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Theorem bezoutlem3OLD 14504
Description: Lemma for bezout 14509. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) Obsolete version of bezoutlem3 14507 as of 30-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezoutOLD.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezoutOLD.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem3OLD  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, C, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem3OLD
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  M )
2 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
4 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  s ) )
54oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y
) ) )
65eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
7 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  t ) )
87oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
98eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
106, 9cbvrex2v 3063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
113, 10syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
12 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
1311, 12elrab2 3230 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  M  <->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
141, 13sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
1514simpld 460 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  NN )
1615nnred 10631 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  RR )
17 bezout.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
18 bezout.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 bezoutOLD.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
20 bezoutOLD.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
2112, 17, 18, 19, 20bezoutlem2OLD 14503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
22 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2322oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2423eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2625oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2726eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2824, 27cbvrex2v 3063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
29 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
30292rexbidv 2943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3128, 30syl5bb 260 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3231, 12elrab2 3230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3321, 32sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3433simpld 460 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
3534nnrpd 11346 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
3635adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR+ )
37 modlt 12113 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  <  G )
3816, 36, 37syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  < 
G )
3915nnzd 11046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  ZZ )
4034adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  NN )
4139, 40zmodcld 12123 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e. 
NN0 )
4241nn0red 10933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e.  RR )
4334nnred 10631 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
4443adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR )
4542, 44ltnled 9789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  <  G  <->  -.  G  <_  ( C  mod  G
) ) )
4638, 45mpbid 213 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  G  <_  ( C  mod  G ) )
4714simprd 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
4833simprd 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
4948ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
50 simprll 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
51 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
5216, 40nndivred 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  /  G )  e.  RR )
5352flcld 12040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  ZZ )
5453adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  ZZ )
5551, 54zmulcld 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
5650, 55zsubcld 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
57 simprlr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
58 simprrr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
5958, 54zmulcld 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
6057, 59zsubcld 11052 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
6117zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  CC )
6350zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
6462, 63mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  s )  e.  CC )
6518zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
6665ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  B  e.  CC )
6757zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
6866, 67mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  t )  e.  CC )
6955zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7062, 69mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7159zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7266, 71mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7364, 68, 70, 72addsub4d 10040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
7451zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
7562, 74mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  u )  e.  CC )
7658zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
7766, 76mulcld 9670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
7853zcnd 11048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  CC )
7978adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  CC )
8075, 77, 79adddird 9675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8162, 74, 79mulassd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8266, 76, 79mulassd 9673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8381, 82oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8480, 83eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8584oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
8662, 63, 69subdid 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( A  x.  s
)  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8766, 67, 71subdid 10081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8886, 87oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
8973, 85, 883eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
90 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9190oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) )
9291eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
93 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9493oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y
) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) )  <->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) ) )
9692, 95rspc2ev 3193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
9756, 60, 89, 96syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
98 oveq1 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )
99 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
10098, 99sylan2 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
101100eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1021012rexbidv 2943 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
10397, 102syl5ibrcom 225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
104103expcomd 439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
105104expr 618 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
106105rexlimdvv 2920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
10749, 106mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
108107ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
109108rexlimdvv 2920 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
11047, 109mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
111 modval 12104 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
11216, 36, 111syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
113112eqcomd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( C  mod  G ) )
114113eqeq1d 2424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1151142rexbidv 2943 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
116110, 115mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
117 eqeq1 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1181172rexbidv 2943 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
119118, 12elrab2 3230 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
120119simplbi2com 631 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  ->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M
) )
121116, 120syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M ) )
122 ssrab2 3546 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
12312, 122eqsstri 3494 . . . . . . . . 9  |-  M  C_  NN
124 nnuz 11201 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125123, 124sseqtri 3496 . . . . . . . 8  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
126 infmssuzleOLD 11253 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( C  mod  G )  e.  M )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
127125, 126mpan 674 . . . . . . 7  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
12819, 127syl5eqbr 4457 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  G  <_  ( C  mod  G
) )
129121, 128syl6 34 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  G  <_  ( C  mod  G ) ) )
13046, 129mtod 180 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  ( C  mod  G )  e.  NN )
131 elnn0 10878 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13241, 131sylib 199 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
133132ord 378 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( -.  ( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
134130, 133mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  0 )
135 dvdsval3 14308 . . . 4  |-  ( ( G  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13640, 39, 135syl2anc 665 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
137134, 136mpbird 235 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  ||  C )
138137ex 435 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   E.wrex 2772   {crab 2775    C_ wss 3436   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   supcsup 7963   CCcc 9544   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    x. cmul 9551    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867    / cdiv 10276   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   RR+crp 11309   |_cfl 12032    mod cmo 12102    || cdvds 14304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305
This theorem is referenced by:  bezoutlem4OLD  14505
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