MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Structured version   Unicode version

Theorem bernneq2 11983
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 11982. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 9667 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
213ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
3 simp2 989 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
4 df-neg 9590 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5 0re 9378 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6 1re 9377 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 lesub1 9825 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1305 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
98biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  -  1 )  <_  ( A  -  1 ) )
104, 9syl5eqbr 4320 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
11103adant2 1007 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
12 bernneq 11982 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1218 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 9332 . . . 4  |-  1  e.  CC
151recnd 9404 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
16 nn0cn 10581 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
17 mulcl 9358 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
19 addcom 9547 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  x.  N
) )  =  ( ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 ) )
2014, 18, 19sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
21203adant3 1008 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
22 recn 9364 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
23 pncan3 9610 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2414, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2524oveq1d 6101 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 1009 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4316 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411    - cmin 9587   -ucneg 9588   NN0cn0 10571   ^cexp 11857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-seq 11799  df-exp 11858
This theorem is referenced by:  bernneq3  11984  expnbnd  11985  expmulnbnd  11988  expcnv  13318  ostth2lem1  22842
  Copyright terms: Public domain W3C validator