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Theorem bgoldbnnsum3prm 39044
Description: If the binary Goldbach conjecture is valid, then every integer greater than 1 is the sum of at most 3 primes, showing that Schnirelmann's constant would be equal to 3. (Contributed by AV, 2-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
bgoldbnnsum3prm  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  2 ) E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
Distinct variable group:    f, k, m, d, n

Proof of Theorem bgoldbnnsum3prm
Dummy variable  o is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10993 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
2 9nn 10797 . . . . . . . 8  |-  9  e.  NN
32nnzi 10985 . . . . . . 7  |-  9  e.  ZZ
4 2re 10701 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
5 9re 10718 . . . . . . . 8  |-  9  e.  RR
6 2lt9 10833 . . . . . . . 8  |-  2  <  9
74, 5, 6ltleii 9775 . . . . . . 7  |-  2  <_  9
8 eluz2 11188 . . . . . . 7  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  9  e.  ZZ  /\  2  <_ 
9 ) )
91, 3, 7, 8mpbir3an 1212 . . . . . 6  |-  9  e.  ( ZZ>= `  2 )
10 fzouzsplit 11980 . . . . . . 7  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ZZ>= ` 
2 )  =  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>= `  9
) ) )
1110eleq2d 2534 . . . . . 6  |-  ( 9  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  <->  n  e.  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>=
`  9 ) ) ) )
129, 11ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  n  e.  (
( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>= `  9
) ) )
13 elun 3565 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ( 2..^ 9 )  u.  ( ZZ>=
`  9 ) )  <-> 
( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  ( ZZ>= ` 
9 ) ) )
1412, 13bitri 257 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  (
ZZ>= `  9 ) ) )
15 elfzo2 11950 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 ) )
16 simp1 1030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
17 df-9 10697 . . . . . . . . . . . 12  |-  9  =  ( 8  +  1 )
1817breq2i 4403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  <  9  <->  n  <  ( 8  +  1 ) )
19 eluz2nn 11221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  n  e.  NN )
20 8nn 10796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  8  e.  NN
2119, 20jctir 547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( n  e.  NN  /\  8  e.  NN ) )
2221adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  e.  NN  /\  8  e.  NN )
)
23 nnleltp1 11015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  /\  8  e.  NN )  ->  ( n  <_  8  <->  n  <  ( 8  +  1 ) ) )
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <_  8  <->  n  <  ( 8  +  1 ) ) )
2524biimprd 231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <  ( 8  +  1 )  ->  n  <_  8 ) )
2618, 25syl5bi 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ )  ->  (
n  <  9  ->  n  <_  8 ) )
27263impia 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  n  <_  8 )
2816, 27jca 541 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  9  e.  ZZ  /\  n  <  9 )  ->  (
n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  <_  8 ) )
2915, 28sylbi 200 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  n  <_  8 ) )
30 nnsum3primesle9 39034 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  n  <_  8 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
3129, 30syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
3231a1d 25 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( 2..^ 9 )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
33 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
4  <  m  <->  4  <  n ) )
34 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e. GoldbachEven  <->  n  e. GoldbachEven  ) )
3533, 34imbi12d 327 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  n  ->  (
( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  <->  ( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
3635rspcv 3132 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e. Even  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
37 4re 10708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  4  e.  RR
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  4  e.  RR )
395a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  9  e.  RR )
40 eluzelre 11193 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  RR )
4138, 39, 403jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
4241adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR ) )
43 eluzle 11195 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  9  <_  n )
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  9  <_  n )
45 4lt9 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  4  <  9
4644, 45jctil 546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( 4  <  9  /\  9  <_  n ) )
47 ltletr 9743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 4  e.  RR  /\  9  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  (
( 4  <  9  /\  9  <_  n )  ->  4  <  n
) )
4842, 46, 47sylc 61 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  4  <  n )
49 pm2.27 39 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 4  <  n  ->  (
( 4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e. Even  /\  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( (
4  <  n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
5150ex 441 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e. Even  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  ->  ( ( 4  < 
n  ->  n  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
5236, 51syl5d 68 . . . . . . . 8  |-  ( n  e. Even  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  ->  ( A. m  e. Even 
( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) ) )
5352impcom 437 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Even  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  n  e. GoldbachEven  ) )
