Theorem bfp 16009

Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point.

Hypothesis

Ref	Expression
bfp.1	|- X = dom dom M

Assertion

Ref	Expression
bfp	|- (((M e. CMet /\ X =/= (/)) /\ (K e. RR+ /\ K < 1) /\ (F:X-->X /\ A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))) -> E!z e. X (F` z) = z)

Distinct variable groups:   x,F,y,z   x,X,y,z   x,M,y,z   x,K,y,z

Proof of Theorem bfp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmeq 4157	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> dom M = dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))
2	1	dmeqd 4159	. . . . . . . . . . . 12 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> dom dom M = dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))
3	2	feq2d 4557	. . . . . . . . . . 11 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (F:dom dom M-->dom dom M <-> F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom M))
4		feq3 4553	. . . . . . . . . . . 12 |- (dom dom M = dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom M <-> F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))))
5	2, 4	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom M <-> F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))))
6	3, 5	bitrd 587	. . . . . . . . . 10 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (F:dom dom M-->dom dom M <-> F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))))
7		opreq 4888	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> ((F` x)M(F` y)) = ((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)))
8		opreq 4888	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (xMy) = (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))
9	8	opreq2d 4898	. . . . . . . . . . . . 13 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (K x. (xMy)) = (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)))
10	7, 9	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . 12 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> ((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))))
11	2, 10	raleqbidv 2274	. . . . . . . . . . 11 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (A.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))))
12	2, 11	raleqbidv 2274	. . . . . . . . . 10 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))))
13	6, 12	anbi12d 690	. . . . . . . . 9 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) <-> (F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)))))
14		reueq1 2268	. . . . . . . . . 10 |- (dom dom M = dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (E!z e. dom dom M(F` z) = z <-> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z))
15	2, 14	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (E!z e. dom dom M(F` z) = z <-> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z))
16	13, 15	imbi12d 688	. . . . . . . 8 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z) <-> ((F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))) -> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z)))
17		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)) = (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)))
18	17	breq2d 3350	. . . . . . . . . . 11 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)) <-> ((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))))
19	18	2ralbidv 2140	. . . . . . . . . 10 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)) <-> A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))))
20	19	anbi2d 678	. . . . . . . . 9 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> ((F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))) <-> (F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y)))))
21	20	imbi1d 675	. . . . . . . 8 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (((F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (K x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))) -> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z) <-> ((F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))) -> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z)))
22		eqid 1884	. . . . . . . . 9 |- dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) = dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))
23		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (M e. CMet <-> if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet))
24	2	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . 12 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (w e. dom dom M <-> w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))))
25	23, 24	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (M = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> ((M e. CMet /\ w e. dom dom M) <-> (if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet /\ w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))))
26		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (({<.w, w>.} X. {0}) = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (({<.w, w>.} X. {0}) e. CMet <-> if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet))
27		dmeq 4157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({<.w, w>.} X. {0}) = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> dom ({<.w, w>.} X. {0}) = dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))
