MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bernneq2 Structured version   Unicode version

Theorem bernneq2 12267
Description: Variation of Bernoulli's inequality bernneq 12266. (Contributed by NM, 18-Oct-2007.)
Assertion
Ref Expression
bernneq2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )

Proof of Theorem bernneq2
StepHypRef Expression
1 peano2rem 9886 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
213ad2ant1 1016 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  ( A  -  1 )  e.  RR )
3 simp2 996 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  N  e.  NN0 )
4 df-neg 9808 . . . . 5  |-  -u 1  =  ( 0  -  1 )
5 0re 9594 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
6 1re 9593 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
7 lesub1 10047 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
85, 6, 7mp3an13 1314 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  (
0  <_  A  <->  ( 0  -  1 )  <_ 
( A  -  1 ) ) )
98biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  -> 
( 0  -  1 )  <_  ( A  -  1 ) )
104, 9syl5eqbr 4466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
11103adant2 1014 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )
12 bernneq 12266 . . 3  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  -u 1  <_  ( A  -  1 ) )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
132, 3, 11, 12syl3anc 1227 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  <_  ( ( 1  +  ( A  - 
1 ) ) ^ N ) )
14 ax-1cn 9548 . . . 4  |-  1  e.  CC
151recnd 9620 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  -  1 )  e.  CC )
16 nn0cn 10806 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
17 mulcl 9574 . . . . 5  |-  ( ( ( A  -  1 )  e.  CC  /\  N  e.  CC )  ->  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
1815, 16, 17syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )
19 addcom 9764 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( ( A  - 
1 )  x.  N
) )  =  ( ( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 ) )
2014, 18, 19sylancr 663 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
21203adant3 1015 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
1  +  ( ( A  -  1 )  x.  N ) )  =  ( ( ( A  -  1 )  x.  N )  +  1 ) )
22 recn 9580 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
23 pncan3 9828 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2414, 22, 23sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
1  +  ( A  -  1 ) )  =  A )
2524oveq1d 6292 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
26253ad2ant1 1016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( 1  +  ( A  -  1 ) ) ^ N )  =  ( A ^ N ) )
2713, 21, 263brtr3d 4462 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  N  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  (
( ( A  - 
1 )  x.  N
)  +  1 )  <_  ( A ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802   class class class wbr 4433  (class class class)co 6277   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495    <_ cle 9627    - cmin 9805   -ucneg 9806   NN0cn0 10796   ^cexp 12140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-2nd 6782  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086  df-seq 12082  df-exp 12141
This theorem is referenced by:  bernneq3  12268  expnbnd  12269  expmulnbnd  12272  expcnv  13649  ostth2lem1  23668
  Copyright terms: Public domain W3C validator