Theorem bfplem9 16006

Description: Lemma for bfp 16009. The fixed point is unique.

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.1	|- X = dom dom M
bfplem.2	|- M e. CMet
bfplem.3	|- F:X-->X
bfplem.4	|- Y e. X
bfplem.5	|- G = ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y}))
bfplem.6	|- D = (YM(F` Y))
bfplem.7	|- K e. RR+
bfplem.8	|- K < 1
bfplem.9	|- A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))

Assertion

Ref	Expression
bfplem9	|- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> Z = W)

Distinct variable groups:   F,a,b,c,x,y   X,a,b,c,x,y   x,Z,y   Y,a,b,c,x,y   x,W,y   x,G,y   x,M,y   x,K,y

Proof of Theorem bfplem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqlelt 6689	. . . . . 6 |- ((0 e. RR /\ (ZMW) e. RR) -> (0 = (ZMW) <-> (0 <_ (ZMW) /\ -. 0 < (ZMW))))
2		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
3		bfplem.2	. . . . . . . 8 |- M e. CMet
4	3	cmsmeti 9240	. . . . . . 7 |- M e. Met
5		bfp.1	. . . . . . . 8 |- X = dom dom M
6	5	metcl 9088	. . . . . . 7 |- ((M e. Met /\ Z e. X /\ W e. X) -> (ZMW) e. RR)
7	4, 6	mp3an1 1178	. . . . . 6 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> (ZMW) e. RR)
8	1, 2, 7	sylancr 526	. . . . 5 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> (0 = (ZMW) <-> (0 <_ (ZMW) /\ -. 0 < (ZMW))))
9	8	adantr 425	. . . 4 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> (0 = (ZMW) <-> (0 <_ (ZMW) /\ -. 0 < (ZMW))))
10	5	metge0 9096	. . . . . 6 |- ((M e. Met /\ Z e. X /\ W e. X) -> 0 <_ (ZMW))
11	4, 10	mp3an1 1178	. . . . 5 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> 0 <_ (ZMW))
12	11	adantr 425	. . . 4 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> 0 <_ (ZMW))
13		ltnr 6700	. . . . . . 7 |- ((ZMW) e. RR -> -. (ZMW) < (ZMW))
14	7, 13	syl 12	. . . . . 6 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> -. (ZMW) < (ZMW))
15	14	adantr 425	. . . . 5 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> -. (ZMW) < (ZMW))
16	7	ad2antrr 440	. . . . . 6 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (ZMW) e. RR)
17		remulcl 6457	. . . . . . 7 |- ((K e. RR /\ (ZMW) e. RR) -> (K x. (ZMW)) e. RR)
18		bfplem.7	. . . . . . . 8 |- K e. RR+
19		rpre 7236	. . . . . . . 8 |- (K e. RR+ -> K e. RR)
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- K e. RR
21	17, 20, 16	sylancr 526	. . . . . 6 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (K x. (ZMW)) e. RR)
22		opreq12 4891	. . . . . . . . 9 |- (((F` Z) = Z /\ (F` W) = W) -> ((F` Z)M(F` W)) = (ZMW))
23	22	adantl 424	. . . . . . . 8 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> ((F` Z)M(F` W)) = (ZMW))
24		bfplem.9	. . . . . . . . . 10 |- A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))
25		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = Z -> (F` x) = (F` Z))
26	25	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = Z -> ((F` x)M(F` y)) = ((F` Z)M(F` y)))
27		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = Z -> (xMy) = (ZMy))
28	27	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = Z -> (K x. (xMy)) = (K x. (ZMy)))
29	26, 28	breq12d 3351	. . . . . . . . . . 11 |- (x = Z -> (((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> ((F` Z)M(F` y)) <_ (K x. (ZMy))))
30		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = W -> (F` y) = (F` W))