28	27	dmeqd 4159	. . . . . . . . . . . . 13 |- (({<.w, w>.} X. {0}) = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> dom dom ({<.w, w>.} X. {0}) = dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))
29	28	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . 12 |- (({<.w, w>.} X. {0}) = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> (w e. dom dom ({<.w, w>.} X. {0}) <-> w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))))
30	26, 29	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (({<.w, w>.} X. {0}) = if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) -> ((({<.w, w>.} X. {0}) e. CMet /\ w e. dom dom ({<.w, w>.} X. {0})) <-> (if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet /\ w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))))
31		0cn 6481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. CC
32	31	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
33	32	snnz 3119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- {0} =/= (/)
34		dmxp 4177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ({0} =/= (/) -> dom ({<.w, w>.} X. {0}) = {<.w, w>.})
35	33, 34	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- dom ({<.w, w>.} X. {0}) = {<.w, w>.}
36	35	dmeqi 4158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom dom ({<.w, w>.} X. {0}) = dom {<.w, w>.}
37		dmsnop 4367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- dom {<.w, w>.} = {w}
38	36, 37	eqtr2i 1909	. . . . . . . . . . . . 13 |- {w} = dom dom ({<.w, w>.} X. {0})
39		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- w e. _V
40	39, 39	xpsn 4808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ({w} X. {w}) = {<.w, w>.}
41	40	xpeq1i 4021	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({w} X. {w}) X. {0}) = ({<.w, w>.} X. {0})
42		snex 3492	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- {w} e. _V
43		0re 6603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 0 e. RR
44	43	fconst6 15700	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (({w} X. {w}) X. {0}):({w} X. {w})-->RR
45	32	oprvconst2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. {w} /\ y e. {w}) -> (x(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0)
46		elsni 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. {w} -> x = w)
47		elsni 3066	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (y e. {w} -> y = w)
48	47	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (y e. {w} -> w = y)
49	46, 48	sylan9eq 1948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. {w} /\ y e. {w}) -> x = y)
50		pm5.35 746	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((x e. {w} /\ y e. {w}) -> (x(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0) /\ ((x e. {w} /\ y e. {w}) -> x = y)) -> ((x e. {w} /\ y e. {w}) -> ((x(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0 <-> x = y)))
51	45, 49, 50	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. {w} /\ y e. {w}) -> ((x(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0 <-> x = y))
52	43	leidi 6790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 <_ 0
53	31	addid1i 6483	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (0 + 0) = 0
54	52, 53	breqtrri 3362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 <_ (0 + 0)
55	54	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> 0 <_ (0 + 0))
56	45	3adant3 896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> (x(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0)
57	32	oprvconst2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. {w} /\ x e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})x) = 0)
58	57	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. {w} /\ z e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})x) = 0)
59	58	3adant2 895	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})x) = 0)
60	32	oprvconst2 4970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((z e. {w} /\ y e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0)
61	60	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((y e. {w} /\ z e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0)
62	61	3adant1 894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> (z(({w} X. {w}) X. {0})y) = 0)
63	59, 62	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> ((z(({w} X. {w}) X. {0})x) + (z(({w} X. {w}) X. {0})y)) = (0 + 0))
64	55, 56, 63	3brtr4d 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. {w} /\ y e. {w} /\ z e. {w}) -> (x(({w} X. {w}) X. {0})y) <_ ((z(({w} X. {w}) X. {0})x) + (z(({w} X. {w}) X. {0})y)))
65	42, 44, 51, 64	ismeti 9079	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (({w} X. {w}) X. {0}) e. Met
66	41, 65	eqeltrri 1968	. . . . . . . . . . . . 13 |- ({<.w, w>.} X. {0}) e. Met
67		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (z = w -> (f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))z <-> f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w))
68	67	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. {w} /\ f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w) -> E.z e. {w}f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))z)
69	39	snid 3069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. {w}
70	39	fconst2 4823	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (f:NN-->{w} <-> f = (NN X. {w}))
71	70	biimpi 168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (f:NN-->{w} -> f = (NN X. {w}))
72	71	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((f e. (Cau` ({<.w, w>.} X. {0})) /\ f:NN-->{w}) -> f = (NN X. {w}))
73	39	fconst 4602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (NN X. {w}):NN-->{w}
74	39	fvconst2 4822	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (k e. NN -> ((NN X. {w})` k) = w)
75	74	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. NN -> w = ((NN X. {w})` k))
76	38, 75	lmbrnns 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((({<.w, w>.} X. {0}) e. Met /\ w e. {w} /\ (NN X. {w}):NN-->{w}) -> ((NN X. {w})(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x)))
77	66, 69, 73, 76	mp3an 1191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((NN X. {w})(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w <-> A.x e. RR+ E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
78		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (j = 1 -> (j <_ k <-> 1 <_ k))
79	78	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (j = 1 -> ((j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x) <-> (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x)))
80	79	ralbidv 2123	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (j = 1 -> (A.k e. NN (j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x) <-> A.k e. NN (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x)))
81	80	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((1 e. NN /\ A.k e. NN (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x)) -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
82		1nn 7117	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. NN
83		rpgt0 7240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (x e. RR+ -> 0 < x)
84	38	met0 9092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((({<.w, w>.} X. {0}) e. Met /\ w e. {w}) -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) = 0)
85	66, 69, 84	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (w({<.w, w>.} X. {0})w) = 0
86	83, 85	syl5eqbr 3370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (x e. RR+ -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x)
87	86	a1d 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (x e. RR+ -> (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
88	87	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((x e. RR+ /\ k e. NN) -> (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
89	88	r19.21aiva 2176	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x e. RR+ -> A.k e. NN (1 <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
90	81, 82, 89	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x e. RR+ -> E.j e. NN A.k e. NN (j <_ k -> (w({<.w, w>.} X. {0})w) < x))
91	77, 90	mprgbir 2163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (NN X. {w})(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w
92	72, 91	syl6eqbr 3374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((f e. (Cau` ({<.w, w>.} X. {0})) /\ f:NN-->{w}) -> f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))w)
93	68, 69, 92	sylancr 526	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((f e. (Cau` ({<.w, w>.} X. {0})) /\ f:NN-->{w}) -> E.z e. {w}f(~~>m` ({<.w, w>.} X. {0}))z)
94	38, 66, 93	iscms2i 9273	. . . . . . . . . . . 12 |- ({<.w, w>.} X. {0}) e. CMet
95	69, 37	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . . . . 13 |- w e. dom {<.w, w>.}
96	95, 36	eleqtrri 1970	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. dom dom ({<.w, w>.} X. {0})
97	94, 96	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . 11 |- (({<.w, w>.} X. {0}) e. CMet /\ w e. dom dom ({<.w, w>.} X. {0}))
98	25, 30, 97	elimhyp 3021	. . . . . . . . . 10 |- (if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet /\ w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})))
99	98	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) e. CMet
100	98	simpri 351	. . . . . . . . 9 |- w e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))
101		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (K e. RR+ <-> if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+))
102		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (K < 1 <-> if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1))
103	101, 102	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- (K = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> ((K e. RR+ /\ K < 1) <-> (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+ /\ if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1)))
104		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 / 2) = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> ((1 / 2) e. RR+ <-> if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+))
105		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- ((1 / 2) = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> ((1 / 2) < 1 <-> if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1))
