Theorem bfplem1 15998

Description: Lemma for bfp 16009. We construct a sequence G by repeatedly applying F to a starting value Y.

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.1	|- X = dom dom M
bfplem.2	|- M e. CMet
bfplem.3	|- F:X-->X
bfplem.4	|- Y e. X
bfplem.5	|- G = ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y}))

Assertion

Ref	Expression
bfplem1	|- G:NN-->X

Distinct variable groups:   F,a,b,c   X,a,b,c   Y,a,b,c

Proof of Theorem bfplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfplem.4	. . . 4 |- Y e. X
2	1	fconst6 15700	. . 3 |- (NN X. {Y}):NN-->X
3		eqid 1884	. . . 4 |- {<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} = {<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))}
4		bfplem.3	. . . . . 6 |- F:X-->X
5	4	ffvelrni 4788	. . . . 5 |- (a e. X -> (F` a) e. X)
6	5	adantr 425	. . . 4 |- ((a e. X /\ b e. X) -> (F` a) e. X)
7	3, 6	foprab 5062	. . 3 |- {<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))}:(X X. X)-->X
8		bfp.1	. . . . . 6 |- X = dom dom M
9		bfplem.2	. . . . . . . . 9 |- M e. CMet
10	9	elisseti 2301	. . . . . . . 8 |- M e. _V
11	10	dmex 4208	. . . . . . 7 |- dom M e. _V
12	11	dmex 4208	. . . . . 6 |- dom dom M e. _V
13	8, 12	eqeltri 1967	. . . . 5 |- X e. _V
14	13, 13, 3	oprabex2 4950	. . . 4 |- {<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} e. _V
15		nnex 7116	. . . . 5 |- NN e. _V
16		snex 3492	. . . . 5 |- {Y} e. _V
17	15, 16	xpex 4096	. . . 4 |- (NN X. {Y}) e. _V
18	14, 17	seq1f 7736	. . 3 |- (((NN X. {Y}):NN-->X /\ {<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))}:(X X. X)-->X) -> ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y})):NN-->X)
19	2, 7, 18	mp2an 761	. 2 |- ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y})):NN-->X
20		bfplem.5	. . 3 |- G = ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y}))
21	20	feq1i 4558	. 2 |- (G:NN-->X <-> ({<.<.a, b>., c>. | ((a e. X /\ b e. X) /\ c = (F` a))} seq1 (NN X. {Y})):NN-->X)
22	19, 21	mpbir 207	1 |- G:NN-->X

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  {csn 3044   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  NNcn 6449   seq1 cseq1 7720  CMetcms 9199

This theorem is referenced by:  bfplem3 16000  bfplem5 16002  bfplem6 16003  bfplem7 16004  bfplem8 16005

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-seq1 7721

Copyright terms: Public domain