31	30	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = W -> ((F` Z)M(F` y)) = ((F` Z)M(F` W)))
32		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y = W -> (ZMy) = (ZMW))
33	32	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = W -> (K x. (ZMy)) = (K x. (ZMW)))
34	31, 33	breq12d 3351	. . . . . . . . . . 11 |- (y = W -> (((F` Z)M(F` y)) <_ (K x. (ZMy)) <-> ((F` Z)M(F` W)) <_ (K x. (ZMW))))
35	29, 34	rcla42v 2384	. . . . . . . . . 10 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> (A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) -> ((F` Z)M(F` W)) <_ (K x. (ZMW))))
36	24, 35	mpi 55	. . . . . . . . 9 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> ((F` Z)M(F` W)) <_ (K x. (ZMW)))
37	36	adantr 425	. . . . . . . 8 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> ((F` Z)M(F` W)) <_ (K x. (ZMW)))
38	23, 37	eqbrtrrd 3359	. . . . . . 7 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> (ZMW) <_ (K x. (ZMW)))
39	38	adantr 425	. . . . . 6 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (ZMW) <_ (K x. (ZMW)))
40		1re 6598	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. RR
41		bfplem.8	. . . . . . . . . . 11 |- K < 1
42		ltmul1 7008	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. RR /\ 1 e. RR /\ ((ZMW) e. RR /\ 0 < (ZMW))) -> (K < 1 <-> (K x. (ZMW)) < (1 x. (ZMW))))
43	41, 42	mpbii 210	. . . . . . . . . 10 |- ((K e. RR /\ 1 e. RR /\ ((ZMW) e. RR /\ 0 < (ZMW))) -> (K x. (ZMW)) < (1 x. (ZMW)))
44	20, 40, 43	mp3an12 1181	. . . . . . . . 9 |- (((ZMW) e. RR /\ 0 < (ZMW)) -> (K x. (ZMW)) < (1 x. (ZMW)))
45	44, 7	sylan 497	. . . . . . . 8 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ 0 < (ZMW)) -> (K x. (ZMW)) < (1 x. (ZMW)))
46	45	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (K x. (ZMW)) < (1 x. (ZMW)))
47		recn 6466	. . . . . . . . 9 |- ((ZMW) e. RR -> (ZMW) e. CC)
48		mulid2 6578	. . . . . . . . 9 |- ((ZMW) e. CC -> (1 x. (ZMW)) = (ZMW))
49	7, 47, 48	3syl 24	. . . . . . . 8 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> (1 x. (ZMW)) = (ZMW))
50	49	ad2antrr 440	. . . . . . 7 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (1 x. (ZMW)) = (ZMW))
51	46, 50	breqtrd 3361	. . . . . 6 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (K x. (ZMW)) < (ZMW))
52	16, 21, 16, 39, 51	lelttrd 6697	. . . . 5 |- ((((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) /\ 0 < (ZMW)) -> (ZMW) < (ZMW))
53	15, 52	mtand 520	. . . 4 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> -. 0 < (ZMW))
54	9, 12, 53	mpbir2and 802	. . 3 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> 0 = (ZMW))
55	54	eqcomd 1889	. 2 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> (ZMW) = 0)
56	5	meteq0 9089	. . . 4 |- ((M e. Met /\ Z e. X /\ W e. X) -> ((ZMW) = 0 <-> Z = W))
57	4, 56	mp3an1 1178	. . 3 |- ((Z e. X /\ W e. X) -> ((ZMW) = 0 <-> Z = W))
58	57	adantr 425	. 2 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> ((ZMW) = 0 <-> Z = W))
59	55, 58	mpbid 212	1 |- (((Z e. X /\ W e. X) /\ ((F` Z) = Z /\ (F` W) = W)) -> Z = W)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   x. cmul 6391   <_ cle 6448  NNcn 6449  RR+crp 6453   < clt 6653   seq1 cseq1 7720  Metcme 9066  CMetcms 9199

This theorem is referenced by:  bfplem10 16007

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-2 7154  df-rp 7232  df-met 9070  df-cmet 9202

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