106	104, 105	anbi12d 690	. . . . . . . . . . 11 |- ((1 / 2) = if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) -> (((1 / 2) e. RR+ /\ (1 / 2) < 1) <-> (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+ /\ if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1)))
107		2re 7163	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
108		2pos 7173	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 < 2
109	107, 108	elrpii 7234	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. RR+
110		rpreccl 7250	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 e. RR+ -> (1 / 2) e. RR+)
111	109, 110	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 / 2) e. RR+
112		halflt1 7216	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 / 2) < 1
113	111, 112	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . 11 |- ((1 / 2) e. RR+ /\ (1 / 2) < 1)
114	103, 106, 113	elimhyp 3021	. . . . . . . . . 10 |- (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+ /\ if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1)
115	114	simpli 347	. . . . . . . . 9 |- if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) e. RR+
116	114	simpri 351	. . . . . . . . 9 |- if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) < 1
117	22, 99, 100, 115, 116	bfplem11 16008	. . . . . . . 8 |- ((F:dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))-->dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0})) /\ A.x e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))A.y e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))((F` x)if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` y)) <_ (if((K e. RR+ /\ K < 1), K, (1 / 2)) x. (xif((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))y))) -> E!z e. dom dom if((M e. CMet /\ w e. dom dom M), M, ({<.w, w>.} X. {0}))(F` z) = z)
118	16, 21, 117	dedth2h 3015	. . . . . . 7 |- (((M e. CMet /\ w e. dom dom M) /\ (K e. RR+ /\ K < 1)) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z))
119	118	exp31 407	. . . . . 6 |- (M e. CMet -> (w e. dom dom M -> ((K e. RR+ /\ K < 1) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z))))
120	119	19.23adv 1584	. . . . 5 |- (M e. CMet -> (E.w w e. dom dom M -> ((K e. RR+ /\ K < 1) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z))))
121		bfp.1	. . . . . . 7 |- X = dom dom M
122	121	neeq1i 2026	. . . . . 6 |- (X =/= (/) <-> dom dom M =/= (/))
123		n0 2884	. . . . . 6 |- (dom dom M =/= (/) <-> E.w w e. dom dom M)
124	122, 123	bitri 190	. . . . 5 |- (X =/= (/) <-> E.w w e. dom dom M)
125	120, 124	syl5ib 223	. . . 4 |- (M e. CMet -> (X =/= (/) -> ((K e. RR+ /\ K < 1) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z))))
126	125	imp31 389	. . 3 |- (((M e. CMet /\ X =/= (/)) /\ (K e. RR+ /\ K < 1)) -> ((F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. dom dom M(F` z) = z))
127	121	feq2i 4559	. . . . 5 |- (F:X-->X <-> F:dom dom M-->X)
128		feq3 4553	. . . . . 6 |- (X = dom dom M -> (F:dom dom M-->X <-> F:dom dom M-->dom dom M))
129	121, 128	ax-mp 7	. . . . 5 |- (F:dom dom M-->X <-> F:dom dom M-->dom dom M)
130	127, 129	bitri 190	. . . 4 |- (F:X-->X <-> F:dom dom M-->dom dom M)
131		raleq 2266	. . . . . 6 |- (X = dom dom M -> (A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.x e. dom dom MA.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))))
132	121, 131	ax-mp 7	. . . . 5 |- (A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.x e. dom dom MA.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))
133		raleq 2266	. . . . . . 7 |- (X = dom dom M -> (A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))))
134	121, 133	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))
135	134	ralbii 2127	. . . . 5 |- (A.x e. dom dom MA.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))
136	132, 135	bitri 190	. . . 4 |- (A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)) <-> A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))
137	130, 136	anbi12i 540	. . 3 |- ((F:X-->X /\ A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) <-> (F:dom dom M-->dom dom M /\ A.x e. dom dom MA.y e. dom dom M((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))))
138		reueq1 2268	. . . 4 |- (X = dom dom M -> (E!z e. X (F` z) = z <-> E!z e. dom dom M(F` z) = z))
139	121, 138	ax-mp 7	. . 3 |- (E!z e. X (F` z) = z <-> E!z e. dom dom M(F` z) = z)
140	126, 137, 139	3imtr4g 612	. 2 |- (((M e. CMet /\ X =/= (/)) /\ (K e. RR+ /\ K < 1)) -> ((F:X-->X /\ A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy))) -> E!z e. X (F` z) = z))
141	140	3impia 1064	1 |- (((M e. CMet /\ X =/= (/)) /\ (K e. RR+ /\ K < 1) /\ (F:X-->X /\ A.x e. X A.y e. X ((F` x)M(F` y)) <_ (K x. (xMy)))) -> E!z e. X (F` z) = z)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  E!wreu 2107  (/)c0 2875  ifcif 2982  {csn 3044  <.cop 3046   class class class wbr 3338   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447   <_ cle 6448  NNcn 6449  RR+crp 6453   < clt 6653  2c2 7145  Metcme 9066  ~~>mclm 9197  Caucca 9198  CMetcms 9199

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-rp 7232  df-n0 7309  df-z 7345  df-fl 7463  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-seq0 7777  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-met 9070  df-lm 9200  df-cau 9201  df-cmet 9202

Copyright terms: Public domain