) ) )
160127, 133, 159rspcedvd 3154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  /\  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
161160ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  /\  q  e.  Prime )  ->  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
162161reximdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
163162reximdva 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even  /\  ph )  /\  (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  (
p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
164163exp41 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
165164com25 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) )  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
166165imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  =  ( p  +  q ) ) )  ->  ( (
j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
167123, 166sylbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
168167a1d 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  e. Even 
->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
169122, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( 4  <  (
n  -  ( F `
 j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  <  N )  /\  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  ) )  ->  (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  (
( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
170169ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
171170ancoms 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( ( 4  < 
( n  -  ( F `  j )
)  /\  ( n  -  ( F `  j ) )  < 
N )  ->  (
n  -  ( F `
 j ) )  e. GoldbachEven  )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
172171com13 83 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  /\  ( n  -  ( F `  j )
)  <  N )  ->  ( n  -  ( F `  j )
)  e. GoldbachEven  )  ->  (
( ( n  -  ( F `  j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
173121, 172syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
174173com23 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( n  -  ( F `
 j ) )  e. Even  ->  ( ( ( n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) ) )
1751743impib 1205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  ( A. n  e. Even  ( ( 4  <  n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  (
( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
176175com15 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  ( A. n  e. Even 
( ( 4  < 
n  /\  n  <  N )  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) ) )
17799, 176mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( j  e.  ( 1..^ D )  /\  ( ( F `
 j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
178177impl 625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
179178imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
( n  -  ( F `  j )
)  e. Even  /\  (
n  -  ( F `
 j ) )  <  N  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j )
) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
180108, 179syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  /\  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
181180expcomd 440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( 4  <  ( n  -  ( F `  j ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
18221ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e.  RR )
183144zred 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( F `  j )  e.  Prime  ->  ( F `
 j )  e.  RR )
184124, 183syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( F `  j
)  e.  RR )
1851843ad2ant1 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( F `  j
)  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) )  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
186185ad2antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( F `  j )  e.  RR )
187182, 186resubcld 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  -  ( F `  j ) )  e.  RR )
188 4re 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  4  e.  RR
189 lelttric 9738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( n  -  ( F `  j )
)  e.  RR  /\  4  e.  RR )  ->  ( ( n  -  ( F `  j ) )  <_  4  \/  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) ) )
190187, 188, 189sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( (
n  -  ( F `
 j ) )  <_  4  \/  4  <  ( n  -  ( F `  j ) ) ) )
191102, 181, 190mpjaod 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  { 2 } )  /\  (
( F `  (
j  +  1 ) )  -  ( F `
 j ) )  <  ( N  - 
4 )  /\  4  <  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
) ) )  /\  ( n  e. Odd  /\  (
7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
192191ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  /\  ( ( F `  j )  e.  ( Prime  \  {
2 } )  /\  ( ( F `  ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j )
)  <  ( N  -  4 )  /\  4  <  ( ( F `
 ( j  +  1 ) )  -  ( F `  j ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19397, 192mpdan 673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
194193expcom 437 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) ) )
195194impd 433 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( 1..^ D )  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19683, 195jaoi 381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  { 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) )  ->  ( ( ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) ) )  ->  (
n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
197196com12 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( j  e. 
{ 0 }  \/  j  e.  ( 1..^ D ) )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
19857, 197sylbid 219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( j  e.  ( 0..^ D )  -> 
( n  e.  ( ( F `  j
) [,) ( F `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
199198rexlimdv 2876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
20051, 199embantd 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) )
201200ex 436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  ( (
n  e.  ( ( F `  0 ) [,) ( F `  D ) )  ->  E. j  e.  (
0..^ D ) n  e.  ( ( F `
 j ) [,) ( F `  (
j  +  1 ) ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
202201com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  ( ( F ` 
0 ) [,) ( F `  D )
)  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( F `  j ) [,) ( F `  ( j  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
20319, 202syld 45 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. f  e.  (RePart `  D )
( n  e.  ( ( f `  0
) [,) ( f `
 D ) )  ->  E. j  e.  ( 0..^ D ) n  e.  ( ( f `
 j ) [,) ( f `  (
j  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) ) )
2046, 203mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  e. Odd  /\  ( 7  <  n  /\  n  <  M ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  (
( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
205204imp 431 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd  )  /\  n  =  ( (
p  +  q )  +  r ) ) )
2061, 205jca 535 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  -> 
( n  e. Odd  /\  E. p  e.  Prime  E. q  e.  Prime  E. r  e.  Prime  ( ( p  e. Odd  /\  q  e. Odd  /\  r  e. Odd 
)  /\  n  =  ( ( p  +  q )  +  r ) ) ) )
207206, 76sylibr 216 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( n  e. Odd  /\  ( 7  < 
n  /\  n  <  M ) ) )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  )
208207exp32 609 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e. Odd  ->  ( ( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) ) )
209208ralrimiv 2799 1  |-  ( ph  ->  A. n  e. Odd  (
( 7  <  n  /\  n  <  M )  ->  n  e. GoldbachOddALTV  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 984    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737    \ cdif 3400    u. cun 3401   {csn 3967   class class class wbr 4401   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   NNcn 10606   2c2 10656   3c3 10657   4c4 10658   7c7 10661  ;cdc 11048   ZZ>=cuz 11156   [,)cico 11634  ..^cfzo 11912   Primecprime 14615  RePartciccp 38721   Even ceven 38747   Odd codd 38748   GoldbachEven cgbe 38840   GoldbachOddALTV cgboa 38842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-rp 11300  df-ico 11638  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-prm 14616  df-iccp 38722  df-even 38749  df-odd 38750  df-gbe 38843  df-gboa 38845
This theorem is referenced by:  tgblthelfgott  38902
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