MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq3 Structured version   Unicode version

Theorem bernneq3 12104
Description: A corollary of bernneq 12102. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
bernneq3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( P ^ N
) )

Proof of Theorem bernneq3
StepHypRef Expression
1 nn0re 10694 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
21adantl 466 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  RR )
3 peano2re 9648 . . 3  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
42, 3syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
5 eluzelre 10977 . . 3  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
6 reexpcl 11994 . . 3  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( P ^ N
)  e.  RR )
75, 6sylan 471 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P ^ N )  e.  RR )
82ltp1d 10369 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( N  +  1 ) )
9 uz2m1nn 11035 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
109adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  -  1 )  e.  NN )
1110nnred 10443 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( P  -  1 )  e.  RR )
1211, 2remulcld 9520 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( P  -  1 )  x.  N )  e.  RR )
13 peano2re 9648 . . . 4  |-  ( ( ( P  -  1 )  x.  N )  e.  RR  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
1412, 13syl 16 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  e.  RR )
15 1red 9507 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  e.  RR )
16 nn0ge0 10711 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  0  <_  N )
1716adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  N )
1810nnge1d 10470 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  1  <_  ( P  -  1 ) )
192, 11, 17, 18lemulge12d 10377 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <_  ( ( P  - 
1 )  x.  N
) )
202, 12, 15, 19leadd1dd 10059 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( ( ( P  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
215adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  P  e.  RR )
22 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  e.  NN0 )
23 2nn0 10702 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN0
24 eluznn0 11030 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  NN0  /\  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  ->  P  e.  NN0 )
2523, 24mpan 670 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN0 )
26 nn0ge0 10711 . . . . . 6  |-  ( P  e.  NN0  ->  0  <_  P )
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  0  <_  P )
2827adantr 465 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  0  <_  P )
29 bernneq2 12103 . . . 4  |-  ( ( P  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  P )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
3021, 22, 28, 29syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( ( P  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
314, 14, 7, 20, 30letrd 9634 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( P ^ N ) )
322, 4, 7, 8, 31ltletrd 9637 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  N  <  ( P ^ N
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393    < clt 9524    <_ cle 9525    - cmin 9701   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ^cexp 11977
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-seq 11919  df-exp 11978
This theorem is referenced by:  climcnds  13427  bitsfzo  13744  bitsinv1  13751  pcfaclem  14073  pcfac  14074  chpchtsum  22686  bposlem1  22751
  Copyright terms: Public domain W3C validator