54 nnsum3primesgbe 39032 . . . . . . 7  |-  ( n  e. GoldbachEven  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
5553, 54syl6 33 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Even  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
56 bgoldbwt 39023 . . . . . . . 8  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. o  e. Odd  (
5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )
57 3nn 10791 . . . . . . . . . . 11  |-  3  e.  NN
5857a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  3  e.  NN )
59 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
1 ... d )  =  ( 1 ... 3
) )
6059oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  3  ->  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) )  =  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) )
61 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
d  <_  3  <->  3  <_  3 ) )
6259sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( d  =  3  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) )
6362eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  =  3  ->  (
n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k )  <->  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) )
6461, 63anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d  =  3  ->  (
( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  ( 3  <_ 
3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
6560, 64rexeqbidv 2988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  =  3  ->  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d
) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
6665adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  /\  d  =  3 )  -> 
( E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) )  <->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) ) )
67 3re 10705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  3  e.  RR
6867leidi 10169 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  <_  3
6968a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  3  <_  3 )
70 6nn 10794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  NN
7170nnzi 10985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  e.  ZZ
72 6re 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  e.  RR
73 6lt9 10829 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  6  <  9
7472, 5, 73ltleii 9775 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  6  <_  9
75 eluzuzle 11191 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 6  e.  ZZ  /\  6  <_  9 )  -> 
( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  ->  n  e.  ( ZZ>= ` 
6 ) ) )
7671, 74, 75mp2an 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  6 )
)
7776anim1i 578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Odd  )  ->  ( n  e.  ( ZZ>= `  6 )  /\  n  e. Odd  ) )
78 nnsum4primesodd 39036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  6
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3 ) ) n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( f `  k ) ) )
7977, 78mpan9 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3
) ( f `  k ) )
80 r19.42v 2931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k
) )  <->  ( 3  <_  3  /\  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... 3
) ) n  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k
) ) )
8169, 79, 80sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... 3 ) ) ( 3  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... 3 ) ( f `  k ) ) )
8258, 66, 81rspcedvd 3143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  (
ZZ>= `  9 )  /\  n  e. Odd  )  /\  A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  ) )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
8382expcom 442 . . . . . . . 8  |-  ( A. o  e. Odd  ( 5  <  o  ->  o  e. GoldbachOdd  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
8456, 83syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  /\  n  e. Odd  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
8584com12 31 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
9 )  /\  n  e. Odd  )  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
86 eluzelz 11192 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  n  e.  ZZ )
87 zeoALTV 38944 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
n  e. Even  \/  n  e. Odd  ) )
8886, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( n  e. Even  \/  n  e. Odd  )
)
8955, 85, 88mpjaodan 803 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  9
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9032, 89jaoi 386 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( 2..^ 9 )  \/  n  e.  ( ZZ>= `  9 )
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9114, 90sylbi 200 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) ) )
9291impcom 437 . 2  |-  ( ( A. m  e. Even  (
4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  (
1 ... d ) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k ) ) )
9392ralrimiva 2809 1  |-  ( A. m  e. Even  ( 4  <  m  ->  m  e. GoldbachEven  )  ->  A. n  e.  (
ZZ>= `  2 ) E. d  e.  NN  E. f  e.  ( Prime  ^m  ( 1 ... d
) ) ( d  <_  3  /\  n  =  sum_ k  e.  ( 1 ... d ) ( f `  k
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    u. cun 3388   class class class wbr 4395   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    ^m cmap 7490   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   2c2 10681   3c3 10682   4c4 10683   5c5 10684   6c6 10685   8c8 10687   9c9 10688   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   ...cfz 11810  ..^cfzo 11942   sum_csu 13829   Primecprime 14701   Even ceven 38898   Odd codd 38899   GoldbachEven cgbe 38991   GoldbachOdd cgbo 38992
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-prm 14702  df-even 38900  df-odd 38901  df-gbe 38994  df-gbo 38995
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