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Theorem bezoutlem3 12995
Description: Lemma for bezout 12997. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
bezout.1  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
bezout.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
bezout.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
bezout.2  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
bezout.5  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
Assertion
Ref Expression
bezoutlem3  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, G, y, z    ph, x, y, z   
x, C, y, z   
x, M, y
Allowed substitution hint:    M( z)

Proof of Theorem bezoutlem3
Dummy variables  t 
s  u  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  M )
2 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  C  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
322rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
4 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  s  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  s ) )
54oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  s  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y
) ) )
65eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  ( C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
7 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  t  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  t ) )
87oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) ) )
98eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  y ) )  <->  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) ) ) )
106, 9cbvrex2v 2901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
113, 10syl6bb 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
12 bezout.1 . . . . . . . . . . 11  |-  M  =  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) }
1311, 12elrab2 3054 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  M  <->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
141, 13sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  e.  NN  /\  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) ) )
1514simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  NN )
1615nnred 9971 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  RR )
17 bezout.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
18 bezout.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
19 bezout.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )
20 bezout.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )
2112, 17, 18, 19, 20bezoutlem2 12994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  M )
22 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  u  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  u ) )
2322oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y
) ) )
2423eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (
z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
25 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  v  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  v ) )
2625oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  v  ->  (
( A  x.  u
)  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
2726eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  v  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  y ) )  <->  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
2824, 27cbvrex2v 2901 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
29 eqeq1 2410 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  G  ->  (
z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  <->  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) ) )
30292rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  G  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3128, 30syl5bb 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  G  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3231, 12elrab2 3054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  M  <->  ( G  e.  NN  /\  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) ) )
3321, 32sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G  e.  NN  /\ 
E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) ) )
3433simpld 446 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
3534nnrpd 10603 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
3635adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR+ )
37 modlt 11213 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  <  G )
3816, 36, 37syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  < 
G )
3915nnzd 10330 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  C  e.  ZZ )
4034adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  NN )
4139, 40zmodcld 11222 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e. 
NN0 )
4241nn0red 10231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  e.  RR )
4334nnred 9971 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
4443adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  e.  RR )
4542, 44ltnled 9176 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  <  G  <->  -.  G  <_  ( C  mod  G
) ) )
4638, 45mpbid 202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  G  <_  ( C  mod  G ) )
4714simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) ) )
4833simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )
4948ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) ) )
50 simprll 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  ZZ )
51 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  ZZ )
5216, 40nndivred 10004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  /  G )  e.  RR )
5352flcld 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  ZZ )
5453adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  ZZ )
5551, 54zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
5650, 55zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
57 simprlr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  ZZ )
58 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  ZZ )
5958, 54zmulcld 10337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  ZZ )
6057, 59zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ )
6117zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
6261ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  A  e.  CC )
6350zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  s  e.  CC )
6462, 63mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  s )  e.  CC )
6518zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
6665ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  B  e.  CC )
6757zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  t  e.  CC )
6866, 67mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  t )  e.  CC )
6955zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7062, 69mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7159zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  e.  CC )
7266, 71mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  e.  CC )
7364, 68, 70, 72addsub4d 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
7451zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  u  e.  CC )
7562, 74mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  u )  e.  CC )
7658zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  v  e.  CC )
7766, 76mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  v )  e.  CC )
7853zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( |_ `  ( C  /  G ) )  e.  CC )
7978adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( |_ `  ( C  /  G
) )  e.  CC )
8075, 77, 79adddird 9069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u
)  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8162, 74, 79mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8266, 76, 79mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
8381, 82oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  +  ( ( B  x.  v )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8480, 83eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8584oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  +  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
8662, 63, 69subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( A  x.  s
)  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8766, 67, 71subdid 9445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( B  x.  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  =  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
8886, 87oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  -  ( A  x.  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( ( B  x.  t
)  -  ( B  x.  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
8973, 85, 883eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )
90 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( A  x.  x )  =  ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9190oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) )
9291eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( (
( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
93 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( B  x.  y )  =  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) )
9493oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y
) )  =  ( ( A  x.  (
s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )  +  ( B  x.  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) ) ) )
9594eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  ( t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  y ) )  <->  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) ) )
9692, 95rspc2ev 3020 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( s  -  (
u  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( t  -  (
v  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  ( s  -  ( u  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )  +  ( B  x.  (
t  -  ( v  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
9756, 60, 89, 96syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) ) )
98 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )
99 oveq12 6049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) )  =  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
10098, 99sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( ( A  x.  s
)  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
101100eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <-> 
( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  -  (
( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  x.  ( |_
`  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1021012rexbidv 2709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) ) )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  -  ( ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) )  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
10397, 102syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  /\  G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v
) ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
104103exp3acom23 1378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  /\  ( u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ ) ) )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u )  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
105104expr 599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( (
u  e.  ZZ  /\  v  e.  ZZ )  ->  ( G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) ) )
106105rexlimdvv 2796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( E. u  e.  ZZ  E. v  e.  ZZ  G  =  ( ( A  x.  u
)  +  ( B  x.  v ) )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
10749, 106mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  C  e.  M )  /\  (
s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )
)  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
108107ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( s  e.  ZZ  /\  t  e.  ZZ )  ->  ( C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) ) )
109108rexlimdvv 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. s  e.  ZZ  E. t  e.  ZZ  C  =  ( ( A  x.  s )  +  ( B  x.  t
) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
11047, 109mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
111 modval 11207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( C  mod  G
)  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) ) )
11216, 36, 111syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) ) )
113112eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( C  mod  G ) )
114113eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G
) ) ) )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1151142rexbidv 2709 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  -  ( G  x.  ( |_ `  ( C  /  G ) ) ) )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
116110, 115mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) )
117 eqeq1 2410 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( z  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y
) )  <->  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) ) )
1181172rexbidv 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( C  mod  G )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
119118, 12elrab2 3054 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) ) ) )
120119simplbi2com 1380 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( C  mod  G )  =  ( ( A  x.  x )  +  ( B  x.  y ) )  ->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M
) )
121116, 120syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  e.  M ) )
122 ssrab2 3388 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  NN  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  z  =  ( ( A  x.  x
)  +  ( B  x.  y ) ) }  C_  NN
12312, 122eqsstri 3338 . . . . . . . . 9  |-  M  C_  NN
124 nnuz 10477 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125123, 124sseqtri 3340 . . . . . . . 8  |-  M  C_  ( ZZ>= `  1 )
126 infmssuzle 10514 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  ( C  mod  G )  e.  M )  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
127125, 126mpan 652 . . . . . . 7  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  sup ( M ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( C  mod  G ) )
12819, 127syl5eqbr 4205 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  M  ->  G  <_  ( C  mod  G
) )
129121, 128syl6 31 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  ->  G  <_  ( C  mod  G ) ) )
13046, 129mtod 170 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  -.  ( C  mod  G )  e.  NN )
131 elnn0 10179 . . . . . 6  |-  ( ( C  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( C  mod  G )  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13241, 131sylib 189 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  (
( C  mod  G
)  e.  NN  \/  ( C  mod  G )  =  0 ) )
133132ord 367 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( -.  ( C  mod  G
)  e.  NN  ->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
134130, 133mpd 15 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( C  mod  G )  =  0 )
135 dvdsval3 12811 . . . 4  |-  ( ( G  e.  NN  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
13640, 39, 135syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  ( G  ||  C  <->  ( C  mod  G )  =  0 ) )
137134, 136mpbird 224 . 2  |-  ( (
ph  /\  C  e.  M )  ->  G  ||  C )
138137ex 424 1  |-  ( ph  ->  ( C  e.  M  ->  G  ||  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667   {crab 2670    C_ wss 3280   class class class wbr 4172   `'ccnv 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   supcsup 7403   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   RR+crp 10568   |_cfl 11156    mod cmo 11205    || cdivides 12807
This theorem is referenced by:  bezoutlem4  12996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808
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