Theorem bfplem1 28862

Description: Lemma for bfp 28864. The sequence G, which simply starts from any point in the space and iterates F, satisfies the property that the distance from G ( n ) to G ( n + 1 ) decreases by at least K after each step. Thus, the total distance from any G ( i ) to G ( j ) is bounded by a geometric series, and the sequence is Cauchy. Therefore, it converges to a point ( ( ~~> t ` J ) ` G ) since the space is complete. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
bfp.2	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
bfp.3	|- ( ph -> X =/= (/) )
bfp.4	|- ( ph -> K e. RR+ )
bfp.5	|- ( ph -> K < 1 )
bfp.6	|- ( ph -> F : X --> X )
bfp.7	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
bfp.8	|- J = ( MetOpen ` D )
bfp.9	|- ( ph -> A e. X )
bfp.10	|- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )

Assertion

Ref	Expression
bfplem1	|- ( ph -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )

Distinct variable groups:   x, y, D   x, G, y   x, J, y   ph, x, y   x, F, y   x, K, y   x, X, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)

Proof of Theorem bfplem1

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bfp.2	. . 3 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
2		cmetmet 20922	. . . . 5 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
3	1, 2	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> D e. ( Met ` X ) )
4		nnuz 11000	. . . . 5 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
5		bfp.10	. . . . 5 |- G = seq 1 ( ( F o. 1st ) , ( NN X. { A } ) )
6		1z 10780	. . . . . 6 |- 1 e. ZZ
7	6	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
8		bfp.9	. . . . 5 |- ( ph -> A e. X )
9		bfp.6	. . . . 5 |- ( ph -> F : X --> X )
10	4, 5, 7, 8, 9	algrf 13859	. . . 4 |- ( ph -> G : NN --> X )
11	9, 8	ffvelrnd 5946	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F ` A ) e. X )
12		metcl 20032	. . . . . 6 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ A e. X /\ ( F ` A ) e. X ) -> ( A D ( F ` A ) ) e. RR )
13	3, 8, 11, 12	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) e. RR )
14		bfp.4	. . . . 5 |- ( ph -> K e. RR+ )
15	13, 14	rerpdivcld 11158	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. RR )
16		bfp.5	. . . 4 |- ( ph -> K < 1 )
17		fveq2 5792	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( G ` j ) = ( G ` 1 ) )
18		oveq1 6200	. . . . . . . . . 10 |- ( j = 1 -> ( j + 1 ) = ( 1 + 1 ) )
19	18	fveq2d 5796	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( 1 + 1 ) ) )
20	17, 19	oveq12d 6211	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) )
21		oveq2 6201	. . . . . . . . 9 |- ( j = 1 -> ( K ^ j ) = ( K ^ 1 ) )
22	21	oveq2d 6209	. . . . . . . 8 |- ( j = 1 -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) )
23	20, 22	breq12d 4406	. . . . . . 7 |- ( j = 1 -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) ) )
24	23	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( j = 1 -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) ) ) )
25		fveq2 5792	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( G ` j ) = ( G ` k ) )
26		oveq1 6200	. . . . . . . . . 10 |- ( j = k -> ( j + 1 ) = ( k + 1 ) )
27	26	fveq2d 5796	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( k + 1 ) ) )
28	25, 27	oveq12d 6211	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
29		oveq2 6201	. . . . . . . . 9 |- ( j = k -> ( K ^ j ) = ( K ^ k ) )
30	29	oveq2d 6209	. . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) )
31	28, 30	breq12d 4406	. . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) )
32	31	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) ) )
33		fveq2 5792	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( G ` j ) = ( G ` ( k + 1 ) ) )
34		oveq1 6200	. . . . . . . . . 10 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j + 1 ) = ( ( k + 1 ) + 1 ) )
35	34	fveq2d 5796	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( G ` ( j + 1 ) ) = ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) )
36	33, 35	oveq12d 6211	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) = ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) )
37		oveq2 6201	. . . . . . . . 9 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( K ^ j ) = ( K ^ ( k + 1 ) ) )
38	37	oveq2d 6209	. . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) )
39	36, 38	breq12d 4406	. . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) <-> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
40	39	imbi2d 316	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( ( G ` j ) D ( G ` ( j + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ j ) ) ) <-> ( ph -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
41	13	leidd 10010	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) <_ ( A D ( F ` A ) ) )
42	4, 5, 7, 8	algr0 13858	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` 1 ) = A )
43		1nn 10437	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. NN
44	4, 5, 7, 8, 9	algrp1 13860	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ 1 e. NN ) -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` ( G ` 1 ) ) )
45	43, 44	mpan2 671	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` ( G ` 1 ) ) )
46	42	fveq2d 5796	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` ( G ` 1 ) ) = ( F ` A ) )
47	45, 46	eqtrd 2492	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( G ` ( 1 + 1 ) ) = ( F ` A ) )
48	42, 47	oveq12d 6211	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) = ( A D ( F ` A ) ) )
49	14	rpred 11131	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> K e. RR )
50	49	recnd 9516	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> K e. CC )
51	50	exp1d 12113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( K ^ 1 ) = K )
52	51	oveq2d 6209	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. K ) )
53	13	recnd 9516	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( A D ( F ` A ) ) e. CC )
54	14	rpne0d 11136	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> K =/= 0 )
55	53, 50, 54	divcan1d 10212	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. K ) = ( A D ( F ` A ) ) )
56	52, 55	eqtrd 2492	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) = ( A D ( F ` A ) ) )
57	41, 48, 56	3brtr4d 4423	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( G ` 1 ) D ( G ` ( 1 + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ 1 ) ) )
58	10	ffvelrnda 5945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` k ) e. X )
59		peano2nn 10438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
60		ffvelrn 5943	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : NN --> X /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. X )
61	10, 59, 60	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) e. X )
62	58, 61	jca 532	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) )
63		bfp.7	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
64	63	ralrimivva 2907	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
65	64	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) )
66		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( G ` k ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
67	66	oveq1d 6208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G ` k ) -> ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) )
68		oveq1 6200	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( G ` k ) -> ( x D y ) = ( ( G ` k ) D y ) )
69	68	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( G ` k ) -> ( K x. ( x D y ) ) = ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) )
70	67, 69	breq12d 4406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( G ` k ) -> ( ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) ) )
71		fveq2 5792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( F ` y ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
72	71	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
73		oveq2 6201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( G ` k ) D y ) = ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
74	73	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) = ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
75	72, 74	breq12d 4406	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( G ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D y ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	70, 75	rspc2v 3179	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( F ` x ) D ( F ` y ) ) <_ ( K x. ( x D y ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	62, 65, 76	sylc 60	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
78	3	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> D e. ( Met ` X ) )
79	9	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F : X --> X )
80	79, 58	ffvelrnd 5946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( G ` k ) ) e. X )
81	79, 61	ffvelrnd 5946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. X )
82		metcl 20032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( F ` ( G ` k ) ) e. X /\ ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. X ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
83	78, 80, 81, 82	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
84	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> K e. RR )
85		metcl 20032	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ ( G ` k ) e. X /\ ( G ` ( k + 1 ) ) e. X ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
86	78, 58, 61, 85	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR )
87	84, 86	remulcld 9518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR )
88	15	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. RR )
89	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
90	89	nnnn0d 10740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
91	84, 90	reexpcld 12135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
92	88, 91	remulcld 9518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) e. RR )
93		letr 9572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) e. RR /\ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) e. RR ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
94	83, 87, 92, 93	syl3anc 1219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) /\ ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
95	77, 94	mpand 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) -> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
96		nnnn0 10690	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
97		reexpcl 11992	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( K e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( K ^ k ) e. RR )
98	49, 96, 97	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ k ) e. RR )
99	88, 98	remulcld 9518	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) e. RR )
100	14	rpgt0d 11134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 < K )
101	100	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < K )
102		lemul1 10285	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. RR /\ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) e. RR /\ ( K e. RR /\ 0 < K ) ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) ) )
103	86, 99, 84, 101, 102	syl112anc 1223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) ) )
104	86	recnd 9516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) e. CC )
105	50	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> K e. CC )
106	104, 105	mulcomd 9511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) = ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
107	88	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) e. CC )
108	98	recnd 9516	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ k ) e. CC )
109	107, 108, 105	mulassd 9513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( ( K ^ k ) x. K ) ) )
110		expp1 11982	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( K e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) = ( ( K ^ k ) x. K ) )
111	50, 96, 110	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( K ^ ( k + 1 ) ) = ( ( K ^ k ) x. K ) )
112	111	oveq2d 6209	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( ( K ^ k ) x. K ) ) )
113	109, 112	eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) = ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) )
114	106, 113	breq12d 4406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) x. K ) <_ ( ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) x. K ) <-> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
115	103, 114	bitrd 253	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) <-> ( K x. ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
116	4, 5, 7, 8, 9	algrp1 13860	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( k + 1 ) ) = ( F ` ( G ` k ) ) )
117	4, 5, 7, 8, 9	algrp1 13860	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. NN ) -> ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
118	59, 117	sylan2 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) = ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) )
119	116, 118	oveq12d 6211	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) = ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) )
120	119	breq1d 4403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) <-> ( ( F ` ( G ` k ) ) D ( F ` ( G ` ( k + 1 ) ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
121	95, 115, 120	3imtr4d 268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
122	121	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
123	122	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) -> ( ph -> ( ( G ` ( k + 1 ) ) D ( G ` ( ( k + 1 ) + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ ( k + 1 ) ) ) ) ) )
124	24, 32, 40, 32, 57, 123	nnind 10444	. . . . 5 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) ) )
125	124	impcom 430	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( G ` k ) D ( G ` ( k + 1 ) ) ) <_ ( ( ( A D ( F ` A ) ) / K ) x. ( K ^ k ) ) )
126	3, 10, 15, 14, 16, 125	geomcau 28796	. . 3 |- ( ph -> G e. ( Cau ` D ) )
127		bfp.8	. . . 4 |- J = ( MetOpen ` D )
128	127	cmetcau 20925	. . 3 |- ( ( D e. ( CMet ` X ) /\ G e. ( Cau ` D ) ) -> G e. dom ( ~~> t ` J ) )
129	1, 126, 128	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> G e. dom ( ~~> t ` J ) )
130		metxmet 20034	. . . 4 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
131	127	methaus 20220	. . . 4 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> J e. Haus )
132	3, 130, 131	3syl 20	. . 3 |- ( ph -> J e. Haus )
133		lmfun 19110	. . 3 |- ( J e. Haus -> Fun ( ~~> t ` J ) )
134		funfvbrb 5918	. . 3 |- ( Fun ( ~~> t ` J ) -> ( G e. dom ( ~~> t ` J ) <-> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
135	132, 133, 134	3syl 20	. 2 |- ( ph -> ( G e. dom ( ~~> t ` J ) <-> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) ) )
136	129, 135	mpbid 210	1 |- ( ph -> G ( ~~> t ` J ) ( ( ~~> t ` J ) ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   (/)c0 3738   {csn 3978   class class class wbr 4393   X. cxp 4939   dom cdm 4941   o. ccom 4945   Fun wfun 5513   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   1stc1st 6678   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386   1c1 9387   + caddc 9389   x. cmul 9391   < clt 9522   <_ cle 9523   / cdiv 10097   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   RR+crp 11095   seqcseq 11916   ^cexp 11975   *Metcxmt 17919   Metcme 17920   MetOpencmopn 17924   ~~> tclm 18955   Hauscha 19037   Caucca 20889   CMetcms 20890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xneg 11193  df-xadd 11194  df-xmul 11195  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-rlim 13078  df-sum 13275  df-rest 14472  df-topgen 14493  df-psmet 17927  df-xmet 17928  df-met 17929  df-bl 17930  df-mopn 17931  df-fbas 17932  df-fg 17933  df-top 18628  df-bases 18630  df-topon 18631  df-ntr 18749  df-nei 18827  df-lm 18958  df-haus 19044  df-fil 19544  df-fm 19636  df-flim 19637  df-flf 19638  df-cfil 20891  df-cau 20892  df-cmet 20893

This theorem is referenced by:  bfplem2  28863