Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bgoldbnnsum3prm Structured version   Unicode version

Theorem bgoldbnnsum3prm 38769
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then every integer greater than 1 is the sum of at most 3 primes, showing that Schnirelmann's constant would be equal to 3. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbnnsum3prm  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  2 ) E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
Distinct variable group:    f, k, m, d, n

Proof of Theorem bgoldbnnsum3prm
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10976 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 9nn 10781 . . . . . . . 8  |-  9  e.  NN
32nnzi 10968 . . . . . . 7  |-  9  e.  ZZ
4 2re 10686 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
5 9re 10703 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
6 2lt9 10817 . . . . . . . 8  |-  2  <  9
74, 5, 6ltleii 9764 . . . . . . 7  |-  2  <_  9
8 eluz2 11172 . . . . . . 7  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ  /\  2  <_ 
9 ) )
91, 3, 7, 8mpbir3an 1187 . . . . . 6  |-  9  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 fzouzsplit 11960 . . . . . . 7  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  =  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>= `  9
) ) )
1110eleq2d 2492 . . . . . 6  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  n  e.  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>=
`  9 ) ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  n  e.  (
( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>= `  9
) ) )
13 elun 3606 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>=
`  9 ) )  <-> 
( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  ( ZZ>= ` 
9 ) ) )
1412, 13bitri 252 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  (
ZZ>= `  9 ) ) )
15 elfzo2 11930 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 ) )
16 simp1 1005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17 df-9 10682 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  =  ( 8  +  1 )
1817breq2i 4431 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  <  9  <->  n  <  ( 8  +  1 ) )
19 eluz2nn 11204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  NN )
20 8nn 10780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
2119, 20jctir 540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN  /\  8  e.  NN ) )
2221adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  e.  NN  /\  8  e.  NN )
)
23 nnleltp1 10998 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  8  e.  NN )  ->  ( n  <_  8  <->  n  <  ( 8  +  1 ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  8  <->  n  <  ( 8  +  1 ) ) )
2524biimprd 226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <  ( 8  +  1 )  ->  n  <_  8 ) )
2618, 25syl5bi 220 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <  9  ->  n  <_  8 ) )
27263impia 1202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  n  <_  8 )
2816, 27jca 534 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  <_  8 ) )
2915, 28sylbi 198 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  <_  8 ) )
30 nnsum3primesle9 38759 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
3231a1d 26 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
33 breq2 4427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
4  <  m  <->  4  <  n ) )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e. GoldbachEven  <->  n  e. GoldbachEven  ) )
3533, 34imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  <->  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
3635rspcv 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e. Even  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
37 4re 10693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  4  e.  RR )
395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  9  e.  RR )
40 eluzelre 11176 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  RR )
4138, 39, 403jca 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
4241adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
43 eluzle 11178 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  9  <_  n )
4443adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  9  <_  n )
45 4lt9 10815 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  <  9
4644, 45jctil 539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( 4  <  9  /\  9  <_  n ) )
47 ltletr 9732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( 4  <  9  /\  9  <_  n )  ->  4  <  n
) )
4842, 46, 47sylc 62 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  4  <  n )
49 pm2.27 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  <  n  ->  (
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
5150ex 435 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e. Even  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  ->  ( ( 4  < 
n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
5236, 51syl5d 69 . . . . . . . 8  |-  ( n  e. Even  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  ->  ( A. m  e. Even 
( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
5352impcom 431 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Even  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
54 nnsum3primesgbe 38757 . . . . . . 7  |-  ( n  e. GoldbachEven  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
5553, 54syl6 34 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Even  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
56 bgoldbwt 38748 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. o  e. Odd  (
5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )
57 3nn 10775 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  3  e.  NN )
59 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
1 ... d )  =  ( 1 ... 3
) )
6059oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  3  ->  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) )  =  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) )
61 breq1 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
d  <_  3  <->  3  <_  3 ) )
6259sumeq1d 13766 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  3  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) )
6362eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) )
6461, 63anbi12d 715 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  3  ->  (
( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( 3  <_ 
3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
6560, 64rexeqbidv 3037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  3  ->  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
6665adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  /\  d  =  3 )  -> 
( E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
67 3re 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
6867leidi 10155 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <_  3
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  3  <_  3 )
70 6nn 10778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  NN
7170nnzi 10968 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
72 6re 10697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  RR
73 6lt9 10813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  <  9
7472, 5, 73ltleii 9764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  <_  9
75 eluzuzle 11174 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  6  <_  9 )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
6 ) ) )
7671, 74, 75mp2an 676 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  6 )
)
7776anim1i 570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Odd  )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  6 )  /\  n  e. Odd  ) )
78 nnsum4primesodd 38761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  6
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( f `  k ) ) )
7977, 78mpan9 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( f `  k ) )
80 r19.42v 2980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k
) )  <->  ( 3  <_  3  /\  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) n  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k
) ) )
8169, 79, 80sylanbrc 668 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) )
8258, 66, 81rspcedvd 3187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
8382expcom 436 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
8456, 83syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
8584com12 32 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Odd  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
86 eluzelz 11175 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  ZZ )
87 zeoALTV 38669 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  e. Even  \/  n  e. Odd  ) )
8886, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( n  e. Even  \/  n  e. Odd  )
)
8955, 85, 88mpjaodan 793 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9032, 89jaoi 380 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9114, 90sylbi 198 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9291impcom 431 . 2  |-  ( ( A. m  e. Even  (
4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
9392ralrimiva 2836 1  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  2 ) E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    u. cun 3434   class class class wbr 4423   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    ^m cmap 7483   RRcr 9545   1c1 9547    + caddc 9549    < clt 9682    <_ cle 9683   NNcn 10616   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   5c5 10669   6c6 10670   8c8 10672   9c9 10673   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   sum_csu 13751   Primecprime 14621   Even ceven 38623   Odd codd 38624   GoldbachEven cgbe 38716   GoldbachOdd cgbo 38717
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-oi 8034  df-card 8381  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13551  df-sum 13752  df-dvds 14305  df-prm 14622  df-even 38625  df-odd 38626  df-gbe 38719  df-gbo 38720
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator