Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Unicode version

Theorem bfp 29921
 Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if has two fixed points, then the distance between them is less than times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2
bfp.3
bfp.4
bfp.5
bfp.6
bfp.7
Assertion
Ref Expression
bfp
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem bfp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4
2 n0 3794 . . . 4
31, 2sylib 196 . . 3
4 bfp.2 . . . . 5
54adantr 465 . . . 4
61adantr 465 . . . 4
7 bfp.4 . . . . 5
87adantr 465 . . . 4
9 bfp.5 . . . . 5
109adantr 465 . . . 4
11 bfp.6 . . . . 5
1211adantr 465 . . . 4
13 bfp.7 . . . . 5
1413adantlr 714 . . . 4
15 eqid 2467 . . . 4
16 simpr 461 . . . 4
17 eqid 2467 . . . 4
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 29920 . . 3
193, 18exlimddv 1702 . 2
20 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . 12
2120adantl 466 . . . . . . . . . . 11
2213adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2321, 22eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . 10
24 cmetmet 21457 . . . . . . . . . . . . . 14
254, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
2625ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
27 simplrl 759 . . . . . . . . . . . 12
28 simplrr 760 . . . . . . . . . . . 12
29 metcl 20567 . . . . . . . . . . . 12
3026, 27, 28, 29syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
317rpred 11252 . . . . . . . . . . . . 13
3231ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
3332, 30remulcld 9620 . . . . . . . . . . 11
3430, 33suble0d 10139 . . . . . . . . . 10
3523, 34mpbird 232 . . . . . . . . 9
36 ax-1cn 9546 . . . . . . . . . . . 12
3736a1i 11 . . . . . . . . . . 11
3832recnd 9618 . . . . . . . . . . 11
3930recnd 9618 . . . . . . . . . . 11
4037, 38, 39subdird 10009 . . . . . . . . . 10
4139mulid2d 9610 . . . . . . . . . . 11
4241oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10
4340, 42eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
44 1re 9591 . . . . . . . . . . . . 13
45 resubcl 9879 . . . . . . . . . . . . 13
4644, 31, 45sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
4847recnd 9618 . . . . . . . . . 10
4948mul01d 9774 . . . . . . . . 9
5035, 43, 493brtr4d 4477 . . . . . . . 8
51 0re 9592 . . . . . . . . . 10
5251a1i 11 . . . . . . . . 9
53 posdif 10041 . . . . . . . . . . . 12
5431, 44, 53sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
559, 54mpbid 210 . . . . . . . . . 10
5655ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
57 lemul2 10391 . . . . . . . . 9
5830, 52, 47, 56, 57syl112anc 1232 . . . . . . . 8
5950, 58mpbird 232 . . . . . . 7
60 metge0 20580 . . . . . . . 8
6126, 27, 28, 60syl3anc 1228 . . . . . . 7
62 letri3 9666 . . . . . . . 8
6330, 51, 62sylancl 662 . . . . . . 7
6459, 61, 63mpbir2and 920 . . . . . 6
65 meteq0 20574 . . . . . . 7
6626, 27, 28, 65syl3anc 1228 . . . . . 6
6764, 66mpbid 210 . . . . 5
6867ex 434 . . . 4
6968ralrimivva 2885 . . 3
70 fveq2 5864 . . . . . . . 8
71 id 22 . . . . . . . 8
7270, 71eqeq12d 2489 . . . . . . 7
7372anbi1d 704 . . . . . 6
74 equequ1 1747 . . . . . 6
7573, 74imbi12d 320 . . . . 5
7675ralbidv 2903 . . . 4
7776cbvralv 3088 . . 3
7869, 77sylib 196 . 2
79 fveq2 5864 . . . 4
80 id 22 . . . 4
8179, 80eqeq12d 2489 . . 3
8281reu4 3297 . 2
8319, 78, 82sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379  wex 1596   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  wreu 2816  c0 3785  csn 4027   class class class wbr 4447   cxp 4997   ccom 5003  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  c1st 6779  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   cmul 9493   clt 9624   cle 9625   cmin 9801  cn 10532  crp 11216   cseq 12070  cme 18172  cmopn 18176  cms 21425 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-fbas 18184  df-fg 18185  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-ntr 19284  df-nei 19362  df-lm 19493  df-haus 19579  df-fil 20079  df-fm 20171  df-flim 20172  df-flf 20173  df-cfil 21426  df-cau 21427  df-cmet 21428 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator