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Theorem bfplem1 28862
Description: Lemma for bfp 28864. The sequence  G, which simply starts from any point in the space and iterates  F, satisfies the property that the distance from  G ( n ) to  G ( n  + 
1 ) decreases by at least  K after each step. Thus, the total distance from any  G ( i ) to  G ( j ) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point  ( ( ~~> t `  J
) `  G ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
bfp.8  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
bfp.9  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
bfp.10  |-  G  =  seq 1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
Assertion
Ref Expression
bfplem1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Distinct variable groups:    x, y, D    x, G, y    x, J, y    ph, x, y   
x, F, y    x, K, y    x, X, y
Allowed substitution hints:    A( x, y)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
2 cmetmet 20922 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 nnuz 11000 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5 bfp.10 . . . . 5  |-  G  =  seq 1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  { A } ) )
6 1z 10780 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
8 bfp.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
9 bfp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
104, 5, 7, 8, 9algrf 13859 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : NN --> X )
119, 8ffvelrnd 5946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  A
)  e.  X )
12 metcl 20032 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  A  e.  X  /\  ( F `  A )  e.  X )  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
133, 8, 11, 12syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  RR )
14 bfp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
1513, 14rerpdivcld 11158 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  e.  RR )
16 bfp.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
17 fveq2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  j )  =  ( G ` 
1 ) )
18 oveq1 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  1  ->  (
j  +  1 )  =  ( 1  +  1 ) )
1918fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( 1  +  1 ) ) )
2017, 19oveq12d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 1 ) D ( G `  (
1  +  1 ) ) ) )
21 oveq2 6201 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  1  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ 1 ) )
2221oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) )
2320, 22breq12d 4406 . . . . . . 7  |-  ( j  =  1  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) )
2423imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  1  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  1
) D ( G `
 ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) ) ) ) )
25 fveq2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  j )  =  ( G `  k ) )
26 oveq1 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  k  ->  (
j  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
2726fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
2825, 27oveq12d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
29 oveq2 6201 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  k  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ k
) )
3029oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) )
3128, 30breq12d 4406 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) ) )
3231imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) ) ) ) )
33 fveq2 5792 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  j )  =  ( G `  ( k  +  1 ) ) )
34 oveq1 6200 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
j  +  1 )  =  ( ( k  +  1 )  +  1 ) )
3534fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( G `  ( j  +  1 ) )  =  ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )
3633, 35oveq12d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( G `  j
) D ( G `
 ( j  +  1 ) ) )  =  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) ) )
37 oveq2 6201 . . . . . . . . 9  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( K ^ j )  =  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )
3837oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ j ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )
3936, 38breq12d 4406 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
j ) )  <->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
4039imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  j ) D ( G `  ( j  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ j ) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
4113leidd 10010 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  <_  ( A D ( F `  A ) ) )
424, 5, 7, 8algr0 13858 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  1
)  =  A )
43 1nn 10437 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
444, 5, 7, 8, 9algrp1 13860 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  1  e.  NN )  ->  ( G `
 ( 1  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  1 )
) )
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 ( G ` 
1 ) ) )
4642fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  1 )
)  =  ( F `
 A ) )
4745, 46eqtrd 2492 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  (
1  +  1 ) )  =  ( F `
 A ) )
4842, 47oveq12d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  =  ( A D ( F `  A ) ) )
4914rpred 11131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
5049recnd 9516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  K  e.  CC )
5150exp1d 12113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K ^ 1 )  =  K )
5251oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  K ) )
5313recnd 9516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A D ( F `  A ) )  e.  CC )
5414rpne0d 11136 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  =/=  0 )
5553, 50, 54divcan1d 10212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  K
)  =  ( A D ( F `  A ) ) )
5652, 55eqtrd 2492 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ 1 ) )  =  ( A D ( F `  A
) ) )
5741, 48, 563brtr4d 4423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
1 ) D ( G `  ( 1  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
1 ) ) )
5810ffvelrnda 5945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 k )  e.  X )
59 peano2nn 10438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
60 ffvelrn 5943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G : NN --> X  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X
)
6110, 59, 60syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  e.  X )
6258, 61jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X ) )
63 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6463ralrimivva 2907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
66 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( G `  k ) ) )
6766oveq1d 6208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( F `  x
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  y
) ) )
68 oveq1 6200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
x D y )  =  ( ( G `
 k ) D y ) )
6968oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) )
7067, 69breq12d 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( G `  k )  ->  (
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) ) ) )
71 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
7271oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 y ) )  =  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
73 oveq2 6201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( G `  k
) D y )  =  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )
7473oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  =  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7572, 74breq12d 4406 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( G `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 y ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D y ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7670, 75rspc2v 3179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( G `  k
