Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bfp Structured version   Unicode version

Theorem bfp 31860
Description: Banach fixed point theorem, also known as contraction mapping theorem. A contraction on a complete metric space has a unique fixed point. We show existence in the lemmas, and uniqueness here - if  F has two fixed points, then the distance between them is less than  K times itself, a contradiction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bfp.2  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
bfp.3  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
bfp.4  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
bfp.5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
bfp.6  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
bfp.7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
bfp  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y   
x, F, y, z   
x, K, y    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( z)    K( z)

Proof of Theorem bfp
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bfp.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
2 n0 3768 . . . 4  |-  ( X  =/=  (/)  <->  E. w  w  e.  X )
31, 2sylib 199 . . 3  |-  ( ph  ->  E. w  w  e.  X )
4 bfp.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  ( CMet `  X ) )
54adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  D  e.  ( CMet `  X
) )
61adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  X  =/=  (/) )
7 bfp.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  e.  RR+ )
87adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  e.  RR+ )
9 bfp.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  K  <  1 )
109adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  K  <  1 )
11 bfp.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : X --> X )
1211adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  F : X --> X )
13 bfp.7 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
1413adantlr 719 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  X )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  <_ 
( K  x.  (
x D y ) ) )
15 eqid 2420 . . . 4  |-  ( MetOpen `  D )  =  (
MetOpen `  D )
16 simpr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  w  e.  X )
17 eqid 2420 . . . 4  |-  seq 1
( ( F  o.  1st ) ,  ( NN 
X.  { w }
) )  =  seq 1 ( ( F  o.  1st ) ,  ( NN  X.  {
w } ) )
185, 6, 8, 10, 12, 14, 15, 16, 17bfplem2 31859 . . 3  |-  ( (
ph  /\  w  e.  X )  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
193, 18exlimddv 1770 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
20 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
( ( F `  x ) D ( F `  y ) )  =  ( x D y ) )
2120adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  =  ( x D y ) )
2213adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( F `
 x ) D ( F `  y
) )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
2321, 22eqbrtrrd 4439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) )
24 cmetmet 22142 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ( CMet `  X
)  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
254, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
2625ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
27 simplrl 768 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  X
)
28 simplrr 769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  y  e.  X
)
29 metcl 21271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  e.  RR )
3026, 27, 28, 29syl3anc 1264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  RR )
317rpred 11330 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  RR )
3231ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  RR )
3332, 30remulcld 9660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( K  x.  ( x D y ) )  e.  RR )
3430, 33suble0d 10193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) )  <_ 
0  <->  ( x D y )  <_  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
3523, 34mpbird 235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  <_  0
)
36 1cnd 9648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  1  e.  CC )
3732recnd 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  K  e.  CC )
3830recnd 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  e.  CC )
3936, 37, 38subdird 10064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( 1  x.  (
x D y ) )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4038mulid2d 9650 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  x.  ( x D y ) )  =  ( x D y ) )
4140oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  x.  ( x D y ) )  -  ( K  x.  (
x D y ) ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
4239, 41eqtrd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  =  ( ( x D y )  -  ( K  x.  ( x D y ) ) ) )
43 1re 9631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
44 resubcl 9927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  K  e.  RR )  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4543, 31, 44sylancr 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  K
)  e.  RR )
4645ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  RR )
4746recnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( 1  -  K )  e.  CC )
4847mul01d 9821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  0 )  =  0 )
4935, 42, 483brtr4d 4447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) )
50 0red 9633 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  e.  RR )
51 posdif 10096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
5231, 43, 51sylancl 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K  <  1  <->  0  <  ( 1  -  K ) ) )
539, 52mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  -  K ) )
5453ad2antrr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <  (
1  -  K ) )
55 lemul2 10447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  (
( 1  -  K
)  e.  RR  /\  0  <  ( 1  -  K ) ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
5630, 50, 46, 54, 55syl112anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  <_ 
0  <->  ( ( 1  -  K )  x.  ( x D y ) )  <_  (
( 1  -  K
)  x.  0 ) ) )
5749, 56mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  <_  0
)
58 metge0 21284 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  0  <_  ( x D y ) )
5926, 27, 28, 58syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  0  <_  (
x D y ) )
60 0re 9632 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
61 letri3 9708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x D y )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( ( x D y )  <_  0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6230, 60, 61sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  ( ( x D y )  <_ 
0  /\  0  <_  ( x D y ) ) ) )
6357, 59, 62mpbir2and 930 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( x D y )  =  0 )
64 meteq0 21278 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( Met `  X )  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y ) )
6526, 27, 28, 64syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
) )
6663, 65mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  X )
)  /\  ( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  =  y )
6766ex 435 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
6867ralrimivva 2844 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y ) )
69 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
70 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
7169, 70eqeq12d 2442 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  z )  =  z ) )
7271anbi1d 709 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  <->  ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y ) ) )
73 equequ1 1847 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  y  <->  z  =  y ) )
7472, 73imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7574ralbidv 2862 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( A. y  e.  X  ( ( ( F `
 x )  =  x  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
7675cbvralv 3053 . . 3  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( F `  x )  =  x  /\  ( F `  y )  =  y )  ->  x  =  y )  <->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) )
7768, 76sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( F `
 z )  =  z  /\  ( F `
 y )  =  y )  ->  z  =  y ) )
78 fveq2 5872 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  ( F `  z )  =  ( F `  y ) )
79 id 23 . . . 4  |-  ( z  =  y  ->  z  =  y )
8078, 79eqeq12d 2442 . . 3  |-  ( z  =  y  ->  (
( F `  z
)  =  z  <->  ( F `  y )  =  y ) )
8180reu4 3262 . 2  |-  ( E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z  <->  ( E. z  e.  X  ( F `  z )  =  z  /\  A. z  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( F `  z
)  =  z  /\  ( F `  y )  =  y )  -> 
z  =  y ) ) )
8219, 77, 81sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  E! z  e.  X  ( F `  z )  =  z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   E!wreu 2775   (/)c0 3758   {csn 3993   class class class wbr 4417    X. cxp 4843    o. ccom 4849   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   1stc1st 6796   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    x. cmul 9533    < clt 9664    <_ cle 9665    - cmin 9849   NNcn 10598   RR+crp 11291    seqcseq 12199   Metcme 18884   MetOpencmopn 18888   CMetcms 22110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-ntr 19959  df-nei 20038  df-lm 20169  df-haus 20255  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-cfil 22111  df-cau 22112  df-cmet 22113
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator