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Theorem bfplem2 32219
 Description: Lemma for bfp 32220. Using the point found in bfplem1 32218, we show that this convergent point is a fixed point of . Since for any positive , the sequence is in for all (where ), we have and , so is in every neighborhood of and is a fixed point of . (Contributed by Jeff Madsen, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
bfp.8
bfp.9
bfp.10
Assertion
Ref Expression
bfplem2
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem bfplem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . . . 5
2 cmetmet 22334 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 metxmet 21427 . . . 4
5 bfp.8 . . . . 5
65mopntopon 21532 . . . 4 TopOn
73, 4, 63syl 18 . . 3 TopOn
8 bfp.3 . . . 4
9 bfp.4 . . . 4
10 bfp.5 . . . 4
11 bfp.6 . . . 4
12 bfp.7 . . . 4
13 bfp.9 . . . 4
14 bfp.10 . . . 4
151, 8, 9, 10, 11, 12, 5, 13, 14bfplem1 32218 . . 3
16 lmcl 20390 . . 3 TopOn
177, 15, 16syl2anc 673 . 2
183adantr 472 . . . . . . . . . . 11
1918, 4syl 17 . . . . . . . . . 10
20 nnuz 11218 . . . . . . . . . 10
21 1zzd 10992 . . . . . . . . . 10
22 eqidd 2472 . . . . . . . . . 10
2315adantr 472 . . . . . . . . . 10
24 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . 11
2524adantl 473 . . . . . . . . . 10
265, 19, 20, 21, 22, 23, 25lmmcvg 22309 . . . . . . . . 9
27 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
2827ralimi 2796 . . . . . . . . . . 11
29 nnz 10983 . . . . . . . . . . . . . . 15
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14
31 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . 14
32 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3332oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15
3534rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . 14
3630, 31, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . 13
3730, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 peano2uz 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4039oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4140breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241rspcv 3132 . . . . . . . . . . . . . . 15
4337, 38, 423syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14
44 1zzd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4520, 14, 44, 13, 11algrp1 14612 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4645adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4746oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . 15
4847breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . 14
4943, 48sylibd 222 . . . . . . . . . . . . 13
5036, 49jcad 542 . . . . . . . . . . . 12
513ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
5220, 14, 44, 13, 11algrf 14611 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15
5453ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . . . 14
5517ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
56 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . 14
5751, 54, 55, 56syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
5811ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15
5958, 54ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . 14
60 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . 14
6151, 59, 55, 60syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
62 rpre 11331 . . . . . . . . . . . . . 14
6362ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13
64 lt2halves 10870 . . . . . . . . . . . . 13
6557, 61, 63, 64syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
6611, 17ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
683, 66, 17, 67syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
6968ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14
7058, 55ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . 16
71 metcl 21425 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7251, 59, 70, 71syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372, 61readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
7457, 61readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . 14
75 mettri2 21434 . . . . . . . . . . . . . . 15
7651, 59, 70, 55, 75syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . . . 14
779rpred 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7877ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7978, 57remulcld 9689 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8054, 55jca 541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8112ralrimivva 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8483oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
85 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8685oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8784, 86breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
88 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8988oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
90 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9190oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9289, 91breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9387, 92rspc2v 3147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9480, 82, 93sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16
95 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
96 metge0 21438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9751, 54, 55, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
98 1re 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
99 ltle 9740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10077, 98, 99sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10110, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102101ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10378, 95, 57, 97, 102lemul1ad 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10457recnd 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105104mulid2d 9679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
106103, 105breqtrd 4420 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10772, 79, 57, 94, 106letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . . 15
10872, 57, 61, 107leadd1dd 10248 . . . . . . . . . . . . . 14
10969, 73, 74, 76, 108letrd 9809 . . . . . . . . . . . . 13
110 lelttr 9742 . . . . . . . . . . . . . 14
11169, 74, 63, 110syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
112109, 111mpand 689 . . . . . . . . . . . 12
11350, 65, 1123syld 56 . . . . . . . . . . 11
11428, 113syl5 32 . . . . . . . . . 10
115114rexlimdva 2871 . . . . . . . . 9
11626, 115mpd 15 . . . . . . . 8
117 ltle 9740 . . . . . . . . 9
11868, 62, 117syl2an 485 . . . . . . . 8
119116, 118mpd 15 . . . . . . 7
12062adantl 473 . . . . . . . . 9
121120recnd 9687 . . . . . . . 8
122121addid2d 9852 . . . . . . 7
123119, 122breqtrrd 4422 . . . . . 6
124123ralrimiva 2809 . . . . 5
125 0re 9661 . . . . . 6
126 alrple 11522 . . . . . 6
12768, 125, 126sylancl 675 . . . . 5
128124, 127mpbird 240 . . . 4
129 metge0 21438 . . . . 5
1303, 66, 17, 129syl3anc 1292 . . . 4
131 letri3 9737 . . . . 5
13268, 125, 131sylancl 675 . . . 4
133128, 130, 132mpbir2and 936 . . 3
134 meteq0 21432 . . . 4
1353, 66, 17, 134syl3anc 1292 . . 3
136133, 135mpbid 215 . 2
137 fveq2 5879 . . . 4
138 id 22 . . . 4
139137, 138eqeq12d 2486 . . 3
140139rspcev 3136 . 2
14117, 136, 140syl2anc 673 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  c0 3722  csn 3959   class class class wbr 4395   cxp 4837   ccom 4843  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn 10631  c2 10681  cz 10961  cuz 11182  crp 11325   cseq 12251  cxmt 19032  cme 19033  cmopn 19037  TopOnctopon 19995  clm 20319  cms 22302 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-lm 20322  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-cfil 22303  df-cau 22304  df-cmet 22305 This theorem is referenced by:  bfp  32220
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