Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bgoldbnnsum3prm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem bgoldbnnsum3prm 39044
 Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then every integer greater than 1 is the sum of at most 3 primes, showing that Schnirelmann's constant would be equal to 3. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbnnsum3prm Even GoldbachEven
Distinct variable group:   ,,,,

Proof of Theorem bgoldbnnsum3prm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10993 . . . . . . 7
2 9nn 10797 . . . . . . . 8
32nnzi 10985 . . . . . . 7
4 2re 10701 . . . . . . . 8
5 9re 10718 . . . . . . . 8
6 2lt9 10833 . . . . . . . 8
74, 5, 6ltleii 9775 . . . . . . 7
8 eluz2 11188 . . . . . . 7
91, 3, 7, 8mpbir3an 1212 . . . . . 6
10 fzouzsplit 11980 . . . . . . 7 ..^
1110eleq2d 2534 . . . . . 6 ..^
129, 11ax-mp 5 . . . . 5 ..^
13 elun 3565 . . . . 5 ..^ ..^
1412, 13bitri 257 . . . 4 ..^
15 elfzo2 11950 . . . . . . . 8 ..^
16 simp1 1030 . . . . . . . . 9
17 df-9 10697 . . . . . . . . . . . 12
1817breq2i 4403 . . . . . . . . . . 11
19 eluz2nn 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15
20 8nn 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15
2119, 20jctir 547 . . . . . . . . . . . . . 14
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
23 nnleltp1 11015 . . . . . . . . . . . . 13
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12
2524biimprd 231 . . . . . . . . . . 11
2618, 25syl5bi 225 . . . . . . . . . 10
27263impia 1228 . . . . . . . . 9
2816, 27jca 541 . . . . . . . 8
2915, 28sylbi 200 . . . . . . 7 ..^
30 nnsum3primesle9 39034 . . . . . . 7
3129, 30syl 17 . . . . . 6 ..^
3231a1d 25 . . . . 5 ..^ Even GoldbachEven
33 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11
34 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11 GoldbachEven GoldbachEven
3533, 34imbi12d 327 . . . . . . . . . 10 GoldbachEven GoldbachEven
3635rspcv 3132 . . . . . . . . 9 Even Even GoldbachEven GoldbachEven
37 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
40 eluzelre 11193 . . . . . . . . . . . . . 14
4138, 39, 403jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 Even
43 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . 14
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 Even
45 4lt9 10831 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 45jctil 546 . . . . . . . . . . . 12 Even
47 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . 12
4842, 46, 47sylc 61 . . . . . . . . . . 11 Even
49 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11 GoldbachEven GoldbachEven
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 Even GoldbachEven GoldbachEven
5150ex 441 . . . . . . . . 9 Even GoldbachEven GoldbachEven
5236, 51syl5d 68 . . . . . . . 8 Even Even GoldbachEven GoldbachEven
5352impcom 437 . . . . . . 7 Even Even GoldbachEven GoldbachEven
54 nnsum3primesgbe 39032 . . . . . . 7 GoldbachEven
5553, 54syl6 33 . . . . . 6 Even Even GoldbachEven
56 bgoldbwt 39023 . . . . . . . 8 Even GoldbachEven Odd GoldbachOdd
57 3nn 10791 . . . . . . . . . . 11
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10 Odd Odd GoldbachOdd
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
6059oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12
61 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13
6259sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . 14
6362eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13
6461, 63anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
6560, 64rexeqbidv 2988 . . . . . . . . . . 11
6665adantl 473 . . . . . . . . . 10 Odd Odd GoldbachOdd
67 3re 10705 . . . . . . . . . . . . 13
6867leidi 10169 . . . . . . . . . . . 12
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11 Odd Odd GoldbachOdd
70 6nn 10794 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170nnzi 10985 . . . . . . . . . . . . . 14
72 6re 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15
73 6lt9 10829 . . . . . . . . . . . . . . 15
7472, 5, 73ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . 14
75 eluzuzle 11191 . . . . . . . . . . . . . 14
7671, 74, 75mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13
7776anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12 Odd Odd
78 nnsum4primesodd 39036 . . . . . . . . . . . 12 Odd GoldbachOdd Odd
7977, 78mpan9 477 . . . . . . . . . . 11 Odd Odd GoldbachOdd
80 r19.42v 2931 . . . . . . . . . . 11
8169, 79, 80sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10 Odd Odd GoldbachOdd
8258, 66, 81rspcedvd 3143 . . . . . . . . 9 Odd Odd GoldbachOdd
8382expcom 442 . . . . . . . 8 Odd GoldbachOdd Odd
8456, 83syl 17 . . . . . . 7 Even GoldbachEven Odd
8584com12 31 . . . . . 6 Odd Even GoldbachEven
86 eluzelz 11192 . . . . . . 7
87 zeoALTV 38944 . . . . . . 7 Even Odd
8886, 87syl 17 . . . . . 6 Even Odd
8955, 85, 88mpjaodan 803 . . . . 5 Even GoldbachEven
9032, 89jaoi 386 . . . 4 ..^ Even GoldbachEven
9114, 90sylbi 200 . . 3 Even GoldbachEven
9291impcom 437 . 2 Even GoldbachEven
9392ralrimiva 2809 1 Even GoldbachEven
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wo 375   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757   cun 3388   class class class wbr 4395  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmap 7490  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   clt 9693   cle 9694  cn 10631  c2 10681  c3 10682  c4 10683  c5 10684  c6 10685  c8 10687  c9 10688  cz 10961  cuz 11182  cfz 11810  ..^cfzo 11942  csu 13829  cprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachEven cgbe 38991   GoldbachOdd cgbo 38992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gbe 38994  df-gbo 38995 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator