Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfplem1 Structured version   Unicode version

Theorem bfplem1 30245
 Description: Lemma for bfp 30247. The sequence , which simply starts from any point in the space and iterates , satisfies the property that the distance from to decreases by at least after each step. Thus, the total distance from any to is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
bfp.8
bfp.9
bfp.10
Assertion
Ref Expression
bfplem1
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem bfplem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.2 . . 3
2 cmetmet 21593 . . . . 5
31, 2syl 16 . . . 4
4 nnuz 11129 . . . . 5
5 bfp.10 . . . . 5
6 1z 10906 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
8 bfp.9 . . . . 5
9 bfp.6 . . . . 5
104, 5, 7, 8, 9algrf 14078 . . . 4
119, 8ffvelrnd 6033 . . . . . 6
12 metcl 20703 . . . . . 6
133, 8, 11, 12syl3anc 1228 . . . . 5
14 bfp.4 . . . . 5
1513, 14rerpdivcld 11295 . . . 4
16 bfp.5 . . . 4
17 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
18 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
1918fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
2017, 19oveq12d 6313 . . . . . . . 8
21 oveq2 6303 . . . . . . . . 9
2221oveq2d 6311 . . . . . . . 8
2320, 22breq12d 4466 . . . . . . 7
2423imbi2d 316 . . . . . 6
25 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
26 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
2726fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
2825, 27oveq12d 6313 . . . . . . . 8
29 oveq2 6303 . . . . . . . . 9
3029oveq2d 6311 . . . . . . . 8
3128, 30breq12d 4466 . . . . . . 7
3231imbi2d 316 . . . . . 6
33 fveq2 5872 . . . . . . . . 9
34 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
3534fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
3633, 35oveq12d 6313 . . . . . . . 8
37 oveq2 6303 . . . . . . . . 9
3837oveq2d 6311 . . . . . . . 8
3936, 38breq12d 4466 . . . . . . 7
4039imbi2d 316 . . . . . 6
4113leidd 10131 . . . . . . 7
424, 5, 7, 8algr0 14077 . . . . . . . 8
43 1nn 10559 . . . . . . . . . 10
444, 5, 7, 8, 9algrp1 14079 . . . . . . . . . 10
4543, 44mpan2 671 . . . . . . . . 9
4642fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
4745, 46eqtrd 2508 . . . . . . . 8
4842, 47oveq12d 6313 . . . . . . 7
4914rpred 11268 . . . . . . . . . . 11
5049recnd 9634 . . . . . . . . . 10
5150exp1d 12285 . . . . . . . . 9
5251oveq2d 6311 . . . . . . . 8
5313recnd 9634 . . . . . . . . 9
5414rpne0d 11273 . . . . . . . . 9
5553, 50, 54divcan1d 10333 . . . . . . . 8
5652, 55eqtrd 2508 . . . . . . 7
5741, 48, 563brtr4d 4483 . . . . . 6
5810ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . 12
59 peano2nn 10560 . . . . . . . . . . . . 13
60 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . 13
6110, 59, 60syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
6258, 61jca 532 . . . . . . . . . . 11
63 bfp.7 . . . . . . . . . . . . 13
6463ralrimivva 2888 . . . . . . . . . . . 12
6564adantr 465 . . . . . . . . . . 11
66 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
6766oveq1d 6310 . . . . . . . . . . . . 13
68 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . 14
6968oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
7067, 69breq12d 4466 . . . . . . . . . . . 12
71 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14
7271oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
73 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . . 14
7473oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . . 13
7572, 74breq12d 4466 . . . . . . . . . . . 12
7670, 75rspc2v 3228 . . . . . . . . . . 11
7762, 65, 76sylc 60 . . . . . . . . . 10
783adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
799adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
8079, 58ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12
8179, 61ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . . . 12
82 metcl 20703 . . . . . . . . . . . 12
8378, 80, 81, 82syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
8449adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
85 metcl 20703 . . . . . . . . . . . . 13
8678, 58, 61, 85syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
8784, 86remulcld 9636 . . . . . . . . . . 11
8815adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8959adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
9089nnnn0d 10864 . . . . . . . . . . . . 13
9184, 90reexpcld 12307 . . . . . . . . . . . 12
9288, 91remulcld 9636 . . . . . . . . . . 11
93 letr 9690 . . . . . . . . . . 11
9483, 87, 92, 93syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
9577, 94mpand 675 . . . . . . . . 9
96 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . . 13
97 reexpcl 12163 . . . . . . . . . . . . 13
9849, 96, 97syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12
9988, 98remulcld 9636 . . . . . . . . . . 11
10014rpgt0d 11271 . . . . . . . . . . . 12
101100adantr 465 . . . . . . . . . . 11
102 lemul1 10406 . . . . . . . . . . 11
10386, 99, 84, 101, 102syl112anc 1232 . . . . . . . . . 10
10486recnd 9634 . . . . . . . . . . . 12
10550adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
106104, 105mulcomd 9629 . . . . . . . . . . 11
10788recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
10898recnd 9634 . . . . . . . . . . . . 13
109107, 108, 105mulassd 9631 . . . . . . . . . . . 12
110 expp1 12153 . . . . . . . . . . . . . 14
11150, 96, 110syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
112111oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12
113109, 112eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11
114106, 113breq12d 4466 . . . . . . . . . 10
115103, 114bitrd 253 . . . . . . . . 9
1164, 5, 7, 8, 9algrp1 14079 . . . . . . . . . . 11
1174, 5, 7, 8, 9algrp1 14079 . . . . . . . . . . . 12
11859, 117sylan2 474 . . . . . . . . . . 11
119116, 118oveq12d 6313 . . . . . . . . . 10
120119breq1d 4463 . . . . . . . . 9
12195, 115, 1203imtr4d 268 . . . . . . . 8
122121expcom 435 . . . . . . 7
123122a2d 26 . . . . . 6
12424, 32, 40, 32, 57, 123nnind 10566 . . . . 5
125124impcom 430 . . . 4
1263, 10, 15, 14, 16, 125geomcau 30179 . . 3
127 bfp.8 . . . 4
128127cmetcau 21596 . . 3
1291, 126, 128syl2anc 661 . 2
130 metxmet 20705 . . . 4
131127methaus 20891 . . . 4
1323, 130, 1313syl 20 . . 3
133 lmfun 19750 . . 3
134 funfvbrb 6001 . . 3
135132, 133, 1343syl 20 . 2
136129, 135mpbid 210 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2817  c0 3790  csn 4033   class class class wbr 4453   cxp 5003   cdm 5005   ccom 5009   wfun 5588  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  c1st 6793  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   clt 9640   cle 9641   cdiv 10218  cn 10548  cn0 10807  cz 10876  crp 11232   cseq 12087  cexp 12146  cxmt 18273  cme 18274  cmopn 18278  clm 19595  cha 19677  cca 21560  cms 21561 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-ntr 19389  df-nei 19467  df-lm 19598  df-haus 19684  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564 This theorem is referenced by:  bfplem2  30246
 Copyright terms: Public domain W3C validator