)  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) )  ->  ( ( F `
 ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7762, 65, 76sylc 60 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
783adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  D  e.  ( Met `  X
) )
799adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : X
--> X )
8079, 58ffvelrnd 5946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  k ) )  e.  X )
8179, 61ffvelrnd 5946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )
82 metcl 20032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( F `  ( G `  k ) )  e.  X  /\  ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  X )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8378, 80, 81, 82syl3anc 1219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8449adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  RR )
85 metcl 20032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  ( G `  k )  e.  X  /\  ( G `  ( k  +  1 ) )  e.  X )  -> 
( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
8678, 58, 61, 85syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
8784, 86remulcld 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K  x.  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) ) )  e.  RR )
8815adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  RR )
8959adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
9089nnnn0d 10740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
9184, 90reexpcld 12135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  e.  RR )
9288, 91remulcld 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  e.  RR )
93 letr 9572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  e.  RR  /\  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ( F `  ( G `
 k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
9483, 87, 92, 93syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  /\  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) )  -> 
( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
9577, 94mpand 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  ->  (
( F `  ( G `  k )
) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
96 nnnn0 10690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
97 reexpcl 11992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ k
)  e.  RR )
9849, 96, 97syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  RR )
9988, 98remulcld 9518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  e.  RR )
10014rpgt0d 11134 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  <  K )
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
K )
102 lemul1 10285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  e.  RR  /\  ( K  e.  RR  /\  0  <  K ) )  -> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  <-> 
( ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  x.  K
)  <_  ( (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K ) ) )
10386, 99, 84, 101, 102syl112anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_ 
( ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  x.  K
) ) )
10486recnd 9516 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
10550adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  K  e.  CC )
106104, 105mulcomd 9511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  =  ( K  x.  (
( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
10788recnd 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  e.  CC )
10898recnd 9516 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ k )  e.  CC )
109107, 108, 105mulassd 9513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
110 expp1 11982 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( K ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( K ^ k )  x.  K ) )
11150, 96, 110syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( K ^ ( k  +  1 ) )  =  ( ( K ^
k )  x.  K
) )
112111oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  (
( K ^ k
)  x.  K ) ) )
113109, 112eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) )  x.  K )  =  ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) )
114106, 113breq12d 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  x.  K )  <_  ( ( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
k ) )  x.  K )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
115103, 114bitrd 253 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  <->  ( K  x.  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
1164, 5, 7, 8, 9algrp1 13860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( k  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  k )
) )
1174, 5, 7, 8, 9algrp1 13860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( G `  ( (
k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
11859, 117sylan2 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) )  =  ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )
119116, 118oveq12d 6211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  =  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `
 ( G `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
120119breq1d 4403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) )  <->  ( ( F `  ( G `  k ) ) D ( F `  ( G `  ( k  +  1 ) ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
12195, 115, 1203imtr4d 268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( G `  k
) D ( G `
 ( k  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k
) )  ->  (
( G `  (
k  +  1 ) ) D ( G `
 ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( ( ( A D ( F `
 A ) )  /  K )  x.  ( K ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
122121expcom 435 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) )  ->  ( ( G `
 ( k  +  1 ) ) D ( G `  (
( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
123122a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( G `  ( k  +  1 ) ) D ( G `  ( ( k  +  1 )  +  1 ) ) )  <_  ( (
( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^
( k  +  1 ) ) ) ) ) )
12424, 32, 40, 32, 57, 123nnind 10444 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( G `
 k ) D ( G `  (
k  +  1 ) ) )  <_  (
( ( A D ( F `  A
) )  /  K
)  x.  ( K ^ k ) ) ) )
125124impcom 430 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( G `  k ) D ( G `  ( k  +  1 ) ) )  <_ 
( ( ( A D ( F `  A ) )  /  K )  x.  ( K ^ k ) ) )
1263, 10, 15, 14, 16, 125geomcau 28796 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( Cau `  D ) )
127 bfp.8 . . . 4  |-  J  =  ( MetOpen `  D )
128127cmetcau 20925 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( CMet `  X )  /\  G  e.  ( Cau `  D
) )  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J ) )
1291, 126, 128syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  ( ~~> t `  J )
)
130 metxmet 20034 . . . 4  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
131127methaus 20220 . . . 4  |-  ( D  e.  ( *Met `  X )  ->  J  e.  Haus )
1323, 130, 1313syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  Haus )
133 lmfun 19110 . . 3  |-  ( J  e.  Haus  ->  Fun  ( ~~> t `  J )
)
134 funfvbrb 5918 . . 3  |-  ( Fun  ( ~~> t `  J
)  ->  ( G  e.  dom  ( ~~> t `  J )  <->  G ( ~~> t `  J )
( ( ~~> t `  J ) `  G
) ) )
135132, 133, 1343syl 20 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  dom  (
~~> t `  J )  <-> 
G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) ) )
136129, 135mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  G ( ~~> t `  J ) ( ( ~~> t `  J ) `
 G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   dom cdm 4941    o. ccom 4945   Fun wfun 5513   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1stc1st 6678   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    < clt 9522    <_ cle 9523    / cdiv 10097   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   RR+crp 11095    seqcseq 11916   ^cexp 11975   *Metcxmt 17919   Metcme 17920   MetOpencmopn 17924   ~~> tclm 18955   Hauscha 19037   Caucca 20889   CMetcms 20890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-ntr 18749  df-nei 18827  df-lm 18958  df-haus 19044  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-cfil 20891  df-cau 20892  df-cmet 20893
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